1005关于-解三角形的进一步讨论-的再思考

1、J1A0XUEYANJIUJ1A0XUEYANJIUJIETIYANJIUJIETIYANJIU中国數学教育中国數学教育2010年第5期I 944 201044 2010年第5期】中国数学教育1994-20Lima! Electroniccnki.ncl88【2010年第5WJ中国数学敍育童 心(浙江省安吉县孝丰高级中学)摘曩：财于解三角形问题中已知两边和其中一边的対角抻情形来讨论.图1如果已知的图1如果已知的4是锐角，并Hab 或毕时也只有一个解，如图3所示.如果已知的4是锐角，并旦。b才能有 解.这时期恥如也卄算B时.只能取锐角的值.因此只有a一个解.如果已知的/!压说角，并且。6或q =

2、 6.这时从sm8 = 臨：*计算8时，也只能取锐角的值，因此都只有-个解.如果已知的4是锐角.并且.我们可以分下面三如果q bsinA .这时从sinB =虫匝L计算得如8 1,aB可以取一个锐角的值和 个钝角的值.因此有以个解.如果a = 8sirM,这时从虬计算得sinB=l,aB只能姑直角.因此只有个解.如果al.a但是一个角的正弦值不能大于1,因此没有解.这是教科书上的方法，笔者通过教学尝试发现.学生用此 法来判断三角形解的个数，总是力不从心.感觉很抽象.特别 地，当所给的角为非特殊角时，此法将帯来更大的计算困难.利用尺規作围，现寨交点卅况在已知a, 6, A的情形下，我们可以先作角

3、4,再作角川 的邻边6,这样就确定了厦点C的位置，再作角4的对边g即 以C为圖心，a为半径画圆，炽察圆孤角C的对边c的交点 情况.有几个交点就对应三角形有几个解.(D如果已知的A是钝角或直角，那么必须ab才能有 解.且只有一解.。8时如图I所示.QWb时.如图2所示.当absinA时,有两个解，如图4所示；当。二6血4时.只有一个解.如图5所示;当a = 0,这是一个关于式的一元二次方程.显然.方程有几个正实 数根,相应三角形就有几个解.故我们可以依据方程的正实 数根的个数来判断三角形解的个数.当A。时，方程有两个不相等的实教根们，算” 根据韦达定理有：旳+为0,若则方程的两根的0.x20.三

4、角形有两 旳+为0,若Xj x, C 0,则方程的两根| 0. A W 0.三角形只 有个解；若rF?则方程的两根跖wo, x,W0,三角形无解.(2)当A = 0时.方程有两个相等的实数根心，再根 据韦达定理有：若必0.则方程的两根別=0,三角形有一个若为则方程的两根旳=勲0,三角形无解. (3)当Ag时.则胪-疽0,那么)=苏(学)， (|a-6 I xa6)为“对勾函/(x) cos/l为常值函数， 它们的交点情况如下：若则两函数图象无交点，三角形无 穌,如图7所示8若coM-J 质.则两函数图象只有一个文点，三角 形只有一解,如图8所示；若M,则两函数 图象有两个交点，相应三角形有两解

5、.如图9所示.II)-/(x)/lx)-/(x)|a-6 I a +A *。a-b | ab x 0 ia-fr | ab x图7图8图9由于m*Mlo-6 I, g(a8)l m】，且-】 海4 1,所以 不可能有 minlgla-A 9g(ab)lCMA max|g|a-6 |,g(a+A) 的情况岀现.当ba时，则U廿0,那么 虹)=(la-6 x a+b)在其定义域上为单调増函数，由 于gX)(-L 1).所以常值函数/(%)= COS4的图象与g G)定冇且只有一个交 点,如图10所示.当 时，则朋-# = (),那么 gx) = &x(Qx A =45%判断三角形解的个 数.(方法

6、1)利用正弦定理.并结合三角形中大边对大角” 的惊则.2x VT因为 sinB =-a.所以BA,所以月为锐角或饨角, 所以三角形有两解.(方法2)利用尺规作图，观察交点情况按照“角-邻边一対边”的作图顺序作出图形如图13所示.所以由图13可知，三角形有四解.re 13(下終第44页)re 13于是L = ui）xg = *,所以冬乏当.422几+ 1【评析】此类问题直接求解往往难以入手，段察其递推关系 式的类型，对递推关系式两边同时取倒数，把何題加以转化, 化归为新等差数列.顿时“柳靖花明二九、4.2=四nW型形如“=p Jiq冬（其中5=。，此=6, p q/0, p 财日0）的数列，求解

7、此数列的通项公式一般利用待定系数法. 把递推关系式变形为A.LSJl其中満足 r=p化归为等比数列问题.再应用前面类型的方法求解.st = -V.例9已知数州oj中.四=1.旬二2.5=奇.|+外 求4.解：由5= *5+上4可转化为即久“=（奴,这里不妨选用I （当然也可逸用二-3大家可以试一试），则4.2-41 = -/（優1-冬）0所以曲31是以首項为 -砂1 .公比为手的等比敛列,-=H-r应用类型二的方法.令好1.2. 3.，Gil） .代入上 式得nI个等式,累加之.即久.心（打.（4），.（4广七又因为传=1,所以vf-混亏广.【评析】不匯看出本题是前面所述的两种类型数列的“升级

8、 版，是把谢*类型的问艇加以壊合.利用不間类型的递植关系 式的方法来求解相应的變杂问题.学生在知道了这知孕題模型之 后，解决这样的题也不是什么理事了.数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际 问题相结合的一门科学.它将现实问题归结为相应的数学问题, 并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和 研究.从而从定性或定鱼的角度来刻画实际问题.并为解决现 实问题提供精确的数据或可靠的指导.数学建模是解决数学问题 的方法之一.而构造数列递推式建/数学模员是数学建模的一 种.运用递推式解决数学向题，对开发学生数学思维、培养其数 学应用能力有积极的作用.利用递推式建模，将对我们的致学教

9、 学有极大的稱助.（上粮第9页）（方法3）利用判別式及韦达定理判断一元二次方程的正根 情况.我们设边c为*,利用余弦定理得cos4 =史嗟工2&Z将数据代入整理得盘-2VT 11=0.因为（）旦与+X20, %与0,所以此方程有两个不等的正根.所以-角形有两解.（方法4）利用函数图象.观察交点情况. 我们设边C为以利用余弦定理得COS4 = f G.将数据代入整理得-穿 =卜+ -）,令/（小专，g（2-VT 寫2 +VT）,则作岀函数/G）与点）的y图象如图14所示.y（x） . . . f ! . . v由于两函数图象有两个交点，.二*1所以相应三角形有两解. 综合分析以上各种方法，可以2

10、 - VT 2 vr .发现：利用正弦定理.并结合三角ffl 14形中“大边对大角”原则的方法较为常规.但是学生在用此法 来判断三角形解的个数时.总是力不从心.感觉很抽象，特别 地，当所给的角为非特殊角时，此法将带来更大的计算困,推; 利用尺规作图.观察交点情况的方法直观快捷.它的最大优点 在干不依赖学生的解三角形能力.特别是当所给角为抹特殊角 时.同样能迅速求解；利用判别式及韦达定理判断一元二次方 程正根情况的方法通俗易懂.它把解三角形何題转化为判断一 元二次方程的正根问题，而判断-元二次方程根的知识点学生 在初中就已接触过；利用函数图象，观察交点情况的方法形象 直观，但需要学生具有较髙的分析函数图象及性质的應力，比 校适合高年级段学生.面对判断三角形解的个数的冋既，以