必修4平面向量数量积考点归纳

1、“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下向量就是有向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段uuuuruuuur若向量 AB与 CD 相等，则有向线段 AB与 CD重合uur uur解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量因此，若AB CD ，则有向线段 AB与 CD长度相等且方向相同，但它们可以不重合uuuuruuuur若向量 AB CD ，则线段 ABCDuuruuur解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量故由AB 与 CD

2、平行，只能得到线段AB与 CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线uuuuruuuur若向量 AB 与 CD 共线，则线段 AB与 CD共线解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量uuruuurAB与 CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线故由 AB 与 CD 共线，只能得到线段urururrurr若 a b ， b c ， 则 a cur urur r解析：由于零向量与任一向量平行，故当b 0 时，向量 a 、 c 不一定平行ururrur r当且仅当 a 、 b 、 c 都为非零向量时，才有a c 若 |urururururura | |b| ，则 a b

3、或 a burururur解析：由 | a | | b | ，只能确定向量a 与b 的长度相等，不能确定其方向有何关系ur urur ururur当 a 与 b 不共线时，a b 或 a b 都不能成立单位向量都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定相同，故单位向量也不一定相等urur若 | a | 0，则 a 0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集urururur故若 | a | 0，则 a 0 ，不能够说a 0平面向量数量积四大考点解析考点一 .考查概念型问题例 1. 已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量，则下列

4、命题中真命题的个数() a baba / b ; a,b 反向a bab ababab ; a = ba bb c.2C评注： 两向量同向时，夹角为0( 或 0 ) ；而反向时，夹角为( 或 180 ) ；两向量垂直时，夹角为90，因此当两向量共线时，夹角为0 或，反过来若两向量的夹角为0 或，则两向量共线.考点二、考查求模问题例 2. 已知向量 a2,2 ,b5, k ，若 ab 不超过 5，则 k 的取值范围是 _ 。评注： 本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例 3. （1）已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60 , 那么 a3b （）A.7B.10C.13D.4

5、（ 2）已知向量acos , sin，向量 b3, 1 ，则 2ab 的最大值是 _。评注： 模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例 4. 已知向量 a +3 b 垂直于向量7 a -5 b ，向量 a -4 b 垂直于向量7 a -2 b ，求向量 a 与 b 的夹角 .练习一：数量积（内积）的意义及运算rrrrr r1已知向量 | a | 4 ，e为单位向量， 当它们之间的夹角为时，a 在 e方向上的投影与e 在 a 方向上的投影分别为 （）323， 32，13，3 1，222222rrrr练习目的：区别a 在 e方向上的投影与e 在 a 方向上的投影，达到正确理解投影的概

6、念uuuruuur2在边长为 2 的等边ABC 中， AB? BC 的值是（）uuuruuur练习目的：结合图形，根据投影的意义，理解AB ? BC 的几何意义图 1uurrr r60orrr urrr3已知 | a | 3,| b |2, a与 b 的夹角为， c=3a5b, dma3b .rrr r(1)求 | ab |的值； (2)当 m为何值时， c与d 垂直练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的练习二：数量积的坐标运算、模及夹角r rxyABC4直角坐标系 xOy 中， i ， j分别是与轴正方向同向的单位向量在直角

7、三角形中，uuurrruuurrr若 AB2ij ,AC3ik j ，则 k 的可能值个数是（） 1 2 3 4练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法rr2rr5. 已知向量 | a |2 ， | b |3 ， ab (2 3, 2)rrrrrr求（ 1） | ab | ；（ 2） ab 与 ab 的夹角练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系r rrrr rrrrr6设向量 a, b 满足 | a |2,| b |1， a, b 的夹角为 60o，若向量 2ta7b与向量 atb 夹角为钝角，求实数 t 的取值

8、范围。练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题练习三平面向量的综合应用uuurr uuurrr r0 ，则ABC 的形状为 _.7（ 1）已知ABC 中， ABa, BCb ，是ABC 中的最大角，若 a ? b练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状rr平面向量巩固检测,sin)，其中 01 已知 a (cos) ， b (cos ,sinrrrr(1) 求证： ab与 ab 互相垂直；(2) 若 ka b 与 ak b 的长度相等，求的值 ( k 为非零的常数 )2已知 a 、 b 是两个不共线的向量，且a

9、 =（cos，sin） , b =（ cos， sin）（）求证： a+ b 与 a b 垂直；（）若 （, ），=，且 | a + b | =16，求 sin .44453设 ae12 e2 ，b3 e12 e2 ，其中 e1e2 且 e1 e1e2 e21.计算 | a b | 的值；（2）当 k为何值时k ab 与 a3 b 互相垂直？33xx4 已知向量 a (cos2x，sin2x) ， b (cos 2， sin2) ，其中 x 0 ， 2 3(1) 求 a b及 | a b | ； (2)若 f(x) a b 2| a b| 的最小值为2，求 的值平面向量数量积四大考点解析考点一

10、 .考查概念型问题例 1. 已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数() a ba ba / b ; a,b 反向a ba b a ba b a b ; a = ba bb c.2C分析： 需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则 .解： (1) a b = a b cos 由 a b a b 及 a 、 b 为非零向量可得cos =1 =0 或， a b 且以上各步均可逆，故命题(1) 是真命题 .若 a , b 反向，则 a 、 b 的夹有为， a b = a b cos =- a b 且以上各步可逆，故命题

11、 (2) 是真命题 .(3) 当 a b 时，将向量a ， b 的起点确定在同一点，则以向量a ， b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有a + b a - b . 反过来，若a +b a - b , 则以 a ， b 为邻边的四边形为矩形，所以有a b ，因此命题 (3) 是真命题 .当 a b 但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时， 就有 a c b c ，反过来由 a c b c 也推不出 a b . 故 (4)是假命题 .综上所述，在四个命题中，前3 个是真命题，而第4个是假命题，应选择 (C).评注： 两向量同向时，夹角为0( 或

12、0 ) ；而反向时，夹角为 ( 或 180) ；两向量垂直时，夹角为 90，因此当两向量共线时，夹角为0 或，反过来若两向量的夹角为0 或，则两向量共线 .考点二、考查求模问题例 2. 已知向量 a2,2 ,b5, k ，若 ab 不超过5，则 k 的取值范围是 _ 。2y2 ，或 ax2y 2分析： 若 ax, y则 ax 2，对于求模有时还运用平方法。解：由 ab3,2k，又 ab 5 ，由模的定义，得：92 k 225 解得：6 k2 ，故填 6,2 。评注： 本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例 3. （ 1）已知 a, b均为单位向量，它们的夹角为60 , 那么 a

13、3b （ ）A.7B.10C.13 D.4（ 2）已知向量 acos , sin，向量 b3,1 ，则 2ab 的最大值是 _。222解：（ 1）a3a6a bcos60 9b13913b所以 a3b13 ，故选 C。（ 2）由题意，知a1, b2, a b2 sin3224a b28sin16又 2a b4ab83则 2ab的最大值为4。评注： 模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例 4. 已知向量a +3 b 垂直于向量7 a -5b ，向量a -4b 垂直于向量7 a -2 b ，求向量a 与 b 的夹角 .分析： 要求a 与 b 的夹角，首先要求出a 与 b 的夹角的余

14、弦值，即要求出a 及b 、 a b ，而本题中很难求出 a 、 b 及 a b ，但由公式cos = a ? b 可知，若能把a b ， a 及 b 中的两个用另一个表示出来，a b即可求出余弦值，从而可求得a 与 b 的夹角 .解：设 a 与 b 的夹角为 . a +3 b 垂直于向量 7 a -5b ， a -4 b 垂直于7 a -2 b ，a3b7a5b0216 a b207a15ba4b7a2b0即2230a b7a8b0解之得 b2a2a ba22a b =2 a b=2=b12 cos = a ?b =2b= 1 =因此 a 与 b 的夹角为.a ba ? b233练习一：数量积

15、（内积）的意义及运算rrrrr r1已知向量 | a |4 ， e为单位向量，当它们之间的夹角为3时， a 在 e 方向上的投影与e在 a 方向上的投影分别为（）23，32， 13，31，2222221答案 Brrr412解答：a 在 e方向上的投影 | a | cosrrr32111e在 a 方向上的投影 | e | cos322rrrr练习目的：区别a 在 e 方向上的投影与e在 a 方向上的投影，达到正确理解投影的概念2在边长为 2 的等边uuuruuurABC 中， AB ? BC 的值是（）2答案解答：由平面向量数量积公式得：uuuruuuruuuruuuro1AB? BC | AB

16、 |?| BC |COS120 22(2)uuuruuur2图 1因此 AB ? BC 的值为uuuruuur练习目的：结合图形，根据投影的意义，理解AB ?BC 的几何意义uurrrrrrrurrr3已知 | a |3,| b |2, a与 b 的夹角为 60o， c=3 a5b, dma3b .rr(1)求 | ab |的值r当 m为何值时， c与d 垂直rruurr3213.3解答 (1)ab| a | b | cos60orrrr 2r r2222222319| a b | | a |b | 2a b 3rr所以 | ab | 19(2)rrrr0 ，即由 c与 d 垂直，得 cdrr

17、rr0(3a5b)(ma3b)r2r2rrrr0 3m | a | 15 | b |9a b5ma buurrrr又因为 | a |3,| b |2, a与 b 的夹角为 60orruurr3213所以 a b| a | b | cos60o292代入得 m14rr因此当 m2914时， c与 d 垂直 .练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的练习二：数量积的坐标运算、模及夹角rr分 别 是 与 x，y 轴 正 方 向 同 向 的 单 位 向 量 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 若4 直 角 坐 标 系 xOy 中 ，

18、 i， juuurrruuurrrAB2 ij ,AC3ik j ，则 k 的可能值个数是（） 1 2 3 44答案 Buuurr(kr提示：由题设BCi1) j ，uuur(2,1),uuuruuur(1,k 1)转化为坐标表示：ABAC(3, k) ， BCABC 是直角三角形可以分为三种情况：uuuruuuruuuruuur（1） AB AC , AB AC 2 3 1 k 0得 k 6gguuuruuuruuuruuur211 (k1)0（2） ABBC,AB BC得 k1guuuruuuruuuruuur31k (k1)0（3） ACBC, AC BCg即 k2k30，无解故k 的可

19、能有两个值1， 6，练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法5.已知向量r| a|r2 ， | b |r23 ， arb(23, 2)rrrrrr求（ 1） | ab | ；（ 2） ab 与 ab 的夹角uurr23,解答：由题设| a |2,| b |rr(2rr16（ 1）由 ab3, 2) 得 | ab |2rrrrr 2r 2rr即 | ab |2(ab)2ab2agb 16r解得： agb 0rrrrr 2r 2r r所以 | ab |2(ab)2ab2agb22(2 3)2rr162agbrr因此 | ab |=42）设夹角为所以 cos

20、rrrrr 2r 2(2 3)28，又 ( ab)g(ab)ab 22rrrr-8(a（a）1g=rrrr| ab |? | a b |4 42练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系r rrrrr60orrrrt 的取6设向量 a, b 满足 | a |2,| b |1 ， a,b 的夹角为，若向量 2ta7b 与向量 atb 夹角为钝角，求实数值范围。rruurr21116解答：由题设ab| a | b | cos60orrrr2因为向量 2ta7b 与向量 atb 夹角为钝角，rrrrrrrr所以(2ta7b) g( atb )00rrrr(2 ta

21、7b)g(atb )| 2ta7b | ? | atb |rr(2t 2rr2t 215t70由 2t | a |27t |b |27) agb解得7t12rrrr时，也有 2t 215t70另一方面，当夹角为，所以由向量 2ta7b 与向量 atb 同方向得：rrrr0 ）2ta7b （ atb ）（因此 2t,7t解得： t1414，2由于0，所以 t0，得 t142因此，当 t14时，两向量的夹角为不合题意rr2rrt 的取值范围是：所以，若向量 2ta7b 与向量 atb 的夹角为锐角，实数(7,14)U(14 ,1)222练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题

22、，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题练习三平面向量的综合应用7（1）已知uuurr uuurrr r0 ，则ABC 中， ABa, BCb ，是ABC 中的最大角，若 a ? bABC 的形状为 _.7答案：锐角三角形r r提示：由 cosra ? br0| a | ? | b |可得 cos0uuuruuurABC 为锐角，即 AB与 BC 的夹角为钝角，所以，因此ABC 为锐角三角形练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状平面向量巩固检测rr(cos,sin(cos,sin1 已知 a) ， b(1) 求证：rr与rrabab 互相垂直；rrrrr2r 2(cos

23、2证明： Q ( ab)g(ab ) abrrrrab与 ab 互相垂直)，其中 0sin 2)(cos2sin 2)0(2) 若 ka b 与 ak b的长度相等，求的值 ( k 为非零的常数 )解析： ka b(k coscos, k sinsin) ；ak b(cosk cos,sink sin)rk 212k cos()k a bark 212k cos()kb而k212k cos()k 212k cos()cos()0 ，22已知 a 、 b 是两个不共线的向量，且a =（cos，sin） ,b =（ cos， sin）（）求证： a+ b 与 a b 垂直；（）若（,4），=4，且 | a + b | =16，求 sin .45解：（ 1） a =（ 4cos， 3sin）， b = （ 3cos， 4sin）|a | = |b | =1又（ a + b ）（ a b ） = a 2 b 2=|a | 2 | b | 2 = 0（ a + b ）（ a b ）（ 2） | a + b | 2 = （ a + b ） 2 = | a | 2 +| b | 2 +2 a b = 2 + 2 a b = 16） = 35又 a b =（ cos cossinsin5 cos()3(, ) 05442sin （） =4 s