2007年普通高等学校招生考试(重庆卷) 数学

1、考试结束前机密2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学（理工科）本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若等差数列a的前3项和S二9且a=1，则a等于（）n312A、3B、4C、5D、62、命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A、若x2三1，则x三1或xW1B、若1x1，则x21或x1D、若x三1或xW1，则x2三13、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A、5部分B、6部分C、7部分D、8部分4、若（x+丄）n展开式的二项式系数之和为64,则展开式

2、的常数项为（）xA、10B、20C、30D、1205、在AABC中，AB=、：3A=45。,C=75。，则BC等于（）A、3-訂B、話2C、2D、3+訂6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（)1793A、-B、C少有2张价格相同的概率为（)1793A、-B、C、一41204D、23247、若a是1+2b与1-2b的等比中项，则亦而的最大值为（A、B、4C、D、an+1+abn18、设正数a,b满足lim等于（)nsan1+2bn11A、0B、vC、Z-42D、19、已知定义域为R的函数f（x）在（8,+s）上为减函数，且

3、函数y=f（x+8）为偶函数，则AA、f(6)f(7)B、f(6)f(9)C、f(7)f(9)D、f(7)f(10)10、如右图，在四边形ABCDf(7)f(10)10、如右图，在四边形ABCD中，IABI+1BDI+IDC1=4,IABI-1BDI+IBDI-1DCI=4,pAB-BD=BD-DC=0，则(AB+DC)-AC的值为()TOC o 1-5 h zA、2B、2迈C、4D、4迈、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.2i11、复数的虚部为.2+i3x-y1,12、已知x、y满足2x+y1,13、若函数f(x)=P2x2+2ax-a-1的定义域为R

4、,则a的取值范围为,14、设a为公比q1的等比数列，若a和a是方程4x2-8x+3=0的两根，则n20042006a+a=.2006200715、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有种.(以数字作答)16、过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，则FPI-1FQI的值为.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分13分，其中(I)小问9分，(II)小问4分)设f(x)=6cos2x-七3sin2x.求f(x)的最大值及最小正周期；4若锐角满足f(a=3-2.3，

5、求tan5的值.（本小题满分13分，其中（I）小问4分，（II）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：（I）获赔的概率；（II）获赔金额E的分布列与期望.（本小题满分13分，其中（I）小问8分，（II）小问5分）如右图，在直三棱柱ABC-ABC中，AA=2,AB=1,ZABC=90；点D、E分1111别在BB、1D上，且B1E丄A1D，

6、四棱锥C-ABDA与直三棱柱的体积之比为3:5.（【）求异面直线de与Be的距离;（II）若BC=、迂，求二面角A】-DC-Bi的平面角的正切值.(本小题满分13分，其中(I)、(II)、(III)小问分别为6、4、3分)已知函数f(x)二ax4lnx+bx4c(x0)在x二1处取得极值一3-a，其中a、b为常数.试确定a、b的值；讨论函数f(x)的单调区间；若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围.(本小题满分12分，其中(I)小问5分，(II)小问7分)TOC o 1-5 h z已知各项均为正数的数列a的前n项和S满足S11nn16S二(a+1)(a+2),neN.nnn+

7、求a的通项公式；n设数列b满足a(2bn1)=1，并记T为b的前n项和，求证：nnnn3T+1log(a+3),neN.n2n+1IFPI1IFPI12312(本小题满分12分，其中(I)小问4分，(II)小问8分)如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为：x二12.(I)求椭圆的方程;123(II)在椭圆上任取三个不同点P、P、P，使ZPFP=/PFP=ZPFP，证明:1233111+1|+1|为定值，并求此定值.IFPIIFPI232007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学参考答案（理工科）、选择题ADCBACBBDC、填空题：411、512、713、-1,08

8、7314、1815、2516、-3三、解答题：17、解:(I)f(x)二6-1+cos17、解:(I)f(x)二6-1+cos2x2-13sin2x二3cos2x-、3sin2x+3=23(cos2x-1sin22x)+32、：3cos(2x+)+36故f（x）的最大值为2打+3；2兀最小正周期T2兀6丿*C兀兀兀兀又由0“得2a+丁兀+，故2a26664兀氏从而tan5atan3.(II)6丿*C兀兀兀兀又由0“得2a+丁兀+，故2a26664兀氏从而tan5atan3.TOC o 1-5 h z冗5兀+兀，解得a.61218、解：设A表示第k辆车在一年内发生此种事故，k1,2,3.k由题意

9、知A,A,A独立，且P(A)1,P(A)1,P(A)1.12319210311(I)该单位一年内获赔的概率为891031P(AAA)1P(A)P(A)P(A)1xx.1231239101111(II)E的所有可能值为0,9000,18000,27000.89108P忆0)P(AAA)P(A)P(A)P(A)xx,1231239101111P(E9000)P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)123123123P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)1231231231910811089124211=xx+xx+xx=二,910119101191011990

10、45P(g=18000)=P(AAA)+P(AAa)+P(AAA)123123123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123123123TOC o 1-5 h z1110191811273XX+XX+XX9101191011910119901101111PG27000)P(AAA)P(A)P(A)P(A)-x-x-隔.12312391011990综上知，E的分布列为g090001800027000P811311145110990求E的期望有两种解法:解法一：由g的分布列得8113129900Eg0 x+9000 x+18000 x+27000 x沁2

11、718.184511099011元)解法二：设g表示第k辆车一年内的获赔金额，k=1,2,3，k则g1有分布列1911同理得Eg9000X-900,Eg9000 xq818.18210311综上有EgEg+Eg+Egq1000+900+818.182718.18(元).12319、解法一：(I)因BC丄AB，且BC丄BB，故BC丄面A1ABB1，从而BC丄BE，又11111111111111B1E丄DE,故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线.设BD的长度为x，则四棱椎C-ABDA的体积V为11111V二S-BC二(DB+AA)-AB-BC二(x+2)-BC13ABDA1616而直三棱柱AB

12、C-ABC的体积V为1112-AA二1AB-BC-AA二BC12113由已知条件V:V=3:5，故；(x+2)二，解得126582从而B,D二BB-DB=2-=.1155又直角三角形ABD中，11厂0).令f/(x)=0，解得x=1.当0 x1时，f/(x)1时，f(x)0，此时f(x)为增函数.因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1,+).(Ill)由(II)知，f(x)在x二1处取得极小值f(1)=-3-C,此极小值也是最小值.要使f(x)-2c2(x0)恒成立，只需3-c-2c2.即2c2c30，从而(2c3)(c+1)0.解得c3或c1,11611111

13、1因此a=2.1乂由a=SS=(a+1)(a+2)(a+1)(a+2)，得TOC o 1-5 h zn+1n+1n6n+1n+16nn(a+a)(a-a-3)=0，即a-a-3=0或a=-a.n+1nn+1nn+1nn+1n因a0，故a=-a不成立，舍去.nn+1n因此a-a=3，从而a是公差为3,首项为2的等差数列，故a的通项n+1nnn为a=3n-1.n13n(II)证法一：由a(2bn1)=1可解得b=log(1+丄)=log也nn2a23n-1n363n从而T=b+b+b=log匕).n512n2253n-1因此3T+1log(a+3)=log(con丿3.n2n2253n-13n+2

14、363n2令f(n)=()3，贝I53n13n+f(n+1)_3n+2(3n+3、_(3n+3)3f(n)3n+53n+2(3n+5)(3n+2)2因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+70，故f(n+1)f(n).27特别地f(n)f(1)=1，从而3T+1-log(a+3)=logf(特别地f(n)f(1)=20n2n2即3T+1log(a+3).n2n证法二：同证法一求得b及T.nn由二项式定理知，当由二项式定理知，当c0时，不等式(1+c)31+3c成立.111由此不等式有3T+1=log2(1+)3(1+)3.(1+)32253n-1331583n+2log2(1+)(

15、1+).(1+)=log(2斤)=log(3n+2)=log(a+3)2253n-12253n-122n3一3n473n+1583n+2令A=,B.,Cn253n-1n363nn473n+13n3n+13n+23n+2因因此A3ABC=3n-13n3n+1nnnn2.证法三：同证法一求得b及T.nn3T+1=log2(3一一)3=log2A3log2ABCn2253n-12n2nn=log(3n+2)=log(a+3)22n证法四：同证法一求得b及T.nn面用数学归纳法证明：3T+1log(a+3).n2n27当n=1时，3T+1=log,log(a+3)=log5，因此3T+1log(a+3

16、)，结124212n2n论成立.假设结论当n=k时成立，即叭+1log2(ak+3)，则当n=k+1时3T+1-log(a+3)=3T+1+3b-log(a+3)k+12k+1kk+12k+1(3k+3)3log2叫+3)-log2叫+1+3)+叫+1=log2(3k+5)(3k+2)2因(3k+3)3-(3k+5)(3k+2)2=9k+70，故log2(3k+3X2)20从而3T+1log(a+3).这就是说当n=k+1时结论也成立.n+12k+1综上3T+1log2(a+3)对任何ne成立.2nx2y222、解：(I)设椭圆方程为2+b2=1因焦点为F(3,0)，故半焦距c=3.又右0101a2准线l的方程为x=，从而由已知ca2=12,a2=36,c因此a=6,b=a2c2=27=3、：3.x2y2故所求椭圆方程为苍+=13627|FPi(II)记椭圆的右顶点为A,并设ZAFP=a(i=1,2,3)，不失一般性，假设ii2兀4兀+,a=a+3313c因椭圆