数学危机简要概述

1、当前文档修改密码：8362839第七讲数学学危机在科学史上上，对于于特别重重大的知知识更新新和观念念突破，一一般称为为科学革革命（SScieencee Reevollutiion）。从从“革命”的字面面意义我我们也不不难看出出，这种种知识的的变革具具有颠覆覆性，是是在否定定原有知知识体系系的基础础上重新新建立知知识的大大厦。例例如哥白白尼革命命以日心心说挑战战传统的的地心说说，取缔缔了人们们赋予地地球的神神圣地位位；牛顿顿革命建建立了天天体力学学体系，统统一了天天上和人人间的机机械力学学现象；达尔文文革命通通过自然然选择和和生存斗斗争学说说，取消消了人类类与其它它生物的的本质区区别；爱爱因斯坦

2、坦建立的的狭义和和广义相相对性原原理，否否定了长长期以来来关于绝绝对时间间和绝对对空间的的基本假假定。在这一点上上，数学学和自然然科学不不同。从从知识体体系上来来讲，数数学理论论总是在在原有的的基础上上进行扩扩充，新新增的部部分与原原来的体体系总是是融为一一体。或或者说，数数学理论论的重大大发展，一一般都不不是对原原有理论论的根本本否定，而而是对原原有理论论体系的的某种推推广。所所以，一一般来说说，并没没有“数学革革命”这种说说法。但没有“数数学革命命”，并不不等于数数学在其其发展过过程中就就是一帆帆风顺的的。因为为数学总总是在一一定的基基础上发发展起来来的。随随着人们们处理问问题的深深度和广

3、广度发生生变化，原原来的基基础假定定往往会会遇到根根本性的的困难。这这时候就就产生了了所谓的的“数学危危机”。另一方面，数数学危机机和科学学革命也也有相同同之处，二二者都体体现了人人类直觉觉与理性性的消长长。我们们知道，直直觉是一一种富有有创造性性的思维维方式，人人类一直直相信自自己的直直觉；但但是历史史发展表表明，直直觉经常常是和理理性相对对立的。科科学革命命的进程程和数学学危机的的解决过过程，大大体上都都是理性性战胜直直觉的一一个过程程。科学学中的理理性主义义正是通通过对直直觉的怀怀疑与否否定才得得以确立立其至高高无上的的地位。从从这一点点上来看看，数学学危机和和科学革革命又是是一致的的。

4、现在公认的的数学危危机共有有3次，即即无理数数的发现现、微积积分的基基础问题题和集合合论悖论论。本讲讲只介绍绍前两次次数学危危机。1. 第一一次数学学危机1.1 无理数数的发现现我们已经知知道，古古希腊的的毕达哥哥拉斯（Pythagoras, ca.560-ca.480.BC）学派从毕达哥拉斯开始，一直延续到公元前四世纪中叶。这个学派是一种宗教式的秘密结社，致力于哲学和数学的研究。相传，“哲学”和“数学”这两个词就是它创造的，原意分别指“智力爱好”和“可学到的知识”。在这个学派兴盛的时期，学派内部的各种发现往往秘而不宣，并且大家习惯于把各这些发现都归结在领袖毕达哥拉斯的名下。毕达哥拉斯斯学派对

5、对数学最最重要的的贡献之之一是证证明了毕毕达哥拉拉斯定理理（在中中国被称称为勾股股定理），即即：直角角三角形形斜边长长度的平平方等于于二直角角边长度度的平方方和。据据说当时时的人们们为了庆庆祝发现现这个定定理，曾曾经宰了了1000头牛来来拜祭天天神。这这一定理理我们在在小学的的时候就就已经知知道，因因此大家家可能觉觉得当年年毕达哥哥拉斯学学派没有有必要那那么大动动干戈，但但这也可可能是因因为大家家对于这这个定理理的重要要性并不不是特别别关注。之之所以说说它特别别重要，是是因为在在平面几几何学中中，直角角三角形形的地位位很类似似于素数数在数系系中的地地位。我我们知道道，复数数系、实实数系、有有理

6、数系系和整数数系都可可以归结结为自然然数系，而而根据素素因子唯唯一分解解定理，自自然数又又可以最最终归结结为素数数。可见见素数在在“数”中的核核心地位位。同理理，任意意规则的的平面多多边形都都可以被被分割成成多个三三角形，而而每个三三角形又又可以被被分割成成两个直直角三角角形。而而任意不不规则的的多边形形或者说说曲多边边形，我我们总是是可以通通过把它它看作边边数无限限多的规规则多边边形来处处理。从从这一点点可以看看出，关关于直角角三角形形的毕达达哥拉斯斯定理是是多么重重要。所附的这张张图片载载于欧几几里得（Euclid, ca.325-ca.270.BC）的巨著几何原本，相传毕达哥拉斯学派曾经

7、使用过这个图形来证明毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯斯学派认认为“万物皆皆数”（Eveerytthinng iis nnumbber），这这个学派派的一位位晚期成成员菲洛洛劳斯（Philolaus, ca.390.BC）曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物。”在当时，数学分为算术、音乐、几何和天文四个部分，而毕达哥拉斯学派认为它们都可以归结为数的理论（他们所指的数是整数），因此，他们认为，一切事物都可以归结为整数和整数之比。不难看出，毕达哥拉斯学派所承认的数仅限于有理数。同时，毕达哥拉斯学派认为点是位置的单位元素，这样，在几何学上的一个自然结论就

8、是，任意两条线段都是可公度的，也就是说，对任意给定的两条线段，都可以找到第三条线段，以它为单位线段能将给定的那两条线段划分为整数份。但是，当毕毕达哥拉拉斯学派派研究等等腰直角角三角形形的时候候，矛盾盾出现了了。如图，在等等腰直角角三角形形中，。是一个个实实在在在的线线段长，但但它能不不能表示示成整数数的比呢呢？若它可表示示为两个个整数的的比，不不妨设(，是互素素的整数数)，则有有，。即，为为偶数。不不妨设，于于是，即即。于是是，也是是偶数。所以，均均为偶数数，这与与它们互互素的最最初假设设矛盾。也就是说，不能表示成两个整数的比，或者说是不可公度的。按照今天的说法，毕达哥拉斯学派发现是无理数。相

9、传毕达哥哥拉斯学学派的一一个成员员希帕苏苏斯（HHipppasuus, ca.4700.BCC）在该该学派的的一次海海上泛舟舟集会中中首先做做出了这这一发现现。当他他把自己己的发现现公之于于众的时时候，惊惊恐不已已的其它它成员把把他抛进进了大海海。由于于我们所所接受教教育的方方式，今今天的我我们已经经很难体体会到当当时那些些人的恐恐惧感。要要知道，毕毕达哥拉拉斯学派派把抽象象的数作作为万物物的本原原，他们们研究数数的目的的并不是是为了应应用，而而是试图图通过揭揭示数的的奥秘来来探索宇宇宙的永永恒真理理。“万物皆皆数”是整个个毕达哥哥拉斯学学派的一一种信念念，是这这个学派派的宗教教、哲学学和数学

10、学的基础础。而不不可公度度的无理理数的发发现彻底底粉碎了了他们的的基本信信念，使使整个学学派失去去了赖以以存在的的基础。从另一个角角度来讲讲，毕达达哥拉斯斯学派的的观点类类似于原原子论（这这里的原原子和今今天我们们所熟知知的原子子不同，在在那个时时代，原原子是构构成实体体的基本本的不可可分割的的元素）。对对于毕达达哥拉斯斯学派来来说，整整数是一一切的基基础，这这样，它它就构成成了数的的“原子”。也就就是说，他他们认为为任何事事物都可可以由整整数表示示出来。但但无理数数的发现现使整数数的原子子地位受受到了质质疑，因因为上述述的无理理数显然然不能表表示为整整数的比比。如果果数的原原子都不不存在了了

11、，那么么整个原原子论也也就失去去了根基基，这也也许正是是毕达哥哥拉斯学学派乃至至整个希希腊数学学所最为为恐惧的的事实。继之后，人人们又陆陆续发现现了许多多其它的的无理数数。这些些无理数数被毕达达哥拉斯斯学派隐隐瞒了将将近一百百年，最最后终于于被菲洛洛劳斯等等人公布布于世。1.2 芝诺悖悖论对毕达哥拉拉斯学派派的哲学学和数学学的另一一个致命命打击来来自古希希腊伊利利亚（EEleaa）学派派的代表表人物芝芝诺（ZZenoo, cca.4495-4300.BCC）。芝芝诺提出出过四个个著名的的悖论，其其中的一一个悖论论常被称称为“阿基利利斯追龟龟说”。阿基基利斯（Achilles）是希腊神话中的神行

12、太保，跑得非常快，但是芝诺论证说阿基利斯如果和乌龟赛跑，它将永远也追不上乌龟。他论证到，如果设乌龟先于阿基利斯一段距离，那么当阿基利斯到达乌龟的起跑点时，乌龟也爬过了一段距离；当阿基利斯又追完这段距离时，乌龟又向前跑了一段；如此以至无穷。虽然这一连串的距离越来越小，但它们的数目是无穷的，所以阿基利斯永远也追不上乌龟。容易看出，在这里，芝诺并没有采用毕达哥拉斯学派的“点是位置的单位元素”的观点，而是认为一条线段是可以无限分割的。芝诺采取这这种立场场是有他他的道理理的。因因为他在在另一个个常被称称为“飞箭静静止说”的悖论论中否定定了空间间是由点点（单位位元素）所所组成的的观点。芝芝诺认为为，飞行行

13、的箭在在运动的的任何瞬瞬间（即即单位元元素）必必定处于于一个确确定的位位置，这这个位置置和箭的的大小是是相同的的，箭既既不能落落后于它它，也不不会超过过它；所所以，在在任何这这样的瞬瞬间里，箭箭是静止止不动的的。这样样，芝诺诺在空间间是点的的总和的的假设下下证明了了运动是是不可能能的。而而这显然然不符合合常识，所所以毕达达哥拉斯斯学派的的基本假假设即“点是位位置的单单位元素素”至少在在几何学学和运动动学上是是不成立立的。后来，伽利利略（GGaliileoo Gaalillei，15664-116422）在芝芝诺悖论论的基础础上提出出了这样样一种模模型：如图，过过作一直直线和、分别交交于、，容易

14、易看出，和是一一对应的，这样，如果承认直线（或线段）是由点组成的，将有。这显然是荒谬的。我们知道，毕毕达哥拉拉斯学派派坚持“点是位位置的单单位元素素”是和他他们“万物皆皆数”的信念念一脉相相承的。否否定了“点是位位置的单单位元素素”，也就就间接地地否定了了“万物皆皆数”。同时，芝诺诺悖论也也说明了了这样一一个事实实，即涉涉及无穷穷的问题题往往超超出了人人们的直直观；人人们对它它的感觉觉经常含含糊不清清，也很很难用一一个适当当的概念念来说明明它。只只有在数数学中正正确地引引入无限限的观点点以后，这这一困难难才能够够被完全全解决。作作为一个个直接结结果，希希腊数学学中从此此排除了了无限的的观念。1

15、.3 数与量量的分离离第一次数学学危机的的消解依依赖于比比例理论论的建立立。这一一工作是是由欧多多克斯（Eudoxus，408-347.BC）完成的，其主要内容被欧几里得收录在其著名的几何原本的第5卷。欧多克斯是是柏拉图图（Pllatoo, 4427-3477.BCC）的学学生，他他对数学学的另一一个重大大贡献是是发展并并完善了了穷竭法法（简单单地说，是是一种通通过无限限增加圆圆内接或或外切正正多边形形的边数数来求圆圆的面积积的方法法），使使这一方方法获得得了精确确的严格格性。我们已经知知道，毕毕达哥拉拉斯学派派证明了了和1不可公公度，或或者说发发现了是是无理数数，但他他们并没没有指出出无理数

16、数到底是是什么。这这个问题题成为当当时希腊腊数学关关注的焦焦点。柏柏拉图在在其规规律一一书中就就曾呼吁吁人们重重视关于于不可公公度的无无理数的的知识。欧多克斯区区分了量量和数，认认为量是是线段、角角、面积积、体积积、时间间等等这这样一些些连续变变动的东东西；而而数则是是离散的的，是从从一个跳跳到一个个。对于于数和量量的区分分，也体体现在欧欧多克斯斯同一时时代的亚亚里士多多德（AArisstottle, 3884-3322.BC）的的范畴畴篇中中。欧多克斯显显然深知知无理数数的困难难，因此此他把所所有的量量从几何何角度而而不是从从算术角角度加以以考虑，通通过建立立起比例例理论而而把可处处理的问问

17、题由可可公度量量推广到到了不可可公度量量。他的的比例的的定义如如下：设、；、是是两对同同类的几几何量。如如果对于于任意的的自然数数、，满足足关系：若，则；若，则；若，则，则称。可以看出，在在这个定定义中并并没有必必要区分分可公度度量和不不可公度度量，当当和1都被看看作是同同一类的的量（比比如长度度，面积积等等）时时，它们们之间在在比例的的运算中中就没有有什么区区别了。第一次数学学危机促促使人们们对于数数学的严严密性给给予了更更多的关关注，即即把数学学建立在在什么样样的基础础上才是是牢靠的的。对此此，欧几几里得曾曾经说过过“必须承承认，直直觉是不不可靠的的。”因为从从直觉上上来看，有有理数（或或

18、者说整整数的比比）在数数轴上是是稠密的的，但是是在它们们之间居居然还存存在着很很多空隙隙，这显显然有悖悖于人们们的直觉觉。希腊数学家家开始借借助于严严格的证证明来保保证数学学的正确确性和严严密性。他他们从经经过精心心选择的的少数几几条明显显的公理理和公设设（公理理对所有有学科都都成立，公公设仅针针对数学学学科，现现在的数数学家对对此已经经不做区区分了）出出发，借借助于逻逻辑方法法，把数数学上各各种零碎碎的、片片断的成成果组织织成一个个比较严严密的知知识体系系，揭示示出它们们之间的的深层关关系，并并进而得得到许多多新的结结果，这这就是演演绎数学学。欧几几里得是是希腊演演绎数学学的集大大成者，其其

19、巨著几几何原本本是用用公理化化方法建建立起演演绎体系系的最早早典范，在在历史上上成为影影响仅次次于圣圣经的的一部数数学名著著。可以以这样说说，正是是第一次次数学危危机导致致了演绎绎数学的的兴起。应该注意的的是，关关于连续续量的比比例理论论的建立立并没有有最终消消除无理理数所造造成的数数学危机机。或者者可以这这样说，比比例理论论的建立立只是掩掩盖了这这次危机机。“连续”这个基基本概念念仍然依依赖于直直觉，这这一点可可能会带带来新的的困难，对对此，我我们将在在第二次次数学危危机中仔仔细论述述。另外外，虽然然无理数数被发现现了，但但是它并并没有被被吸收到到演绎数数学的体体系中来来。而且且，更重重要的

20、是是，很多多数学家家并没有有停止对对这种当当时并没没有逻辑辑基础的的“数”的研究究和使用用。像阿阿基米得得（Acchimmedees, 2877-2112.BBC），托托勒密（Ptolemy, ca.100-170.AD），丢番图（Diuphantus，ca.250.AD）等伟大的数学家并不排斥使用无理数。而东方的印度和阿拉伯的数学家则更进了一步，他们为无理数建立了运算法则，而丝毫不去关心其逻辑上的困难。但是，不管管怎样，比比例理论论被采纳纳之后，数数学的基基本问题题由“什么是是数”转变成成了“什么是量量”，毕达达哥拉斯斯学派“万物皆皆数”的信念念也就自自然地转转化为“万物皆皆量”。巴罗罗（I

21、sssacc Baarroow, 16330-116777）曾经经这样评评价过无无理数：“无理数数不过是是一些记记号，脱脱离了几几何量这这个载体体，便不不复存在在了。”对此，帕帕斯卡（B.Pascal, 1623-1662）和牛顿（Issac Newton, 1643-1727）都持相同的观点。可以看出，他们都赋予了连续的几何量以更基本的地位。2. 第二二次数学学危机2.1 危机的的产生和和发展在牛顿和莱莱布尼茨茨（Goottffrieed WWilhhelmm Leeibnniz, 16646-17116）发发明微积积分之前前，很多多数学家家已经在在微分学学和积分分学这两两个原来来没有关关联

22、的学学科上进进行了深深入的研研究并取取得了很很多重要要的结果果。大体体来说，微微分研究究瞬时速速度、切切线和极极值问题题；积分分则用于于求解距距离、面面积和体体积的问问题。牛牛顿和莱莱布尼茨茨之所以以享有微微积分发发明权的的荣誉，是是因为他他们通过过微积分分基本定定理把这这两个学学科联系系了起来来。我们已经知知道，伽伽利略曾曾经得到到了自由由落体运运动的距距离公式式，根据据这一公公式可以以很容易易求得任任意时刻刻的瞬时时速度。但但是对于于非匀加加速运动动的情况况，这种种方法就就不能奏奏效了。于于是，牛牛顿开始始从不同同的角度度、使用用不同的的方法来来研究瞬瞬时速度度的问题题。仍以自由落落体的情

23、情况为例例，不过过为简便便起见，我我们省略略了上面面公式中中的常数数，而把把运动公公式简单单地表示示成。对，牛顿考考虑在时时间的无无穷小增增量内距距离的无无穷小增增量。根据自由落落体运动动公式，有有，即。化简得，或。牛顿认为，和和有限量量相比，无无穷小增增量可以以忽略不不计，所所以在上上式中，牛牛顿令，即即得。和第五讲“天上人人间”介绍的的伽利略略的方法法相比，牛牛顿的方方法有很很大的不不同。首首先，它它更简单单；其次次，它可可以适用用于更广广泛的情情况。但但是，这这里面也也存在着着一个问问题。我我们不难难发现，牛牛顿在除除法中默默认不是是0，而在在把和有有限量进进行比较较时又令令，这在在逻辑

24、上上显然是是自相矛矛盾的。因因此，牛牛顿的方方法受到到了很多多人的批批评，其其中尤以以贝克莱莱（B.G.BBerkkeleey, 16885-117533）大主主教最为为著名。在在一本标标题很长长的、名名为分分析学者者，或致致一个不不信神的的数学家家，其中中审查现现代分析析对象、原原则与推推断是否否比起宗宗教的神神秘与信信条，构构思更为为清楚，或或推理更更为明晰晰的小小册子里里，贝克克莱批评评牛顿的的无穷小小增量说说：“它们既既不是有有限量，也也不是无无穷小，但但也不是是无，难难道它们们是死去去量的幽幽灵吗！”贝克莱莱指出的的矛盾也也叫“贝克莱莱悖论”，说明明了微积积分理论论在逻辑辑上的明明显

25、缺陷陷，这标标志着第第二次数数学危机机的产生生。但是，和第第一次数数学危机机不同，第第二次数数学危机机在产生生之初并并没有引引起大部部分数学学家的恐恐慌甚至至关注。由由于微积积分在解解决实际际问题中中所显示示出来的的巨大威威力，数数学家们们不顾对对微积分分的种种种非难，积积极投入入到发展展这种新新工具的的历史大大潮中，而而并不急急于给它它奠定一一个稳定定的基础础。于是是出现了了这样一一种局面面：一方方面，微微积分不不断取得得各种显显着的成成就，得得到各种种更强有有力的应应用；另另一方面面，在某某些领域域，数学学家们由由于滥用用微积分分而得到到很多荒荒谬的结结论。这这种荒谬谬性突出出地表现现在无

26、穷穷级数的的使用上上。以二项式的的负指数数幂的无无穷展开开为例。牛牛顿在研研究积分分问题时时得到了了一般的的二项展展开式定定理，其其形式和和我们在在高中阶阶段所学学的二项项展开式式定理相相同，只只不过后后者仅涉涉及正整整数次幂幂的情况况。根据据这一定定理，我我们有用代替上式式中的即即得在上式中，令令，得为简便起见见，我们们把这个个式子称称为。如如果我们们对右边边使用结结合率，显显然会有有=0。对比这两个个式子，我我们将得得到，这这显然是是荒谬的的。但是问题并并没有到到此结束束。如果果我们对对右边换换一种结结合方式式，比如如=1，我们又得到到。如此此可以一一直进行行下去。事事实上，如如果我们们对

27、右边边使用所所有类型型的交换换率和结结合率，我我们将得得到所有有的整数数；也就就是说，和所有的整数都相同！上面的结果果已经够够让人惊惊讶了，但但是还有有更加令令人不可可思议的的现象存存在。如如果我们们在的表表达式中中令，将将有这就是说，无无穷多个个正数的的和竟然然是一个个负数！当然，这些些悖论的的最终解解决依赖赖于后来来无穷级级数收敛敛和发散散理论的的正确建建立。我我们所关关心的是是，微积积分中出出现了这这么严重重的困难难，大多多数数学学家却并并没有停停下手头头的工作作来填补补这些漏漏洞。这这使我们们不得不不意识到到这样一一点，即即这个时时代的数数学传统统已经不不同于欧欧几里得得时代坚坚持严格

28、格证明的的数学传传统了。这这一点也也能从当当时一些些著名数数学家说说过的话话中得到到体现。克莱洛（AAlexxis-Claaidee Cllairrautt, 117133-17765）曾曾经说过过：“欧几里里得自找找麻烦地地去证明明是不足足为怪的的。这位位几何学学家必须须去说服服那些冥冥顽不化化的诡辩辩论者，而而这些人人是以拒拒绝最明明显的真真理为自自豪的。因因此，像像逻辑那那样，几几何必须须依赖形形式推理理去反驳驳他们。”他接着说到了他那个时代的传统，“但是，一切都倒了个个儿，所有那些涉及到常识且早已熟知的事情的推理，只能掩盖真理，使读者厌倦，在今天人们对它已不屑一顾了”。拉克鲁瓦（S.F

29、.Lacroix, 17651843）在其微积分教程中也宣布：“希腊人所烦恼的这种琐碎的东西，我们不再需要了！”最有意思的的莫过于于大数学学家西尔尔维斯特特（Jaamess Syylveesteer, 18114-118977），他他在给学学生上课课的时候候经常会会出现这这样两段段互相联联系的有有意思的的开场白白：“我还没有有证明这这个结果果，但是是，我能能像肯定定任何必必然事物物一样肯肯定它。在在这个基基础上，我我们证明明”“对不起，上上节课假假定的结结果错了了。让我我们重新新假设”高斯（Caarl Friiedrrichh Gaausss, 117777-18855）可可以称得得上是反反传

30、统的的代表，他他在18812年年就考虑虑了无穷穷级数的的收敛性性。但是是，大部部分数学学家对这这种严密密性并不不感兴趣趣。对此此，雅可可比（JJakoob JJacoobi, 18804-18551）说说过：“要达到到像高斯斯那样的的严密，我我们没有有时间！”对于当时的的这种不不过分追追求严密密性的数数学传统统，也有有一些数数学家发发出了反反对的呼呼声。早早在17743年年，达朗朗贝尔（J.B.L.R. dAlembert, 1717-1783）就曾经批评当时数学界的现状：“人们总是热衷于扩大数学的范畴，却很少阐明其来源；注重向高层次发展，而很少考虑加固它的基础。”罗尔(Michel Roll

31、e, 16521719)也宣称“微积分只是一些精巧的谬误的集合”。但如前所述，这些并不高昂的呼声被微积分前进的车轮声淹没了。不过，历史史是公正正的。数数学家们们迟早要要为他们们的这种种做法付付出代价价。在118000年左右右，微积积分经过过一个半半世纪的的迅猛发发展，已已经变成成了一座座雄伟的的分析学学的大厦厦，但是是它赖以以存在的的基础却却还在那那儿摇摇摇晃晃。庞庞大的分分析学也也正是在在这个时时候陷入入了困境境。这突突出地表表现在以以下几个个方面：首先是是证明的的严密性性问题，即即上述牛牛顿式的的证明到到底算不不算是一一种数学学意义上上的严格格证明？其次是是函数概概念的模模糊性，例例如数学

32、学家们让让无穷级级数像普普通函数数一样直直接参与与各种运运算，但但是，无无穷级数数到底是是不是函函数？第第三个是是关于发发散无穷穷级数的的问题，上上文已经经提及这这种级数数会造成成很多悖悖论，所所以很多多数学家家反对把把它纳入入数学体体系中，但但也有一一些数学学家在这这一领域域得到了了许多很很好的研研究成果果。另外外，由于于没有清清楚的无无穷小概概念，导导数、微微分和积积分等最最基本的的概念并并不是很很清晰，当当时的数数学家们们对在连连续这样样的基本本问题上上都没有有取得一一致意见见。例如如，欧拉拉（Leeonaard Euller, 17707-17883）所所说的连连续是指指光滑的的（即可

33、可微分的的）函数数，而在在18世纪纪后期，数数学家们们则把连连续理解解为函数数具有一一致的解解析表达达式，他他们并不不承认我我们今天天所谓的的分段连连续函数数。2.2 微积分分的严格格化既然第二次次数学危危机是由由于使用用微积分分的不严严格性造造成的，这这次危机机的消除除过程自自然就是是一个使使之严格格化的过过程。我我们知道道，微积积分产生生之初是是建立在在几何的的基础之之上，而而关于连连续量的的几何在在很大程程度上也也要依赖赖于人们们的直觉觉。像时时间、长长度、角角、面积积和体积积等等连连续量，如如果我们们以整体体的观点点来处理理它们，那那么根据据欧多克克斯的比比例理论论，我们们不会遇遇到什

34、么么困难。但但是，在在微积分分计算中中，这些些连续量量不再被被作为一一个整体体进行研研究，而而是被分分割成无无穷多份份，牛顿顿和莱布布尼茨都都是基于于这种方方法得到到微积分分的一般般原理的的。所以，当数数学家们们试图给给微积分分奠定一一个合适适的基础础时，他他们的注注意力就就集中到到代数和和算术上上来了。而而代数最最终可以以归结为为算术，也也就是说说，分析析学应该该建立在在算术的的基础上上。对此此，高斯斯在18817年年曾经说说过：“真理只只存在于于算术之之中。”但是，我我们将会会看到，这这一发展展过程并并不是一一蹴而就就的。有两位数学学家对于于分析学学的严格格化做出出了最重重要的贡贡献，即即

35、柯西（AAuguustiin CCaucchy, 17789-18557）和和维尔斯斯特拉斯斯（Kaarl Weiiersstraass, 18815-18997）。应应该说明明的是，在在此之前前，欧拉拉在其发发表于117555年的微微分学中中引入了了无穷小小的不同同阶零的的理论；拉格朗朗日（JJ.L. Laagraangee, 117366-18813）则则在其117977年的解解析函数数论中中把微积积分归结结为“纯粹的的代数分分析艺术术”。他们们的形式式化观点点加上达达朗贝尔尔于17754年年引入的的比较明明确的极极限观点点，对于于柯西等等人的工工作起到到了奠基基性的作作用。另另一个应应该

36、指出出的人是是波尔察察诺（BB.Boolzaano, 17781-18448），他他在18817年年发表了了纯粹粹分析证证明，对对函数的的连续性性、导数数等概念念做出了了合适的的定义，得得到了很很多实质质上和柯柯西相同同的结果果。但由由于他的的工作长长期湮没没无闻，对对当时的的数学界界并没有有产生什什么影响响。柯西生前写写了一系系列的著著作，其其中最具具代表性性的是118211年的分分析教程程和118233年的无无穷小计计算教程程概论。他他的著作作以严格格性为目目标，对对微积分分的基本本概念，如如变量、函函数、极极限、连连续、导导数、微微分、收收敛等等等给出了了明确的的定义。例例如，他他把变量

37、量定义为为“依次取取许多互互不相同同的值的的量”，进而而把函数数定义为为变量之之间的某某种联系系（即由由自变量量表示的的那些量量），这这样，按按照柯西西的定义义，无穷穷级数就就可以表表示一个个函数了了，而且且还突破破了在他他之前数数学家们们一直坚坚持的函函数必须须有解析析表达式式的限制制；然后后，以变变量为基基础，柯柯西定义义了极限限，并把把无穷小小量定义义为极限限为零的的变量，继继而又用用无穷小小量定义义了连续续函数，等等等。在以上基本本定义的的基础上上，柯西西严格地地表述并并证明了了微积分分基本定定理、中中值定理理等一系系列重要要定理。此此外，柯柯西还对对无穷级级数进行行了严格格的处理理，

38、明确确地定义义了无穷穷级数的的收敛性性，并建建立了判判别级数数收敛的的一个法法则，即即柯西收收敛准则则。很明显，柯柯西的工工作使分分析学向向全面的的严格化化迈出了了关键的的一步。事事实上，他他的研究究成果也也很快就就在科学学界产生生了轰动动效应。据据说，柯柯西在巴巴黎科学学院的一一次会议议上宣读读第一篇篇关于无无穷级数数收敛性性的论文文时，当当时年高高望重的的拉普拉拉斯（PP.S.M.dde LLapllacee, 117499-18827）大大为震惊惊，他在在会议之之后急急急忙忙赶赶回家，仔仔细检查查其5大卷的的名著天天体力学学，并并庆幸自自己所用用的无穷穷级数都都是收敛敛的。但是，柯西西的

39、工作作虽然在在很大程程度上澄澄清了在在微积分分基础问问题上长长期存在在的混乱乱，但它它也并非非是完美美无缺的的。例如如，柯西西使用了了许多诸诸如“无限趋趋近、”“想要要多小就就多小”等依赖赖于直觉觉的语言言进行描描述；另另外，他他也混淆淆了连续续和一致致连续这这两个不不同的概概念并错错误地认认为连续续函数一一定可导导。更重重要的是是，柯西西的几个个重要证证明都依依赖于实实数的完完备性，但但在当时时，实数数系的这这一基本本性质还还没有建建立起来来，对此此，我们们在后面面还要进进行仔细细地讨论论。微积分进一一步严格格化的重重任落在在了维尔尔斯特拉拉斯的肩肩上。在在数学史史上，维维尔斯特特拉斯关关于

40、分析析严格化化的贡献献给他带带来了“现代分分析之父父”的称号号，现代代分析学学中普遍遍使用的的语言就就是他创创造的。他他批评柯柯西等人人使用的的“无限趋趋近”、“想要多多小就多多小”等说法法具有明明显的运运动学涵涵义，并并用其静静态的、不不依赖于于直观的的语言重重新定义义了极限限、连续续、导数数等分析析学的基基本概念念。另外外，维尔尔斯特拉拉斯引入入了一直直被忽视视的一致致收敛的的概念，最最终消除除了微积积分中不不断出现现的各种种异议和和混乱现现象。可可以说，微微积分能能达到今今天所具具有的严严密形式式，本质质上应该该归功于于维尔斯斯特拉斯斯。1872年年，维尔尔斯特拉拉斯发表表了他构构造的一

41、一个处处处连续但但却处处处不可微微分的函函数，这里，是奇奇数，为为常数，。其实，维尔斯特拉斯在1861年的课堂上就已经给学生举出了这个例子；更早的波尔察诺也给出了一个具有同样性质但没有解析表达式的例子，但如前所述，数学界直到很晚才知道他的工作。维尔斯特拉拉斯的例例子使数数学界大大为震惊惊，它否否定了长长期以来来数学家家们一贯贯坚信不不移的直直觉，即即认为连连续函数数一定可可以微分分，所以以，这种种函数被被数学界界称为“病态函函数”。当时时的数学学界甚至至掀起了了一股寻寻找这种种病态函函数的热热潮，作作为结果果之一，人人们意外外地发现现了存在在无穷多多间断点点、但可可以积分分的函数数。更出出乎意

42、料料的是，数数学家们们发现这这些病态态函数远远比他们们一直在在研究的的、具有有好的性性质的那那些函数数更为普普遍。这这些例子子促使人人们得出出结论，即即必须彻彻底摆脱脱对几何何直觉的的依赖性性，重新新认识和和考察分分析学的的基础。这这方面的的努力在在19世纪纪后期促促成了数数学史上上著名的的“分析算算术化”运动。3. 万物物皆数维尔斯特拉拉斯在119世纪纪中期就就已经认认识到，微微积分计计算是在在实数舞舞台上进进行的，连连续和极极限等基基本概念念都建立立在实数数的基础础上，或或者说，实实数才是是分析学学最根本本的基础础。但当当时的数数学家们们对于实实数系本本身仍然然是以直直观的方方式去理理解的

43、，因因此，要要使分析析严格化化，必须须先使实实数系本本身严格格化。为为此，最最可靠的的办法是是，按照照严密的的推理将将实数归归结为整整数（或或有理数数，我们们在第一一次数学学危机中中已经知知道，有有理数可可以归结结为整数数的比），继继而归结结为自然然数。因因为，对对于数学学家们来来说，只只有自然然数才是是最可信信赖的。克克罗内克克（Leeopoold Kroonecckerr, 118233-18891）曾曾经说过过：“上帝创创造了自自然数，剩剩下的都都是人的的工作。”这样，对实实数的探探究不可可避免地地又把无无理数推推到了历历史的前前台。如如前所述述，在第第一次数数学危机机中发现现的无理理数

44、并没没有被希希腊几何何学家接接受，但但是数学学家对于于它的使使用却从从来没有有间断过过。直到到文艺复复兴以及及其后更更晚的一一段时期期，数学学家们对对无理数数的感情情仍然是是十分复复杂的。例例如，斯斯蒂费尔尔（Miichaael Stiifell,1448615667）曾曾经自由由地使用用各种无无理数，他他甚至还还用过这这种在当当时来说说是新的的类型的的无理数数。但是是，他同同时也承承认：“当我们们想把它它们数出出来（用用十进制制小数的的形式）时时，却发现现它们无无止境地地往远处处跑，因因而没有有一个无无理数实实质上能能被我们们准确地地掌握住住而本本身缺乏乏准确性性的东西西，就不不能称其其为真

45、正正的数因此此，正如如无穷大大不是数数一样，无无理数也也不是真真正的数数，而是是隐藏在在一种迷迷雾后面面的东西西。”对无理理数的普普遍接受受要等到到17世纪纪末期，因为直到那时候人们才认为数和代数独立于几何。那么，无理理数到底底是什么么呢？我我们知道道，在自自然数中中引入减减法就能能得到所所有的整整数，在在整数中中引入除除法就能能得到所所有的有有理数。经经过这种种处理，我我们实际际上使数数系得到到了扩张张，即从从自然数数系扩张张到整数数系，继继而又扩扩张到有有理数系系。而希希腊人所所发现的的形如的的无理数数以及它它的各种种推广形形式（如如前面提提到的）和和有理数数合在一一起也可可以构成成一个新

46、新的数系系，它可可以看作作是通过过在有理理数中引引入开方方和乘方方运算得得到的。所所以，基基于和前前面两种种情况的的对比，我我们当然然希望这这个数系系就是实实数系，或或者说，所所有的无无理数都都可以用用根式来来表示，我我们把这这种无理理数称为为“根式无无理数”。如果果真是这这样，那那么一切切问题都都解决了了。然而，222岁的阿阿贝尔（N.H. Abel, 1802-1829）1824年在其自费出版的一本小册子论代数方程，证明一般五次方程的不可解性引入了“域”（field）这个重要的近世代数概念，证明了一般的5次以上的代数方程没有根式解。而在其后不久，更年轻的伽罗瓦（E.Galois, 1811

47、-1832）在1829-1831年间完全解决了历时三百多年的代数方程根式可解性的难题。他开创了群论，指出只有当方程的伽罗瓦群（即方程根的置换群的某个子群，在它的作用下，经过有限次加、减、乘、除的运算，方程的根之间的代数关系保持不变）是可解群的时候，方程的解才能用根式表示。但是，不能用根式表示，并不代表方程的实数解不存在。如果我们在坐标系中表示一般的5次以上的代数函数，将很容易发现它们和横轴一般来说都有交点，也就是说，对应的代数方程有实根存在，不过这种实根既不是有理数，也不是根式无理数，我们把这种实根表示的无理数称为“非根式无理数”。至此，我们们已经知知道，实实数中包包含有理理数、根根式无理理数

48、和非非根式无无理数，但但所有这这些是否否就构成成了全体体实数呢呢？对于于这个问问题的回回答自然然就引出出了所谓谓的代数数数理论论。这个个理论经经过欧拉拉、勒让让德（AA.M. Leegenndree, 11752218833）、库库默尔（E.E. Kummer, 1810-1893）和戴德金（Julius Dedekind, 1831-1916）等人的努力，已经发展成现代数学的一个重要分支，即代数数论。所谓代数数数，是指指整系数数多项式式方程（）的根。可以以看出，代代数数同同时包含含了有理理数、根根式无理理数和非非根式无无理数（请请注意，代代数数和和下文将将要述及及的超越越数中还还含有虚虚数，

49、如如方程的的根就是是代数数数，但为为了我们们的目的的，本讲讲中只介介绍关于于实数的的理论，一一般不专专门涉及及虚数）。另另外，在在这里也也体现了了数学的的抽象性性，即数数学家们们已经不不在乎他他们的数数到底是是什么样样子，而而只在乎乎这种数数的确是是存在的的。所以以，如果果我们仍仍然把代代数数看看作是有有理数的的某种扩扩张，我我们也很很难再像像前述那那样把这这种扩张张的规则则简单地地表达出出来。但是，实代代数数是是否就是是所有的的实数呢呢？这突突出地表表现在人人们对于于实数和和e的认识识上。勒勒让德曾曾经猜测测可能不不是代数数数，欧欧拉也指指出它们们“超越了了代数方方法的能能力”。于是是，数学

50、学家们开开始把无无理数分分为代数数数和超超越数（指指不是代代数数的的数，它它不能通通过有限限次代数数运算得得到）。但但是，在在相当长长的一段段时间里里，超越越数只是是数学家家们的一一种猜测测。直到到18444年，刘刘维尔（Joseph Liouville, 18091882）才第一次真正展示了超越数的存在性，他证明了所有形如的数都是超超越数。此此后，埃埃尔米特特（Chharlles Herrmitte,和林林德曼（C.L.F. Lindemann）分别于1873年和1882年证明了e和的超越性。这样，在欧拉和兰伯特（J.G. Lambert, 1728-1777）分别

51、于1737年和1761年证明了e和的无理性之后的一百多年，数学家们对这两个重要常数的了解终于迈上了一个新的台阶。仍然有悖于我们的直觉的是，经过千辛万苦才找出来的超越数甚至比代数数更普遍。可以说，到到现在为为止我们们已经找找到了所所有的无无理数，虽虽然对其其中的绝绝大部分分我们仍仍然是一一无所知知。或许许这样说说更合适适，即我我们只是是找到了了无理数数的一个个分类标标准。然然而，即即便是这这一点，当当代的很很多数学学家（尤尤其是构构造主义义学派）也也并不是是特别满满意。从从本质上上来讲，超超越数的的定义是是一种否否定式的的定义，我我们并不不能从这这种定义义中得到到关于超超越数到到底是什什么的任任何启发发。正如如反对反反证法一一样，这这些数学学家也反反对“超越数数”这个概概念本身身。从这个意义义上讲，给给无理数数或者实实数一个个合适的的、统一一的定义义，它的的意义将将是多么么不同寻寻常！让我们再回回到维尔尔斯特拉拉斯。早早在18857年年，他就就给出了了第一个个严格的的实数定定义，大大致来说说，维尔尔斯特拉拉斯先从从自然数数出发定定义正有有理数，然然后再通通过无穷穷多个有有理数的的集合来来定义实实数。不不过，他他只是在在课堂上上讲述了了这一结