简明微波课后习题答案

1、作业Problems1-1试分析口常观察到的一种波现象，并指出它的特点。答：水波，光波，绳子的驻波现象。无穷大导电媒质的参数为“,O,其中CT极人，这时Maxwell方程可写成:VxH=aEyxE=-jH试导出它的波动方程，并给出一维波E=Exxe的特点，其中丘为单位矢量。VxH=oE(1)一一答：q一_X对(1)式两边取旋度Vx(Vx/)=oVx(3丿xE=-jH(2)将带入(3)得到V(V/?)-V2/=由Maxwell方程V-5=0,则V-/7=0a所以V2/7-jcooH=0o同理有V2E-joxyE=0o一维波E=E铲，由N=N。冃=丄akxE=-EavTOC o 1-5 h z7坡

2、印廷矢量S=ExH=a,丄E；严一维波特点为平面波，沿z轴正方向传播。另外一种crv2h+/2h=0cr仁其中厂=0。/VE+/；=0宀卄，“阿-曲一E=ExxeK=Exxe一维波E=Exxe,xj_vi_八丿二=Erxe22波为沿-Z方向传播，振幅随Z方向衰减，衰减因子为卑1,相位因子常数为李。3.4&,出Sop先分区写出一般解的形式f=E3.4&,出Sop先分区写出一般解的形式f=Eloejk:+EroejkH(z)=Hl(,e-HnfeE=E(严=比严zWO区域一般解的写出是基于任何区域解都是由入射波加反射波构成。所不同的是乙$0无反射波。再考虑边界接I条件(L0处电磁场切向分量连续)于

3、是有Es+Eg耳-H“由入射平面波E=Exxejkz=Ei,k,=kS.=&=2Hi=-k,x.=丄2x述严=y丄E严设反射波电场Er=Erxe+jk-=Erxe+jk:k,=kr=kkr=-&反射波电场Er=-Exxe+jk-,反射波磁场Hr=-krxEr=丄(-2)x(-x)Exe+jkz=y-Exejkz_F_F&=EixHi=炸严忌=gxfj=汕合成E=Ei+Er=xEx(ejkz一eJkz)=一力2&sin(fo)合成R=RRr=yExikz+eJkz)/r/=yj2Excos(kz)/rj_4E2ES=ExH=一力sin(fc)cos(fe)=划siii(2fc)4答:由d=2mi

4、nlD=120mm,0o=co/LC=a)J咛=53处17。作业Problems1-2i.答:z（z）=zZ/+jZo5(0艺)Z。+jZttan(Z?z/)Z=25cmZ(z尸25G,Z=5cmZ(z尸100G，Z/-Zo_100-50_1Z/+Zo100+50-32.Z/_Z=_乙+Z。乙=0乙=0忆。=50GZ(zr)=j50tan(/fcr)Z(Z)=j50时，tjm(0z)=l则pz=kn+4则zf=5k+(cm)k=0,土1+2,.411：11：11：,4一昭1（z+Zg）（i_i;ixM）EgZJ,和-（zo+zv）（i-rA.rZ=z“所以负载阻抗与短路枝节并联等效到输入端时为

5、纯电阻,等于Zo=50Q,乙50+50)当/=2s/4时，Za=严.乙50+50)/$=心/8时Zb=jZ0tan(/fe)=Zqtan()=丿50TOC o 1-5 h zQa所以当l=L且/,=时源端输入反射系数为0。481/一叫1=吆+企/_以十龙一血C12以,严巧2厂2422龙厂22龙作业Problems1-4解：不考虑负载，则归一化传输矩阵为1JX011OT1jXTcosjsinjB1J|_O1J|_jsincos。1jX1001J_JB11jX-cos。jcosQ-jsinCOS&+jSill一J2cos&jsinQcos&+sin1JX011OT1jXTcosjsinjB1J|_

6、O1J|_jsincos。1jX1001J_JB11jX-cos。jcosQ-jsinCOS&+jSill一J2cos&jsinQcos&+sin。要传输能量最佳,1J1J201一Slll一cosQ-sin吐0X=2;B=1;则r=o；即z,严=亀乙+A2cos+sinjsill一j2cos0+cos8+11：11：即要求sin。+2cosO=0;所以。=aictan(-2)=n-aictan2作业Problems1-511：11：r=o.oi(i+j)o也011：2，rj1+j2Z+l1+J+l2+j5ur=u5=5=26i8l-|r|1-V5/55-V511：11：3:20.5808-12

7、.78871Z=z乙+jZ510才=50*100+丿50+丿50*51(0.24*90/0.25)m_0Zo-jZ,50-J(100+J50)*tan(0.24*90/0.25)20.5808-12.788714.Z,”=Z。：“:警当z，一半时，z汀乙p+ytan/fe3他心。需；：議W=Wj作业Problems1-6i.乙-Z_50+丿35-50_49+”40乙+Z一50+丿35+50一449lrJ=plrJ=pp=2=Z。1+j2tall2+jtan/V11：11：7其Z=pZo=100.ZU)=Zo1+J2tan/?zr,ZU)=Zo1+J2tan/?zr,2+jtan/k”fff人z

8、=z+Az一(穴)_(一)202011：11：当Z(Z)=250Pz=knk=0芒1,2,LjrII所以一(龙一=(%_1)龙+如k=o丄2P2020当Z(z，)=100Q卩z=k兀+律鸟=0,1,2,所以=A2Qr+k=0丄2140140140140=aictann0七n0七f_aictan(140/49)_4ctan(140/49)_nnQ乙=u.yo5050+J35+J50讪(2龙/5)50+50+)35)5050+J35+J50讪(2龙/5)50+50+)35)粉11(2/5)=(475_j35)G=0.014+;0.01查Smith圆图法(1)先将阻抗归一化.乙=|=(14-)0.7

9、)在Simth圆图上找出对应点，利用等发射系数对系统处处有效，得到P=2,所以眄|=将乙沿等圆转至波腹点得d=(025-0152)4=0.098心将乙沿等|T|圆转至波节点得d=0.152兔,可见距离负载最近的点为极人值点。12一将乙沿源方向旋转丘心,得到乙”=0.95-J0.7；反归一化，得到Z,=ZinZ0=(47.5)35)。使乙旋转180得到百=07+j0.5反归一化，得到红=K/Zo=(0.014-)0.01)解:4040404011,2忆1=2+(“一7777厶H厶227712厶2151421所以4=1乙1乙，Z.=山+1乙-z21-Z7777I当互易时有尹沪(L-Z12)=1即Z

10、i2=Z21_211Z/+Z11Z22_Z_211Z/+Z11Z22_Z12Z21=_乙三烈_nz/+z22z?+z?2当乙=0时75_7Z】2Z?=coZ；=Zu7-7zA-zZAS一5厶11Zy+Z：7ZZ牛Z,+铮一乙2=Z21Z21Z/1z?AiAi求解以上方程组可得7_7o.7_lz：（z;：-z?）（z;-z沙11一乙加，厶21一z4_z5ittin_zfgz鳥22z.f-zinin作业Problems1-7z;=50V2Q/=仝=丄上=丄X6=0-075/22=75mm4/41000 xlO6解Yt=0.45+J0.2按等电导圆g=0.45交辅助圆为两点，其中一个为乙=0.44+

11、J0.16所以乙=j0.16-j0.2=-j0.04(对应0.493)所以厶=(0.493-0.25)兔=0.2432,将乙=0.44+J0.16向电源方向转90即心/8得到F；=l+J0.85,所以=-J0.85,/,=(0.388-0.25)心=0.138心U200p=L=5可以找出波节点对应的阻值为1/=0.2以等圆向负载转0.154得到乙=0.55-J1.22所以乙=乙Z。=330-）732F/=0.31-J0.68对应0.1Z/将了等|r|圆向电源交匹配圆于两点Y=1+丿1.77（对应0.182），K=l-儿77（对应0.318）所以/=（0.182-0.1）=0.0824,=（0.

12、318-0.1）=0.218/1,.-儿77对应0.332,儿77对应0.168所以人=（0.332-0.25）九=0.0822&仏=（0.25+0.168）/1,.=0.4182,一般选用较短的一组。4.乙=Z_=0.5+J0.5y；=1-/（对应0.338）600将X沿等圆向电源旋转0.1九得Y；=0.43-J0.34（对应0.438）g=0.43的圆与辅助圆交于两点，其中一点乙=0.43+）0.17（对应0.033）所以y2=j0.17-（-J0.34）=J0.51（对应0.075）,厶=（0.25+0.075）兔=0.325九将0.43+J0.17沿等軒圆向电源旋转血/8（即90”），

13、与匹配圆交于一点Y3=+；0.88（对应0.157），所以杉=70.88（对应0385）h=（0.385-0.25）兔.=0.135兔作业Problems2-11.试证明：空心波导内部不可能存在TEM模。根据约定：我们把“空心”管子称为Waveguideo（事实上，我们后面将讨论广义地说，双导体管子也是波导）。现在将证明，空心波导内不能传播TEM波。由于波导要传输电磁能量。也就是说，必须要有Z方向的Poymngting矢量，所以，它必须具有横向的电场E和磁场Ho磁场月必须是封闭成圈的，因而只有如图a和b两种可能。(a)(b)小巢的两种可能一cE根据Maxwell方程要求VxH=J+d上面可能(

14、a)明显有Hz分量不满足TEM波要求。而可能性(b)的小巢中间要末有传导电流7,要么有E。(d)(d)(C)有中心导体3)有中心电场情况(c)有中心导体一一也即同轴线，它可以传播TEM波，但不属于这里讨论的“空心”波导。情况(d丿很明显存在Ez分量，当然不是TEM波。由此归纳出：空心波导不存在TEM波。2.解：不同截面的波导会导致L，C发生变换；从而导致Z,0发生变化。证明：由于TEM模，则E.=H.=0。yxE=-丿方二=o对两边取旋度&=y(vE)-巧&=0vE=（y+2?）（E+返）oz由于其中+4且e_=o）所以v,.,=odz=0所以v；,=oo而E,=e,u（z）,带入可得w（Z）

15、V；e,=0而工0（通常情况）张。作业Problems2-2解：由maxwell方程得到:得到波动方程2E+k2得到波动方程2E+k2E=0（求解z方向）由分离变量法可以得到E=X（x）Y（y）Z+xy+=0=丄犁+丄竺+丄竽+宀。X&xYdyrzdr1d2X1d1d2ZzlhX(x)=(ax+a2eik)可得Y(y)=(b+b2ejky)Z=Ce卞所以比=Eogg+d0Z)(b严y+b2ejkjy)ejfiz代入边界条件，可得当x=0时，Ez=0,=勺+a2=0当x=ci时，E:=0,=11芒-曲+a02=o由以上两式可得吧加=1,2,3;同理忍=賓归23ab所以E.=Eqsin(巴巴x)s

16、ui(罕y)ejpzabE-/00_j纠E-/00_j纠Ey10-/0比0CO一丫0Hy-CO00一丫由矩阵0E.dEzdH:dxdH:可以得到E=_豈中cos（3）sm（罗刃宀匚jPnn-.jnn、ji7T、_砂rrj3mill./W7T、川7T、诂.午恥琐）沁亍）宀H、=_Eocos(x)sm(y)ej3z其中k；=k;+k;yTOC o 1-5 h zk;bab与TE模相差半波长。不存在TMOO,TMObTM10,最低阶TMUVx=-Hx=-axEqsin(A)e7纠Cl/?.=7丄&COS(彳(tLa作业Problems2-31.解7A模的A=f|(ffl=Vn=0)=,所以TE所以T

17、ElQ模可能工作的波长范I制是力A2ay对应的频率范闱是对应的频率范闱是6.56GHz/-t此时虺口TMn为凋落模。V(l/n)2+(l/Z?)22.解：此时A=50.083加776.142加则a应该小于心，大于0.555人远Anm=50083mh0.555入审=42.259mm所以a=47.55nnii合格。B则应小于等于0.5a=23.775mm,所以b也合格。作业Problems2-61.解：久=2.29/12=c/f=0.06/nR=0.0406/7?则=0.1374m。p=44.86若波导的半径扩大一倍，因为&=1.641/?,所以心变为原来的2倍,则fi=,=93.5,即0增大。A

18、-(/i/VAoW)2.解：2=c/=0.1m所以a=0.05m,bmax=0025m所以a=0.05m,bmax=0025mS矩J=a*b=0.00125nT2,对于圆波导，传输主模为TE11模。zc7A/012-等2如耳笋叱其中=120乃/离dp假定P.是理想导体波导的传输功率，则P=PQe，丁=-2aP严于是a=-式中P,=-表示单位长度的功率损耗，负号代表功率减少。在-2P2Paz小衰减的条件下，Po,于是PJQP爲在同轴线内壁dcr=did乙上衰减功率阳=|/;/?/*式中d,.,”为表明电流密度，R,为表面电阻。押弓=守瞪”恥处=Rsdzjmdl=扣闵尤d/P=丄R$H；dl衣2咲

19、J,n另一方面Po=EtmHtmds十側汕所以得到&=弓一R所以得到&=弓一R上比川2人2.比,必NPhn$H：dl=$H：Rde=CLe-dOJcJcJorjbJorpa卓.2宀Q+b矿d丄_忌（l+b/G）npm竺址.2疝Mg釘2汕么如丄_忌（l+b/G）npm所以pRs&比42Pq2呵H：ds2120兀bhRb/a)该式中给出的单位式Np/m,般应采用dB/m,两者之间的转化关系为adB/m=&6862Np/n）a=8.6862辰R,（1+必）佃如2120bln（b/a）3.(l)z=笔111(2),若填充介质一样5=5,且学=字；所以特性阻抗一样大。肩Qb2波长大于等于乃(d+b)单模

20、TEM波。卩心=“E二0In若填充介质一样61=山，且严=严，“1$120乃a勺b2所以同轴线1的功率人。(4)波长大于等于龙+b)，可见+$+Cl2，所以同轴线2的TEM频带宽。4.弓（畤）+丄驴rororro（p因为E=rE,尽管=0(TEM模的对称性)d(p但仍有T=从而v；E=o等价为d(pd2EdE1=_n小drrarr/一/一0rH-r12U令人+命二打严扌；人-人2=匕=*/一/一0rH-r12U令人+命二打严扌；人-人2=匕=*令E=/?(r)Z(z)=R(r)ej,5:所以式可以改写为+空-丄/?=0errrarr令丫=e-/=Inr带入(2)有TOC o 1-5 h zJ2

21、pR=0得到/?(r)=CW+C2el=C1-+C2rdtr由边界条件可知，当rTS,R(J=O,所以R(r)=C-E=C-eifizrr当r=a时，E=Eq所以Cl=EoaEr=也Z，同理Ha=空15-1Si.对称,5u2作业Problems2-1215-1Si.对称,5u2U=(S+/)/2=U，=(S-S)/2=_1_2%富;_1九+氐+2乙诊_2乙+氐-2厶由对称，可知5555士1r_11111ZgT乙ZgZg,111-iUr21111t14-Z爲JZe乙1-155555555殳Ila.=O殳Ila.=Oa.J(2)网络互易Sp=-|a.Wj=o=-|,111111120451204545901111bJ2112045120*45.9_18L-*所以/1=1/90=0.011A,/2=1/18=0.0564作业Problems3-1L=O=522=1(1)网络对称S=S”SL=O=522=a55555555当2端II匹配时，1端II的自反射系数a.j=O当a.j=O当1端II匹配时，2端II到1端II的传输系数55551+FzYL，1+FzYzu2An+A】？-AAn+A】？-AZ1-A222|a|A22+A12-A21