数学手册电子版section_第1页
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1、 3 积分的应用一、求面积 平面图形面积计算公式图 形面 积 S 曲边梯形图 形面 积 S扇形S= 或 S=2式中表示上的曲线方程，s表示上的曲线的长度，ds为弧的微分，为曲线重心 G到旋转轴的距离.曲面 在的区域上 式中柱面夹在曲面和平面之间式中C为柱面的准线，ds为曲线C(A,B)上的弧的微分 . 二、求体积 图 形体 积V 式中为上的曲线方程式中A为所旋转的平面图形的面积，为该平面图形重心G到旋转轴（x轴）的距离，此公式对计算环状体积较为方便.重心求法见本节，四 式中S(x)为垂直于x轴的截面面积 在曲面与区域 之间空间区域V由下列曲面围成：（曲面） （直柱面） （平面）式中为Oxy平面

2、上的区域，它由曲线 ，围成 三、n维空间中凸体体积公式 n维空间的点的坐标为().所谓n维空间中的凸体，是指中任意两点A和B的连线仍在中，即设A=B=,若A,B，则点.其中 , i=1,2,n下面列出几种凸体体积的计算公式.单纯形 已知n维空间中的n+1个点，包含这n+1个点的最小凸体称为由张成的单纯形，记作，若设的n个坐标为() i=1,2,n+1则单纯形的体积n=2时为三角形，n=3时为四面体.超立方体: | |, i=1,2,nV=广义八面体11:r, 0, i=1,2,n22:r, 0, 0，i=1,2,n-1n维球体: 凸体的线形变换 设有线性变换= , i=1,2,nJ=det(d

3、ij)0将凸体R映成，则的体积为这里为该线性变换的雅可比式. 四、求重心 平面图形几何重心坐标的计算公式图 形几何重心平面曲线曲边梯形 物体总质量与重心坐标的计算公式物体形状及密度总质量M与重心薄板是薄板的面密度物体形状及密度总质量M与重心是物体的密度式中ds 为弧的微分，以上积分为曲线积分。 五、求转动惯量 薄板的转动惯量 设Oxy平面内薄板的密度为=(x,y)，对于x轴,y轴，原点O的转动惯量分别为,则一般物体的转动惯量 设物体V的密度=(x,y,z).若物体对于坐标平面的转动惯量分别为;物体对于某轴l的转动惯量为;物体对于坐标轴的转动惯量分别;物体对于原点的转动惯量为,则 式中r为物体的动点到轴l的距离.六、求流体压力 设流体接触面的边缘曲线为y=f(x)（图6.9),流体密度为w，则单侧压力 七、求变力所做的功 1若s为路程，f(s)为变力，则2若s为路程，运动路线为C，f(x,y)为变力，为变力f与路线C切线的夹角，则

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