包含与排除教师版

1、工工B总数=/ +0一,4、注重叠包含与排除（容斥原理）一、知识要点集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学 生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合 的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合 的元素，数字集合中有10个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计 算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进 来加在一起，再“排除” A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+

2、 B-ABo在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。 有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。 这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题.研究这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图），这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.J /8如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B | 厅:|就会算多了，而多算的正好是部分，只要把多算的减掉就可以了.上述分析总结成公式就是：1=肃1y这个公式就是两个对象的容斥原理一、两个对象的容斥原理：4 B总数

3、=2+ 3-力、金重叠二、三个对象的容斥原理：4 B . C的总数3 一月童叠-8、C重叠一 C .2重叠+兄、C重叠三、文氏图是解决容斥问题时最重要的方法，同学们一定要掌握好、精讲精练【例题1】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两 种报纸都订的有多少人？【思路导航】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示 两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64+48=112人，比总人 数多112-96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。加人96人加人【练习1】1, 1. 一个班有学生52人,参加体育代表队

4、的有40人,参加文艺代表队的有33人,并且每个 人都至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？1.40+33-52=21 （人）2,五年级班有64名同学，订阅少年报的有32名同学，订阅小学生数学报的有51名同学。已知两种报刊每人至少订种,有多少名同学两种报刊都订了？2.32+51-64=19（人）3, 一个少儿俱乐部有92人,其中会下中国象棋的有70人,会下国际象棋的有42人,并且每 个人至少会下一种棋。两种棋都会下的有多少人?.70+42-92=20（人）【例题2】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语, 两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？【

5、思路导航】把懂英语和懂日语的人数加起来得35 + 34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两 次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69-21=48人。【练习2】1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动，有850 人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？ 900+850-260=1490（人）2,某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？26+30-12+8=52（个）3,第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做

6、对第一题的有15人，做对第二题的有10 人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组共有多少人？ 15+10-7+2=20（人）【例题3】学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时 活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问 这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？【思路导航】两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是84+86-25=144 人，所以，这两个小组都不参加的人数是250-144=106人。【练习3】1,五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有

7、86人，这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人？70+65-45=90（人）100-90=10（人）2,五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人， 语文和数学都在90分以上的有20人。两科都在90分以下的有多少人？30+35-20=45（人）50-45=5（人）3,老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科 中至少有一科在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少人？25+21-38=8（人）8： 2=4（人）【例题4】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在 获

8、奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多 少人？【思路导航】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可 知：12人是四年级和其它年级的。用16+12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人 数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16+12 20）：2=4 人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4+20=24人。【练习4】1,五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五 年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？ （24+2

9、8-32） ：2=10（人）中低年级24-10=14（人）五年级28-10=18（人）六年级2,少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共 有205人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？（170+135-205）：2=50（人）3,六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花 和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？（24+20-18）：2=13（朵）【例题5】在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂 英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？【思路导航】显然，两种语

10、言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。 因此，75+45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75 人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 7520=55人。【练习5】1, 40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？30+21-40=11（人）30-11=19（人）2,五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文65人得优， 数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。65+78-122=21 （人）65-21=

11、44（人）3,全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？46-6-（28+10）=2（人）容斥原理例1,五年级二班40名同学，其中有25人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加.那么只参加了一个小组的学生有多少人? 答案：13人.解答：如右图所示，根据已知条件，参加航模小组的有18人，所以和共18人；而两个小组都参加的有10人，所以有10人.由此可得（只参加航模小组的）有 18-10 = 8 （人）.不参加数学小组的有25人，所以和共25人.全班一共40人，所以、和共40人.从 而

12、（只参加数学小组的）有40-25-10 = 5 （人）.综上可知，只参加一个小组的（即、两块）有8 + 5 = 13 （人） 例2,渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加.有150名男生和90名女生参加长 跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了.请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？答案：55人.解答：我们可以在图的中央划一条直线，如右图所示，直线上方表示男生，下方表示女生.由图可知，求只 参加游泳而没有参加长跑的女生有多少人，也就是要求 有多少人.由条件可知，参加长跑的男生有150名，参加游 泳的男生有120名，有110名男生两项都参加了，所

13、以男生 共有150 + 120-110 = 160 （人），即、和共有160人.于是女生有305-160 = 145 （人），即、和有145人.因为有90名女生参加了长跑比赛，即和共有90人， 所以有145-90 = 55 （人）.也就是只参加游泳而没有参加长跑的女生有55人.例3,三位基金经理投资若干只股票.张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李 经理买过23只.张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只， 李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只.请问：那么这三位经理一共买 过多少只股票？ 例题3.答案：96只.解答：如图1,三个人一共买过的股票由、这

14、七部分组成.其中， 三个人都买过的是，所以有6只.而张经理和王经理都买过的有17只，它对应和，所以有17-6 = 11 （只）.同理可以求出有3只，有7只.如图2,我们把求 出来的数填进去.因为、的数目都已经知道，所以由张经理买过66只可知，有得到三个人一共同理可知有16只，有7+ 11 + 3 + 7 + 46 + 16 + 746只，买过6只.把7个部分的股票数目相加 =96 （只）股票.得到三个人一共同理可知有16只，有7+ 11 + 3 + 7 + 46 + 16 + 746只，买过6只.把7个部分的股票数目相加 =96 （只）股票.例4,培英学校有学生1000人，其中500人订阅了中

15、国少年报，350人订阅了少年 文艺，250人订阅了数学报，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人.请问：这个学校有多少人没有订报？例题4.答案：400人.解答：至少订阅两种报刊的是、和，共有400人.三种报刊都订的是，有 100 人.在 500 + 350 + 250 = 1100 中，、被计算了两次，被计算了三次，1100-400 = 700,也就是说减去、各一次，这时、恰好剩一次，还剩两次.所以订报的人数是 700-100 = 600 （人）.综上，这个学校有 1000-600 = 400 （人）没有订报.例5,图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名.已知这100本

16、书中有甲、乙、丙 签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、 丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本.问：这批图书中最少有多少 本没有被借阅过？ 答案：33本.解答：我们将题目中的条件代入容斥原理公式：借过的书=甲借的+乙借的+丙借的-甲、乙都借的-甲、丙都借的-乙、丙都借的 十三个人都借的=33 + 44 + 55-29-25-36十三个人都借的=42+三个人都借的 所以只需求最多有多少本“三个人都借过”.由题意可知，甲丙都借过的书有25本，乙丙都借过的书有36本，甲乙都借过的书有29 本，所以三个人都借过的书最多有25本.综上可得，借过

17、的书最多有42 + 25 =67 （本）.没 借过的书最少有100-67 = 33 （本）.下面我们用文氏图验证一下这种情形是否存在.如图所示，不难看出这种情形是成立的，因 此答案就是33.1.李老师出了两道题，全班40人中，第一题有30人做对，第2题有12人未做对, 两题都做对的有20人.(1)第1题不对、第2题对的有几个人？(2)两题都不对的有几个人？.答案：(1)8人；(2)2人.简答：做法同例题1,画出文氏图分析即可.某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名 男生.已知该校共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参 加数

18、学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？.答案：15人.简答：做法同例题2,画出文氏图，分开男生和女生即可.卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆 盖.已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米 和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5 平方分米，第二块和第三块重叠了 7平方分米，而第一块和 第三块则重叠了 4平方分米.如果三块重叠的部分等于2平 方分米，那么这张桌子的面积是多少？ 3.答案：89平方分米.简答：利用容斥原理，桌子的面积是40 + 36 + 27-5-7-4 + 2 = 89 (平方分米).五年级一班共有41个同学，将参加绘画

19、、航模、舞蹈三个兴趣小组，要求每人都 选其中的两项.已知航模组有27人，那么同时选绘画和舞蹈的同学有多少人？.答案：14人.简答：注意到每人都只选其中的两项，即没有同时参加三项的同学，画出 文氏图分析即可.五年级一班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛 球，则该班这三项运动都会的至少有多少人？.答案：21人.简答：做法同例题5,只需让两项运动都会的同学尽可能地多即可.森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜，其中爱吃萝卜的小 白兔的数量是爱吃白菜的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的3倍.那么 它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？

20、答案：20只.简答：共有小白兔100只，所以、中一共有100只小白兔.根据 已知条件，中的数量是中的3倍，因此我们可以设中的数量为“1”份，那么中有 “3”份.又因为爱吃萝卜的小白兔是爱吃白菜的2倍，也就是、中的总数是、中的总数的2倍，而比多“2”份，所以、中的总数为2 : (2-1) = 2份，从而全部的小白兔一共有“5”份，而它对应100只兔子，因此每份是20只.既爱吃萝卜又爱吃白菜的小白兔也就是中的，恰好有“1”份，因此共有20只.白菜的小白兔也就是中的，恰好有“1”份，因此共有20只.1.有100名同学回答A、B两个问题.都没有回答对的有10人，答对A的有75人, 答对B的有83人，两

21、题都答对的有多少人？.答案：68人.简答：利用容斥原理：（人）.在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发 放奖品的规则如下：标签号为2的倍数，奖2支铅笔；标签号为3的倍数，奖3只铅 笔；标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；其他标签号均奖1支铅笔.那么 游艺会应该准备多少支铅笔作为奖品？2.答案：232支.简答：如图所示，因为100 : 2 = 50,所以1至100中，能被2整 除的数有50个，对应到图中为和，所以是2的倍数的标签号有50个；因为100 3 = 331 ,所以能被3整除的数有33个，对应到图中则是和，所以是3的倍数 的标签号有33个；因为

22、100 : 6 = 164,所以既能被2又能被3整除的数（也就 是能被6整除的数）一共有16个，即有16个数.由此可知，有33-16 = 17 （个） 数，有50-16 = 34 （个）数，有100-17-34-16 = 33 （个）数.所以既不能被2整除 也不能被3整除的数有33个，即其它标签号有33个.要准备的铅笔数应该为50 X 2 + 33 X 3 + 33 = 232 （支）.12等分.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?12等分.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?3.答案：20段.简答：可设木棍长为120厘米，10等分会有9条刻度线，12等分会有 11条刻度线，两种刻度线有1条是重合的，可知两种刻度线总共有9 + 11-1 = 19 （条） 刻度线.从而木棍总共被锯成19 + 1 = 20 （段）.男运动员女运动员男运动员女运动员4.中国田径队的40名运动员们在训练基地进行封闭训练.其中男运动员有20名，训 练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少 名？.答案：3名.简答：做法同例题2,如右 边的