第八届数学基础大赛计算组微积分部分解答

1、注：本试题绝大多数来自于吉米多维奇。题目前面的数字代表题目或者题目原型在书中的题号。微积分部分求极限（6分）(414)limx0(1+ax)b答案：12mn(m-n)(465)limx+nx+a答案：i=1nai(516)limx+(ax+b)x(cx+d)x答案：a=c时eb-da，ac时+，ac提示：注意讨论a和c的大小。二求导数（6分）(1)(962)y=xxa+xax答案：x提示：y=(2)(964)y=sinxcosx+cosxsinx (0 x-2k2, k为整数答案：sinx提示：同上(3)(975)y=e-x2arcsin(答案：-2xe-x三求高阶导数（10分）(1) (11

2、45)设函数y=y(x)由方程x=f(y)决定，f(y)可求4次导。求y的4次导数答案：-(2)(1180)设函数y=y(x)由x和y的参数表示x=x(t)和y=y(t)决定，x，y均可求3次导，用x和y关于t的各阶导数表示y=y(x)的3次导数答案：x(3)(1190)y=1x2-3x+2答案：100!(-1提示：y=1x-2(4)(1195)y=sin3(x),答案：3提示：证明y=34(5)(1207)y=exsinx, 答案：2提示：归纳法四求偏导数（6分）(1)(3264)求m+nuxmyn,这里u=(x答案：e(2)(3265)求p+q+ruxpy答案：e(3)(3271)求m+n

3、ux答案：(-1)五求范围（6分）(1)(1456.3)f(x)=xm(a-x)n, a,m,n为正数，x0,a,求f(x)的取值范围答案：0,mm提示：用均值不等式求极值，最大值最小值求出以后，由介值定理知范围就是这个区间。或者直接求导也可以，导函数只有一个零点。(2) (1456.4)f(x)=nxn+anx+a, a为正数，n为正整数，x答案：2-n-1六解方程（此题要求精确到0.1）（4分）(1)(1621)x2+x-2=10 x (2)(1618)x4-x-1=0答案：(1)两解，x1(2) 两解，x1七求不定积分（16分）(1)(1700)sinxcosx答案：a=(2)(1715

4、)xn21+xn+2答案：n=-2(3)(1759)11+ex(4)(1870)x4x4提示：x(5)(1881)11+x3提示：设1x3(6)(1884)11+x4提示： 设1x4(7)(1886)11+答案：16提示：原式=1(8)(1904)x答案：1八求定积分（12分）(1)k为正常整数，求lim答案：1k+12(2)求抛物线y=12x2在x0,1答案：12(2(3)(2214)-11dx1-2ax+a21-2bx+答案：1abln1(4)(2270)1ex2ln2(5)(2291)0sin(nx)sinx, 其中n为正整数 答案：n偶数为0提示：证明sin(nx)sinx(6)(2286)01xmlnnxdx,其中提示：令In=所求积分，用分部积分推导In的通项。通项：I附加题：请算出e的小数点后若干位。（5位1分，10