时间序列分析方法 第13章 Kalman滤波

1、时间序列分析方法讲义 第13章 卡尔曼滤波PAGE PAGE 14第十三章 卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介介绍过一一些随机机过程的的动态表表示方法法，下面面我们在在以前的的假设基基础上，继继续分析析动态系系统的表表示方法法。13.1.1 继继续使用用的假设

2、设假设表示时时刻观测测到的nn维随机机向量，一一类非常常丰富的的描述动动态性的的模型可可以利用用一些可可能无法法观测的的被称为为状态向向量(sstatte vvecttor)的r维向量量表示，因因此表示示动态性性的状态态空间表表示(sstatte-sspacce rreprreseentaatioon)由由下列方方程系统统给出：状态方程(staate moddel) (133.1)量测方程(obsservvatiion moddel) (133.2)这里，和分分别是阶阶数为，和的参数数矩阵，是的外生或者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量

3、测方程(observation model)，维向量和维向量都是向量白噪声，满足： (113.33) (113.44)这里和是和和阶矩阵阵。假设设扰动项项和对于所所有阶滞滞后都是是不相关关的，即即对所有有和，有： (13.5)是外生或者者前定变变量的假假定意味味着，在在除了包包含在内内的信息息以外，没有为和()提供任何新的信息。例如，可以包括的滞后值，也可以包括与和(任意)不相关的变量。方程系统中中方程(13.1)至至方程(13.5)可可以表示示有限观观测值的的序列，这这时需要要状态向向量初始始值。假假设与和的任何何实现都都不相关关：，对任意 (113.66)，对任意 (113.77)状态方程

4、(13.1)表表明，可以表表示成为为的线性性函数：， (113.88)因此，方程程(133.6)和方程程(133.3)意味着着与所有有的滞后后值都是是不相关关的：， (133.9)类似地，可可以得到到：，(13.10)， (113.111)， (113.112)上述系统是是相当灵灵活的，它它的一些些结论也也可以推推广到与与相关的的系统中中，而且且系数矩矩阵也可可以是时时间的函函数。如果我我们仅仅仅关注到到上述系系统的基基本形式式，则下下面的论论述将是是十分清清晰的。13.1.2状态空空间表示示的例子子考虑一元过过程：这个过程可可以表示示成为下下面的状状态空间间模型形形式：状态方程() (133

5、.133)量测方程： (133.144)对应地，我我们指定定：，这里变量和和参数矩矩阵对应应为：，注意到这里里的状态态方程只只是一个个一阶向向量自回回归方程程，量测测方程只只是一个个简单的的等式。因因此，我我们已经经看到，状状态空间间表示只只是总结结过程的的另外一一种方式式。将过程程表示成成为这种种方式的的原因在在于，这这样可以以获得归归纳过程程动态性性的合适适方式，这这是我们们对任何何系统状状态空间间表示感感兴趣的的基本原原因。另外一个例例子是，我我们考虑虑一元过过程：对应地，它它可以表表示成为为状态空空间模型型形式为为：状态方程()：量测方程()：这里：，将给定系统统表示成成为状态态方程的

6、的方式有有多种。例例如，可可以将过过程表示示成为下下面类型型的状态态空间模模型：状态方程()：量测方程()：显然上面的的过程、两两种状态态空间模模型表示示都是具具有相同同特征的的过程表表示，这这三种表表示都具具有相同同的预测测和相同同的似然然函数值值，也就就无须讨讨论哪一一种方式式更为合合适。更一般地，一一元模型型可以通通过定义义进行状状态空间间模型表表示： (13.15)这里的参数数约束是是：当时时，；当当时，。考虑下列状状态空间间模型表表示为：状态方程()： (113.116)量测方程()： (113.115)为了验证方方程(113.116)和方方程(113.117)表示示了系统统与方程程

7、(133.155)一致致，假设设表示向向量的第第j个元素素，因此此状态方方程的第第2行表表示：第3行表明明：更一般地，第j行表示：因此状态方方程的第第1行意意味着：或者： (133.188)量测方程表表明： (133.199)在方程(113.119)两端端乘以算算子多项项式，并并利用方方程(113.118)，可可以得到到：这就是原来来的模型型，即方方程(133.155)。状态空间形形式是描描述随机机过程的的和，或或者测量量误差结结果的模模型的非非常合适适的方式式。例如如，Faama和和Gibbbonns (19882)开开始着手手研究事事前实际际利率(ex antte rreall innte

8、rrestt raate )行为为 (事事前实际际利率是是名义利利率减去去预期通通货膨胀胀率)。由由于经济济计量学学家通过过证券市市场推断断的预期期通货膨膨胀率的的数据，因因此这个个变量不不是可以以观测的的。因此此在这种种应用中中状态变变量是一一个标量量，即：，这里里表示平平均事前前实际利利率。FFamaa和Gibbbonns (19882)假假设事前前实际利利率服从从过程： (13.20)经济计量学学家可以以观测到到事后实实际利率率(名义义利率减减去真实实通货膨膨胀率)，这可可以表示示为： (13.21)这里是人们们预测通通货膨胀胀率时的的误差。如果人们以最优的方式形成通货膨胀率预测，则与自

9、身的滞后值和事前实际利率是无关的。因此方程(13.20)和方程(13.21)是状态空间模型，这里，。状态空间模模型框架架的另外外一个有有趣例子子是Sttockk和Waastoon (19991)的的研究，他他们假设设存在表表示经济济周期状状态的不不可观测测变量。假假设是个可以以观测的的宏观经经济变量量，每个个都受到到经济周周期的影影响，并并且具有有与中移移动不相相关的奇奇异成分分(表示示为)。如如果经济济周期和和每个奇奇异成分分可以利利用一元元过程描描述，则则维状态态向量是是： (133.222)该状态变量量具有的的状态方方程为： (13.23)量测方程为为： (113.224)因此，参数数描

10、述第第i个序列列对经济济周期反反应的敏敏感性。为为了出现现和描述述p阶动态态性，SStocck和WWastton (19991)将方程程(133.222)中的的和替换为为阶向量量和，这时时是维向量量。这时时方程(13.23)中的的标量需需要利用用阶矩阵替替换，该该矩阵结结构与方方程(113.113)类类似。还还需要在在量测方方程(113.224)中中的列中中加入阶阶数为的的零子块块。13.22 卡卡尔曼滤波的的推导卡尔曼滤波波是估计计状态空空间模型型的重要要方法，也也是应用用广泛的的参数估估计方法法。下面面我们介介绍卡尔尔曼滤波波的有关关公式。13.2.1卡尔尔曼滤波波的回顾顾 Ovvervv

11、ieww off thhe KKalmman Fillterr考虑上述讨讨论的状状态空间间模型的的一般形形式，为为了方便便，我们们将使用用的一些些关键方方程在这这里重复复表示如如下：，假设我们已已经得到到了观测测值，；一个个最终目目标是基基于这些些观测值值估计系系统的所所有未知知参数。但但是，目目前我们们暂时假假设参数数矩阵的的特定数数值都是是确定性性已知的的。如何何估计这这些参数数在后面面的内容容中讨论论。卡尔曼滤波波具有多多种应用用。它的的基本动动因是作作为一种种计算状状态向量量基于时时刻t观测到到的数据据进行最最小二乘乘预测的的算法。 (13.25)这里：这里表示基基于和常常数的线线性投

12、影影。卡尔尔曼滤波波是采用用叠代算算法计算算这些预预测的，按按顺序分分别产生生，。与这这些预测测有关的的是均方方误差矩矩阵，可可以由一一个阶矩矩阵表示示： (13.26)13.2.2叠代的的开始叠代首先从从开始，表表示在没没有和观测值值的基础础上对的的预测。这这就是的的无条件件均值：与此相关的的MSEE为：例如，对系系统的状状态空间间表示，状状态向量量为：这时有：，更一般地，如如果矩阵阵的特征征根都落落在单位位圆内，则则状态方方程表示示的过程程是协方方差平稳稳的。因因此，对对状态方方程两端端取无条条件数学学期望，可可以得到到：由于过程是是协方差差平稳的的，则有有：由于矩阵没没有单位位根，因因此

13、矩阵阵是非奇奇异的，因因此这个个方程存存在唯一一零解，也也就是有有：。则则的无条条件方差差也可以以类似地地得到，取取矩阵的的转置并并取数学学期望，可可以得到到(由于于存在正正交性，下下面的交交叉项的的数学期期望为零零)：假设矩阵表表示的协协方差矩矩阵，则则有：这个方程的的解可以以表示为为：因此，一般般情况下下，如果果矩阵的的特征根根都落在在单位圆圆内，因因此卡尔尔曼滤波波的叠代代可以从从和开始，这这里的表表示成为为列向量量可以从从下式得得到：如果矩阵的的部分特特征根落落在单位位圆上或或者单位位圆外，或或者无法法从状态态方程中中获得，这这时可以以利用分分析者对对初始的的最优猜猜测来替替代，而而是

14、归纳纳这种预预测置信信区间的的正定矩矩阵。中中对角线线上比较较大的数数值对应应着对真真实取值值较高的的非确定定性。13.2.3预测给定开始的的初值和和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对都具有有相同的的形式，因因此我们们讨论在在时刻tt的一般般形式。给给定和，目的的是计算算和。首先，我们们需要注注意到，我我们假设设除了包包含在内内的信息息以外，不再包含关于的信息，因此有：下面我们考考虑对的的预测：注意到根据据状态方方程，可可以得到到：因此，根据据投影的的叠代定定律，有有：这个预测的的误差为为：因此预测的的MSEE为：由于，因此此上式中中交叉项项为零。这个正交条件需要

15、根据假设和投影性质加以验证。这时可以将MSE表示为：13.2.4关于推断断的更新新给定开始的的初值和和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对13.2.5产生的预预测给定开始的的初值和和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对13.2.6归纳和和注释给定开始的的初值和和，下一一步是计计算下一一个时期期类似的的数量和和。由于于计算对对13.33基于状状态空间间表示的的预测 Fooreccastts BBaseed oon tthe Staate-Spaace Reppressenttatiion13.44参数的的极大似似然估计计 MMaxiimumm Liikellihoood Esttimaatioon oof PParaametterss13.55稳态卡卡尔曼滤滤波 Thee Stteaddy-SStatte KKalmman Fillterr13.5.1卡尔曼曼滤波的的收