最佳一致逼近多项式课件

1、3.3 最佳一致逼近多项式 3.3.1 基本概念及其理论 设 在 中求多项式这就是最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题. 使其误差13.3 最佳一致逼近多项式 3.3.1 显然 ，记为 ， 定义7为 与 在 上的偏差. 若记集合的下确界为则称之为 在 上的最小偏差. 设称其下界为0.的全体组成一个集合，（3.1）（3.2）2 显然 ，记为 定义8（3.3）则称 是 在 上的最佳一致逼近多项式 定理4则总存在 ，这个定理是最佳逼近多项式的存在性定理.假定若存在使得简称最佳逼近多项式.若使或最小偏差逼近多项式，3 定义8（3.3）则称 是 定义9若在 上有就称 是 的偏差点. 若称 为“正”偏差点. 若

2、称 为“负”偏差点. 由于函数 在 上连续，在一个点所以说 的偏差点总是存在的. 设因此，至少存使4 定义9若在 上有就称 是 的偏要证明的是“负”的偏差点，这样的点组称为切比雪夫交错点组. 证明 假定在 上有 个点使（3.4）成立， 定理5即有 个点 ，在 上至少有 个轮流为“正”、是 的最佳逼近多项式的充分必要条件是使是 在 上的最佳逼近多项式只证充分性.（3.4）5要证明的是“负”的偏差点，这样的点组称为切比雪夫交错点组. 用反证法，若存在 ，由于 在点 上的符号与故 也在 个点上轮流取“+”、“-”号. 由连续函数性质，它在 内有 个零点，但因 是不超过 次的多项式，不能超过 .使所以

3、它的零点个数一致，6 用反证法，若存在 这说明假设不对，故 就是所求最佳逼近多项式. 必要性证明略. 推论1若 ，充分性得证.则在 中存在唯一的最佳逼近多项式.7 这说明假设不对，故 就是所求最佳逼近多项式. 证明且点 是 的切比雪夫交错点组， 定理6在区间 上所有最高次项系数为1的 次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为由于8 证明且点 由定理5可知，即 是与零的偏差最小的多项式.区间 上 在 中最佳逼近多项式为定理得证.9由定理5可知，即 是与零的偏差最小的多项式.区间 由定理6可知，时，多项式 与零偏差最小，求 在 上的最佳2次逼 解由题意，所求最佳逼近多项式 应满足当故例3近多项式.10

4、由定理6可知，时，多项式 与零偏差最小就是 在 上的最佳2次逼近多项式. 11就是 在 上的最佳2次逼近多项式. 11 3.3.2 最佳一次逼近多项式 定理5给出了 的特性，这里讨论具体求法. 先讨论 的情形. 假定且 在 内不变号，求最佳一次逼近多项式 . 根据定理5可知, 至少有3个点我们要使12 3.3.2 最佳一次逼近多项式 定理5即 . 由于 在 上不变号，故 单调， 在 内只有一个零点，记为 ， 另外两个偏差点必是区间端点，即 且 由此得到 于是满足13即 . 解出 代入（3.5）得 （3.5）（3.6）这就得到最佳一次逼近多项式 ，其几何意义如图3-3. （3.7）14解出 代入

5、（3.5）得 （3.5）（3.6）这就得到最佳一次 直线 与弦MN平行，且通过MQ的中点D， 图3-3其方程为15 直线 与弦MN平行，且通过MQ的中点由（3.6）可算出 例4求 在 上的最佳一次逼近多项式. 解又 由（3.7），得 故解得16由（3.6）可算出 例4求 在 即 （3.8）误差限为 于是得 的最佳一次逼近多项式为 17即 （3.8）误差限为 于是得 的最佳一次逼近多在（3.8）中若令则可得一个求根式的公式18在（3.8）中若令则可得一个求根式的公式183.4 最佳平方逼近193.4 最佳平方逼近19 3.4.1 最佳平方逼近及其计算 对 及 中的一个子集若存在 ，使（4.1）则

6、称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数. 20 3.4.1 最佳平方逼近及其计算 由（4.1）可知该问题等价于求多元函数 （4.2）的最小值. 是关于 的二次函数，即 利用多元函数求极值的必要条件 21 由（4.1）可知该问题等价于求多元函数 （4.2）的于是有 （4.3）这个关于 的线性方程组，称为法方程. 由于 线性无关，故于是方程组（4.3）有唯一解从而得到22于是有 （4.3）这个关于 的线性方程组即对任何 下面证明 满足（4.1），（4.4）为此只要考虑 有23即对任何 下面证明 满足（4.1），（4.4 由于 的系数 是方程（4.3）的解，从而上式第二个积分为0，故（4.4）成立.

7、这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数. 故于是24 由于 的系数 是方程（4.3）的解，从而若令 若取中求 次最佳平方逼近多项式（4.5）则平方误差为则要在25若令 若取中求 次最佳平方逼近多项式（4.5）则平方此时 若用 表示 对应的矩阵， （4.6）称为希尔伯特(Hilbert)矩阵. 即26此时 若用 表示 记（4.7）的解 即为所求. 则27 记（4.7）的解 例5设求 上的一次最佳平方 解得方程组 逼近多项式.利用（4.7），得28 例5设求 上的一次最佳平方 解得方程组解之 故 平方误差 最大误差 29解之 故 平方误差 最大误差 29 3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近

8、设 若 是满足条件(2.2)的正交函数族， 而 故法方程（4.3）的系数矩阵 则30 3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近 为非奇异对角阵，（4.8）于是 在 中的最佳平方逼近函数为 （4.9）且方程（4.3）的解为31为非奇异对角阵，（4.8）于是 在由（4.5）可得均方误差为 （4.10）由此可得贝塞尔(Bessel)不等式 （4.11）32由（4.5）可得均方误差为 （4.10）由此可得贝塞尔(Be 若 ，按正交函数族 展开，（4.12）称这个级数为 的广义傅里叶(Foureir)级数， 讨论特殊情况，设 是正交多项式， 可由 正交化得到，则有下面的收敛定理. 得级数系数按（4.8）计

9、算，系数称为广义傅里叶系数. 它是傅里叶级数的直接推广.33 若 ，按正交函数族 定理7设 考虑函数（4.13）的最佳平方逼近多项式，是由（4.9）给出的其中是正交多项式族，则有展开，由(4.8)，(4.9)可得按勒让德多项式 34 定理7设 考虑函数（4.13）的最佳平方逼近多根据均方误差公式(4.10)，平方误差为 （4.15） 由定理7可得 其中 （4.14）35根据均方误差公式(4.10)，平方误差为 （4.15） 如果 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 的结论. 公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式 ， 定理8则对任意 和当 充分大时有设由(4.13)给出，它具有以下性质.

10、 36 如果 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 证明设 是任意一个最高次项系数为1的 次 定理9勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小. 在所有最高次项系数为1的 次多项式中，多项式，它可表示为37 证明设 是任意一个最高次项系数为1的 次于是 当且仅当 时等号才成立，即当时平方误差最小. 38于是 当且仅当 时等 例6 求 在 上的三次最佳平方逼近多项式. 解先计算39 例6 求 在 由傅里叶系数计算公式(4.14) 得 代入(4.13) 得三次最佳平方逼近多项式 40由傅里叶系数计算公式(4.14) 得 代入(4.13) 得三最大误差 如果 求 上的最佳平方逼近多项式， 均方误差 做变换4

11、1最大误差 如果 求 于是 在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式 42于是 在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致的. 由于勒让德多项式 是在区间 上由 只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式. 正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由43直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致 3.5 曲线拟合的最小二乘法 3.5.1 最小二乘法及其计算 在函数的最佳

12、平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据 的曲线拟合. 443.5 曲线拟合的最小二乘法 3.5.1 最 记误差 则 的各分量分别为 个数据点上的误差. 问题为利用 求出一个函数与所给数据 拟合.45 记误差 则 的各分量 设 是 上线性无关函数族，在 中找一函数 ，使误差平方和（5.1）这里 （5.2）46 设 是 这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法. 用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式. 确定 的形式问题不仅是数学问题, 还与问题的实际背景有关. 通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式, 然后通过实际

13、计算选出较好的结果.47 这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和 （5.3）这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同. 就是 次多项式. 若 是 次多项式， 的一般表达式为（5.2）表示的线性形式. 48 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中（5. 这样，最小二乘问题就转化为求多元函数 （5.4）的极小点 问题. 用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(5.2)的 中求一函数 ， 由求多元函数极值的必要条件，有 使（5.3）取得最小.49 这样，最小二乘问题就转化为求多元函数 （5.4）的极若记 （5

14、.5）上式可改写为 （5.6）这方程称为法方程，可写成矩阵形式50若记 （5.5）上式可改写为 （5.6）这方程称为法方程，可其中 （5.7）而 在 上线性无关不能推出 要使法方程(5.6)有唯一解，就要求矩阵 非奇异，矩阵 非奇异，必须加上另外的条件. 51其中 （5.7）而 在哈尔条件，则法方程(5.6) 的系数矩阵(5.7) 非奇异， 显然 在任意 个点上满足哈尔条件. 如果 在 上满足函数 的最小二乘解为 定义10设 的任意线则称 在点集 性组合在点集 上至多只有 个不同的零点，上满足哈尔(Haar)条件.方程(5.6)存在唯一的解从而得到于是52哈尔条件，则法方程(5.6) 的系数矩

15、阵(5.7) 非奇异，这样得到的 ，对任何形如(5.2)的 ，都有故 确是所求最小二乘解. 53这样得到的 ，对任何形如(5.2)的 ，都有一般可取 ，但这样做当 时，通常对 的简单情形都可通过求法方程（5.6）得到 给定 的离散数据 ， 有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上 例如， ，求解法方程（5.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，不是（5.2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型. 若两边取对数得54一般可取 ，但这样做当 例7这样就变成了形如（5.2）的线性模型 .此时，若令 则已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线. 55 例7这样就变成了形如（5.2）的线性模型 .此时，若 解 从

16、图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线， 将所给数据在坐标纸上标出，见图3-4.图3-456 解 从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性 令这里故 57 令这里故 57解得由（5.6）得方程组 于是所求拟合曲线为58解得由（5.6）得方程组 于是所求拟合曲线为58 关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据， 为拟合多项式的次数，输出参数 为拟合多项式的系数. 利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.59 关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序 x=1 1 2 3 3 3 4 5; f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x)）60 x=1 1 2 3 3 3 4 5; 60结果如下：61结果如下：61 例8设数据 由表3-1给出，用最小二乘法确定 及 . 解表中第4行为通过描点可以看出数学模型为它不是线性形式. 用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得62 例8设数据 若令先将 转化为为确定 ， 根据最小二乘法，取 则得数据表见表3-1.得63 若令先将 转化为为确定 ， 故有法方程 解得于是得最小二乘拟合曲线