材料力学正应力分析概要课件

1、弹性杆件横截面上的正应力分析第4章弹性杆件横截面上的第4章 1、与应力分析相关的截面图形几何性质 2、平面弯曲时梁横截面上的正应力 3、斜弯曲时梁横截面上的正应力4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力第4章 弹性杆件横截面上的正应力分析 5、基于最大正应力的强度计算 1、与应力分析相关的截面图形几何性质 2、平面弯曲时梁横截 与应力分析相关的截面图形几何性质1、横截面面积 常见的横截面有： 矩形 A = hb ; 圆形 A = R ;bhR2、静矩、形心 截面面积对轴的矩称为静矩： 图形几何形状的中心称形心： 与应力分析相关的截面图形几何性质1、横截面面积bhR2、静3、惯性矩、极惯性矩

2、、惯性半径 惯性矩- 惯性半径- 极惯性矩- 与应力分析相关的截面图形几何性质3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径 与应力分析相关的截面图形几何4、常见形体的惯性矩、极惯性矩 a、矩形截面的惯性矩 b、圆形截面的惯性矩 C、圆环截面的惯性矩 与应力分析相关的截面图形几何性质bhdyzyzdyzDd4、常见形体的惯性矩、极惯性矩 与应力分析相关的截面图形几何d、圆形截面的极惯性矩 e、圆环截面的极惯性矩 4、形心主惯性矩 图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩， 与应力分析相关的截面图形几何性质d、圆形截面的极惯性矩 与应力分析相关的截面图形几何性质例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 Iy ;Iz

3、 ; 解：由负面积法, Iz=H b / 12 h b / 12 = b( H - h) / 12; Iy = b H / 12 b h / 12 = b( H - h) /12; 与应力分析相关的截面图形几何性质bhzyH例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 Iy ;Iz ; 小鸟 与应力分析相关的截面图形几何性质 与应力分析相关的截面图形几何性质 与应力分析相关的截面图形几何性质 与应力分析相关的截面图形几何性质 1、平面弯曲的概念 梁的对称面：梁的横截面具有 对称轴，所有相 同的对称轴组成 的平面。 形心主轴平面：所有相同的形 心主轴组成的平 面。 平面弯曲：所有外力都作用在梁 的同

4、一主轴平面内， 梁的轴线在该平面中 弯曲成曲线。 平面弯曲时梁横截面上的正应力 1、平面弯曲的概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩作用的情况，如梁的BC段。截面上只有正应力。横向弯曲：梁的横截面上既有剪力也有弯矩，如梁的AB段。因而其上既有正应力也有切应力。 平面弯曲时梁横截面上的正应力CBl/5FAl/5MFFFl/5FD3l/5FQFAyFDy+-xx纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩作用的情况，如梁的BC段。截面上 2、纯弯曲时梁的正应力分析 纯弯曲梁的正应力分析需要三个步骤： 平面弯曲时梁横截面上的正应力应力分布应力公式变 形应变分布平面假定物性关系静力方程 2、纯

5、弯曲时梁的正应力分析 平面弯曲时梁横截面上的正应力应 平面弯曲时梁横截面上的正应力MM 中性轴a、应用平面假设确定应变分布 1） 弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。 平面弯曲时梁横截面上的正应力MM 2）梁弯曲时的平面假设 梁变形后周边表面的横向线仍然是直线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截面在变形前后仍然保持为平面，只是相对转过一个角度 d 。 3）沿梁横截面高度方向正应力表达式： 平面弯曲时梁横截面上的正应力

6、2）梁弯曲时的平面假设 平面弯曲时梁横截面上的正应力b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 由虎克定律 将上述应变公式带人得： = E 即：正应力与高度坐标成线性关系 = -E y / 其中 表示该点的曲率半径，它如何表达呢？ 平面弯曲时梁横截面上的正应力b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 平面弯曲时梁横截面上 c、应用静力方程确定正应力公式 由 由 平面弯曲时梁横截面上的正应力yxzAzyxMz c、应用静力方程确定正应力公式 平面弯曲时梁横截面上的正应 将 带人公式 得正应力公式： 正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比； 与截面的惯性矩成反比。应力分布如图： 平面弯曲时梁横截面上的正应

7、力yxzAzyxMz 将 带人公式 平面弯曲时梁横截面上的正应力y d、中性轴在横截面上的位置 中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。 e、最大正应力公式与弯曲截面模量 对于横截面上正应力最大值 其中 Wz = Iz / ymax 称为弯曲截面系数； 平面弯曲时梁横截面上的正应力maxmax d、中性轴在横截面上的位置 平面弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲截面系数: Wz = Iz /ymax ;*矩形截面的弯曲截面系数: Wz = b h / 6 ;*圆形截面的弯曲截面系数: Wz = d / 32 ;*圆环截面的弯曲截面系数 平面弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲截面系数: Wz = Iz

8、 /ymax ; 平面弯曲 f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式 公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。3、弯曲正应力公式的应用与推广 a、梁上最大正应力位置的判定 需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素； b、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲 纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的。 平面弯曲时梁横截面上的正应力 f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式 平面弯曲时梁横截面上的 平面弯曲时梁横截面上的正应力例题4-2 受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.试求最大弯矩截面B上1、2两点的正应力。CBqAl/2l/2

9、hbh/4zy21 平面弯曲时梁横截面上的正应力例题4-2 受均布荷载简支梁 平面弯曲时梁横截面上的正应力解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置 MZB = q l / 8; 2、计算正应力 1点的正应力： 为拉伸应力 2点的正应力： 为压缩正应力CBqAFqMhbh/4zy21l/2l/2xx+- 平面弯曲时梁横截面上的正应力解：1、作梁的内力图，确定最大 平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPA20015096.4zy50150例题4-3 丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数： 试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。l/2l/2 平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPA20015096

10、.4 平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPAl/2FqM20015096.4zy50150解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。 MzB=Fp l / 4 =16 kNm; 2、计算最大弯矩截面上最大正应力 最大拉伸正应力： 位置在梁的下边缘处 最大压缩正应力： 位置在梁的上边缘处。思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力？xMZmax +max Fpl/4l/2+-xx 平面弯曲时梁横截面上的正应力CBFPAl/2FqM2001 斜弯曲时梁横截面上的正应力1、产生斜弯曲的加载条件 当梁的外力平面与梁的轴线变

11、形平面不共面时，这种弯曲称斜弯曲。如图： FP2FP1变形平面合力作用平面yz 斜弯曲时梁横截面上的正应力1、产生斜弯曲的加载条件FP2F 斜弯曲时梁横截面上的正应力2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力 当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：其最大正应力： 公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。 yzCyzCmax +max 斜弯曲时梁横截面上的正应力2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的 斜弯曲时梁横截面上的正应力圆形截面斜弯曲梁的最大正应力： 例4-4 图示矩形截面梁已知：b=90mm;h=180mm; Fp1=800N; Fp2=

12、1650N; l=1m;试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。 斜弯曲时梁横截面上的正应力圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：解：1、确定梁截面上的内力分量，梁的内力如图：最大弯矩在固定端处。 Mymax = -Fp1l ; Mzmax = -Fp2l ; 2、确定梁根部截面上最大正应力作用点：如图 ,A 点处是两拉应力相加；B 点处是两压应力相加。 3、计算最大正应力: 斜弯曲时梁横截面上的正应力FP1FA1MAyFQMyFP2FA2MAzFQMzxxxxxxzz2FP!lFP2lMyMzAABByy-max +max 解：1、确定梁截面上的内力分量，梁的内力如图：最大弯矩在固定 纵向载荷作用线平行于

13、杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。 将载荷向截面形心简化得到两个内力分量：FNx 0 ; Mz0;其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力FPFPFPFPMzMz 纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力例4-5 图示开口链环由直径d=12mm的园钢制作而成。试求：1）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力；2）、当链环焊接成闭口状态应力如何？800N800N800N800N21mm弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力例4-5 图示开口链弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力解：1、计算开口链

14、环直段部分横截面上最大应力，受力如图；横截面上弯矩：横截面上正应力（如图所示） 800N800N800N800NMzcmax+ max 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力解：1、计算开口链环 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力课外练习：4-1；4-5；4-9；4-142、计算闭口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图：横截面上只有拉应力。比较两种形式链环的正应力大小相差近22倍。400N800N800N800N400Nc 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力课外练习：4-1； 课堂练习4-1 图示矩形截面柱，已知：外加载荷FP以及横截面尺寸。 试求 ABED 截面上四个角点上的

15、正应力。弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合。 课堂练习4-1 图示矩形截面柱，已知：外加载荷FP以及横截解：1、确定截面上的内力分量，在ABDE横截面将柱截开由力的平移定理将力平移到横截面的形心处，内力如图：弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力解：1、确定截面上的内力分量，在ABDE横截面将柱截开由力的 2、判断最大应力作用位置：在内力作用下A、E 分别是最大压应力和拉应力作用点 3、计算ABDE各点的应力，作图：弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 2、判断最大应力作用位置：弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上基于最大正应力的强度计算1、基于

16、最大正应力的强度条件: max 2、强度计算的主要步骤：a、计算杆件的约束力；b、作杆件的内力图；c、根据内力、横截面、材料等因素确定可能的危险点；d、应用强度条件进行强度计算： 对于塑性材料：max ; 对于脆性材料：max + +; max ；基于最大正应力的强度计算1、基于最大正应力的强度条件: m基于最大正应力的强度计算例4-6 图示圆轴AB段是空心的，已知 D = 60mm; d=40mm，尺寸和外力， =120MPa ；试分析圆轴强度是否安全。3kN5kN2.93kN5.07kNACBD3001000400基于最大正应力的强度计算例4-6 图示圆轴AB段是空心的，已基于最大正应力的

17、强度计算解：1、作内力图 2、判断可能的危险截面是C、B横截面； 3、计算危险截面上的最大正应力： 4、对轴进行强度校核： 轴的强度是安全的。2.93kN5kN5.07kN3kN2.93kN3kN-2.07kNFQ-0.9kNm1.17kNmMACBD+-+基于最大正应力的强度计算解：1、作内力图2.93kN5kN5基于最大正应力的强度计算2FpFp6001400ACB例4-7 由铸铁制作的悬臂梁尺寸如图，FP=20kN,材料的许用应力试校核梁的强度。20015096.4zy50150c基于最大正应力的强度计算2FpFp6001400ACB例4-基于最大正应力的强度计算解：1、作内力图 2、判

18、断可能的危险截面是A、B横截面； 3、计算危险截面上的最大正应力： 4、对梁进行强度校核： 梁的强度是安全的。-20kN40kN20kN20kN-20kNFq-12kNm16kNmMACB16kNmxMZxMZB截面应力分布A截面应力分布+-+-maxmaxmaxmax基于最大正应力的强度计算解：1、作内力图-20kN40kN2基于最大正应力的强度计算例4-8 图示行车梁由32a热轧工字钢制成，已知起吊时重物与 y 轴之间的夹角 =5; = 160MPa ，试校核梁的强度。80kN80kN40kN40kNACBz40004000y基于最大正应力的强度计算例4-8 图示行车梁由32a热轧工字基于最大正应力的强度计算解：1、将重物的力在z、y轴投影： 2、作内力图3、查表得32a热轧工字钢的抗弯截面模量 4、计算横截面最大正应力 Fpy0.5Fpy0.5FpyFpy79.69kNmFpz0.5FpzFpz6.97kNm+基于最大正应力的强度计算解：1、将重物的力在z、y轴投影：F基于最大正应力的强度计算 5、最大应力在梁的中间截面的两点如图：可见 max = 217.8MPa= 160MPa ；梁不安全。 讨论：1、两个方向外力作用，正应力如何相加需要作图多练习。2、当重物的力垂直时，梁是安全的。课外练习：4-10；4-11；F