惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

1、惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截截面静矩矩和形心心1.静矩的的定义式式如图1所示示任意有有限平面面图形，取取其单元元如面积积，定义义它对任任意轴的的一次矩矩为它对对该轴的的静矩，即 y xx 整个图形对对y、z轴的静静矩分别别为 C y （I-1） 00 A x2.形心与与静矩关关系 图I-11 设平面图形形形心C的坐标标为 则 0 ， （I-2） 推论1 如如果y轴通过过形心（即即），则则静矩；同理，如如果x轴通过过形心（即即），则则静矩；反之也也成立。推论2 如如果x、y轴均为为图形的的对称轴轴，则其其交点即即为图形形形心；如果y轴为图图

2、形对称称轴，则则图形形形心必在在此轴上上。3.组合图图形的静静矩和形形心设截面图形形由几个个面积分分别为的的简单图图形组成成，且一一直各族族图形的的形心坐坐标分别别为，则则图形对对y轴和x轴的静静矩分别别为 （I-3）截面图形的的形心坐坐标为 ， （I-4）4.静矩的的特征(1) 界界面图形形的静矩矩是对某某一坐标标轴所定定义的，故故静矩与与坐标轴轴有关。(2) 静静矩有的的单位为为。(3) 静静矩的数数值可正正可负，也也可为零零。图形形对任意意形心轴轴的静矩矩必定为为零，反反之，若若图形对对某一轴轴的静矩矩为零，则则该轴必必通过图图形的形形心。(4) 若若已知图图形的形形心坐标标。则可可由式

3、（I-1）求图图形对坐坐标轴的的静矩。若若已知图图形对坐坐标轴的的静矩，则则可由式式（I-2）求图图形的形形心坐标标。组合合图形的的形心位位置，通通常是先先由式（I-3）求出出图形对对某一坐坐标系的的静矩，然然后由式式（I-4）求出出其形心心坐标。（二）.惯惯性矩 惯性积 惯性半半径惯性矩定义 设任任意形状状的截面面图形的的面积为为A（图I-3），则则图形对对O点的极极惯性矩矩定义为为 （I-5）图形对y轴轴和x轴的光光性矩分分别定义义为 ， （I-6）惯性矩的特特征界面图形的的极惯性性矩是对对某一极极点定义义的；轴轴惯性矩矩是对某某一坐标标轴定义义的。极惯性矩和和轴惯性性矩的单单位为。极惯性

4、矩和和轴惯性性矩的数数值均为为恒为大大于零的的正值。图形对某一一点的极极惯性矩矩的数值值，恒等等于图形形对以该该点为坐坐标原点点的任意意一对坐坐标轴的的轴惯性性矩之和和，即 （I-7）组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即 ， ， （I-8） y y xx ddA yy 0 x0 xx 图I-2 图I-33惯性积定义 设设任意形形状的截截面图形形的面积积为A（图I-3），则则图形对对y轴和x轴的惯惯性积定定义为 （I-9）惯性积的特特征界面图形的的惯性积积是对相相互垂直直的某一一对坐标标轴定义义的。惯性积的单单位为

5、。惯性积的数数值可正正可负，也也可能等等于零。若若一对坐坐标周中中有一轴轴为图形形的对称称轴，则则图形对对这一对对称轴的的惯性积积必等于于零。但但图形对对某一对对坐标轴轴的惯性性积为零零，这一一对坐标标轴重且且不一定定有图形形的对称称轴。组合图形对对某一对对坐标轴轴的惯性性积，等等于各组组分图形形对同一一坐标轴轴的惯性性积之和和，即 （I-110）惯性半径定义： 任意形形状的截截面图形形的面积积为A（图I-3）,则图形形对y轴和x轴的惯惯性半径径分别定定义为 ， （I-111） 惯性半半径的特特征惯性半径是是对某一一坐标轴轴定义的的。惯性半径的的单位为为m。惯性半径的的数值恒恒取证之之。（三）

6、.惯惯性矩和和惯性积积的平行行移轴公公式平行移轴公公式 （I-112） （I-113）平行移轴公公式的特特征（1）意形形状界面面光图形形的面积积为A（图（I-4）； 轴为图图形的形形心轴；x，y轴为分分别与形形心轴相相距为a和b的平行行轴。（2）两对对平行轴轴之间的的距离a和b的正负负，可任任意选取取坐标轴轴x，y或形心心为参考考轴加以以确定。（3）在所所有相互互平行的的坐标轴轴中，图图形对形形心轴的的惯性矩矩为最小小，但图图形对形形心轴的的惯性积积不一定定是最小小。 y dA b C a 0 x 图I-44(四)、惯惯性矩和和惯性积积的转轴轴公式.主惯性性轴主惯惯性矩转轴公式转轴公式的的特征

7、角度的正负负号，从从原坐标标轴x,y转至至新坐标标轴，以以逆时针针转向者者为正（图5）。原点O为截截面图形形平面内内的任意意点，转转轴公式式与图形形的形心心无关。图形对通过过同一坐坐标原点点任意一一对相互互垂直坐坐标轴的的两个轴轴惯性矩矩之和为为常量，等等于图形形对原点点的极惯惯性矩，即即主惯性轴、主主惯性矩矩 任意意形状截截面图形形对以某某一点O为坐标标原点的的坐标轴轴、的惯性性积为零零（），则则坐标轴轴、称为图图形通过过点O的主惯惯性轴(图6)。截面面图形对对主惯性性轴的惯惯性矩，称称为主惯惯性矩。主惯性轴、主主惯性矩矩的确定定对于某一点点O，若能能找到通通过点O的图形形的对称称轴，则则以

8、点O为坐标标原点，并并包含对对称轴的的一队坐坐标轴，即即为图形形通过点点O的一对对主惯性性轴。对对于具有有对称轴轴的图形形（或组组合图形形），往往往已知知其通过过自身形形心轴的的惯性矩矩。于是是，图形形对通过过点o的主惯惯性轴的的主惯性性矩，一一般即可可由平行行移轴公公式直接接计算。若通过某一一点o没有图图形的对对称轴，则则可以点点o为坐标标原点，任任作一坐坐标轴x，y为参考考轴，并并求出图图形对参参考轴x，y的惯性性矩和惯惯性积。于于是，图图形通过过点o的一对对主惯性性轴方位位及主惯惯性矩分分别为 （I-116） (I-117)主惯性轴、主主惯性矩矩的特征征（1）图形形通过某某一点O至少具具

9、有一对对主惯性性轴，而而主惯性性局势图图形对通通过同一一点O所有轴轴的惯性性矩中最最大和最最小。（2）主惯惯性轴的的方位角角，从参参考轴x，y量起，以以逆时针针转向为为正。（3）若图图形对一一点o为坐标标原点的的两主惯惯性矩相相等，则则通过点点o的所有有轴均为为主惯性性轴，且且所有主主惯性矩矩都相同同。（4）以截截面图形形形心为为坐标原原点的主主惯性轴轴，称为为形心主主惯性轴轴。图形形对一对对形心主主惯性轴轴的惯性性矩，称称为形心心主惯性性矩。yy0 x 0 xx AA 图I-5 图I-66二.典型例例题分析析例I-a 试计算算图示三三角形截截面对于于与其底底边重合合的x轴的静静矩。解：计算此

10、此截面对对于x轴的静静矩时，可可以去平平行于x轴的狭狭长条(见图)作为面面积元素素（因其其上各点点的y坐标相相等），即即。由相相似三角角形关系系，可知知:,因此有。将将其代入入公式（I-1）的第第二式，即即得y dyyh b(y) y0 xx b 例题I-a图解题指导：此题为为积分法法求图形形对坐标标轴的静静矩。例I-2 试确定定图示截面形形心C的位置置解：将截面面分为、两个矩矩形。为为计算方方便，取取x轴和y轴分别别与界面面的底边边和左边边缘重合合（见图图）。先先计算每每一个矩矩形的面面积和形形心坐标标（）如如下：矩形 ，矩形 ，将其代入公公式（I-4），即即得截面面形心C的坐标标为10解题

11、指导： 此题是是将不规规则图形形划分为为两个规规则图形形利用已已有的规规则图形形的面积积和形心心，计算算不规则则图形10 yy 110 1220 x 80 图例I-3 试求图图I-cc所示截截面对于于对称轴轴x轴的惯惯性矩解：此截面面可以看看作有一一个矩形形和两个个半圆形形组成。设设矩形对对于x轴的惯惯性矩为为，每一一个半圆圆形对于于x轴的惯惯性矩为为，则由由公式（I-111）的第第一式可可知，所所给截面面的惯性性矩： （1）矩形对于xx轴的惯惯性矩为为： （2）半圆形对于于x轴的惯惯性矩可可以利用用平行移移轴公式式求得。为为此，先先求出每每个半圆圆形对于于与x轴平行行的形心心轴（图b）的惯惯性矩。已已知半圆圆形对于于其底边边的惯性性矩为圆圆形对其其直径轴轴（图b）的惯惯性据之之半，即即。而半半圆形的的面积为为，其形形心到底底边的距距离为（图b）。故故由平行行移轴公公式（I-100a），可可以求出出每个半半圆形对对其自身身形心轴轴的惯性性矩为： （3）由图a可知知，半圆圆形形心心到x轴距离离为，故故在由平平行移轴轴公式，求求得每个个半圆形形对于x轴的惯惯性矩为为：将d=800mm、 a=1000mm （图a）代入入式（4），即即得