2023高考数学复习详细资料(精品)-向量

1、2023高考数学复习详细资料(精品)向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,那么称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比拟大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向

2、是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了根底,向量确实是一个好工具.特别是向

3、量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)那么=(x1+x2,y1+y2)=x2-x1,y2-y1+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)那么=(x,y)两个向量的数量积记那么=x1x2+y1y2(二)运算律加法：(交换律); (结合律)实数与向量的乘积：; ;两个向量的数量积:=; ()=()=();(+)=+注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法那么，正确迁移实数的运算性质可以简

4、化向量的运算，例如()2=(三)运算性质及重要结论平面向量根本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量根本定理实际上是平面向量坐标表示的根底.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即假设A(x，y)，那么=x,y；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即假设Ax1,y1，Bx

5、2,y2，那么=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量,那么(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数是唯一存在的,当与同向时,0；当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，那么两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度);(垂直的判断); (求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量,的数量积运算结果是一个数(其中)

6、,这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 2 h * MERGEFORMAT 叫做向量在方向上的投影如图.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.如果,那么=,这就是平面内两点间的距离公式.课前预习1在中， 2.平面内三点,假设，那么x的值为()(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)53. 设， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，那么：()()=0|-|()

7、()不与垂直(3+2)(32)=9|2-4|2中，真命题是( )(A) (B) (C) (D)4. OAB中,=,=,=,假设=，tR，那么点P在( )(A)AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上(C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上5. 正方形对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=0，3，=4，0，那么=( )(A) (B) (C)7，4 (D)6.,那么实数x=_.7.那么_,_,与的夹角的余弦值是_.8在中,假设,那么=.； 9. 的三个顶点分别为求的大小.10. ABC中，A2，-1，B3，2，C-3，-1，BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。11.在OAB的边

8、OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量.典型例题一、平面向量的实际背景与根本概念 B AC O F D E图1EG1.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与、相等的向量。 B AC O F D E图1变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与、共线的向量。 B AC O F B AC O F D E 图2变式2：如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的线性运算EG2. D CA B如图，在平行四边形ABCD中，a ，b ， D CA B你能用a，b表示向量，吗

9、？变式1：如图，在五边形ABCDE中，a ，b ，c ，d ， D E C A B试用a ，b ， c ， d表示向量和. D E C A B D C OA B变式2：如图，在平行四边形ABCD中，假设，a ，b D C OA B那么以下各表述是正确的为 A BCa + b D(a +b)变式3：=a，=b, =c,=d, 且四边形ABCD为平行四边形，那么 A. a+b+c+d=0B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0变式4：在四边形ABCD中，假设，那么此四边形是()A平行四边形B菱形C梯形 D矩形变式5：a、b是非零向量，那么|a|=|b|是(a+b)与(ab)垂

10、直的 A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件变式6：在四边形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共线，那么四边形ABCD为 A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形变式7：菱形ABCD，点P在对角线AC上不包括端点A、C，那么等 A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(),(0,1)D.(),(0,)变式8：D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=,那么以下各式：= += +=其中正确的等式的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4EG3 ba如图，任意两个非零向量a 、b ，试作a + b，a + 2b， ba

11、a + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线证明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三点共线变式2：点A、B、C在同一直线上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系EG4.四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：变式1：任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F， D C E FA B D C E FA B三、平面向量的根本定理及坐标表示EG4

12、.a = (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求 y 变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为 A BC 或 D 或变式2：a，b，当a+2b与2ab共线时，值为 A1 B2 C D变式3：A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 与方向相反的单位向量是( )A(0,1) B(0,1) C (1,1) D(1,1) 变式4：a = (1，0)，b = (2，1) 试问：当k为何实数时，kab与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？EG5.设点P是线段上的一点，、的坐标分别为，(1) 当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段的一个三等分点时，求P

13、的坐标变式1：两点，那么P点坐标是 OAPQBabA BOAPQBab变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，假设a，b，那么，(用a、b表示)四、平面向量的数量积EG6.|a|6，|b| 4且a与b的夹角为，求 (a+2b)(ab) 变式1：那么与夹角为A、 B、C、 D、变式2：向量a和b的夹角为60，| a | 3，| b | 4，那么2a ba等于 A15 B12 C6 D3变式3：在ABC中，|=4，|=1，SABC=，那么等于 A.2B.2C.2D.4变式4：设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.EG7.|a|3，|b| 4且a与b不共线，k为何实数时，向量a+kb

14、与ab互相垂直？变式1：ab，|a|2，|b| 3，且向量3a+2b与kab互相垂直，那么k的值为 A B C D1变式2：|a|1，|b| 且aba，那么a与b夹角的大小为EG8.a = (4，2)，求与向量a垂直的单位向量的坐标变式1：假设i = (1,0), j =(0,1)，那么与2i+3j垂直的向量是 ( )A3i+2j B2i+3jC3i+2jD2i3j变式2：向量，假设与垂直，那么实数= A1B1C0D2 变式3：假设非零向量互相垂直，那么以下各式中一定成立的是 ABCD变式4：向量a3，4，b2，x，c2，y且ab，ac求|bc|的值EG9.A (1，2)，B (2，3)，C

15、(，5)，试判断的形状，并给出证明变式1：是所在的平面内的一点，且满足，那么 一定为 A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形变式2：A、B、C三点不共线，O是ABC内的一点，假设0，那么O是ABC的 A 重心B 垂心C 内心D 外心变式3：，那么ABC一定是 A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形变式4：四边形中，1假设，试求与满足的关系式；2满足1的同时又有，求的值及四边形的面积。 五、平面向量应用举例EG10.题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P

16、是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.变式2：ABC中，假设，求证：ABC为正三角形.变式3：平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证.变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：实战训练1.08全国一3在中，假设点满足，那么ABCD2.08安徽卷3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，假设，,那么 A2，4B3，5C3，5D2，4 3.08湖北卷1设,那么CA.B. C. D.4.08湖南卷7设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且那么与( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 5

17、.08陕西卷15关于平面向量有以下三个命题：假设，那么假设，那么非零向量和满足，那么与的夹角为其中真命题的序号为写出所有真命题的序号6.08广东卷8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点假设，那么 ABCD7.08浙江卷9，b是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足,那么的最大值是 A1 B2 C D8.08辽宁卷5O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，那么 ABCD9.08海南卷8平面向量，共线的充要条件是 A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，10.08上海卷5假设向量，满足且与的夹角为，那么 11.08全国二13设向量，假设向量与向量共线，那么12.08北京卷10向量与的夹角为，且，那么的值为 13.08天津卷14平面向量，假设，那么_ 14.08江苏卷5，的夹角为，那么15.08江西卷13直角坐标平面上三点，假设为线段的三等分点，那么=1608海南卷13向量，且，那么= _1708福建卷17向量m=(sinA,cosA),n=，mn1，且A为锐角.求角A的大小；求函数的值域.18.在中，角A、B、C的对边分别为，向量且满足，求角A的大小；假设试判断的形状。19.向量，假设