第一节向量及其线性运算解读课件

1、第一节 向量及其线性运算一、空间直角坐标系二、向量与向量的线性运算三、向量的坐标表示式四、用坐标表示向量的模和方向余弦第六章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算一、空间直角坐标系第六章 向量代数空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间直角坐标系xyzo空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间直角坐标面面面空间直角坐标系共有八个卦限面面面空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点两点间的距离公式两点间的距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为空间两点间距离公式特殊

2、地：若两点分别为同理可得，点到轴和轴的距离分别为其中分别是点在轴和轴上的投影。同理可得，点到轴和轴的距离分别为其中分别是点在轴和轴上的投影例 2在轴上求与点等距离的点。解 因为所求的点在轴上，故可以设它为依题意有即有解得因此，所求的点为例 2在轴上求与点等距离的点。解 因为所求的点在轴上，故可向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.向量的模：向量的大小.单位向量：二、向量与向量的线性运算或或或1、向量的概念向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相

3、反的向量.自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同1 加法：（平行四边形法则）特殊地：若分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2、向量的线性运算1、向量的加减法1 加法：（平行四边形法则）特殊地：若分为同向和反向（向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）2 减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3向量与数的乘法向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的

4、模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的 例3 已知平行四边形ABCD的对角线向量为 ， ,试用向量a和b表示向量 解 设 的交点为O（图），由于平行四边形对角线互相平分，故 例3 已知平行四边形ABCD的对角线向量为 ， 第一节向量及其线性运算解读课件三、向量的坐标表示式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式三、向量的坐标表示式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表如图所示：向量的坐标表示如图所示：向量的坐标表示设向量向量模长的坐标表示式1、向量的模四、用坐标表示向量的模和方向余弦设向量向量模长的坐标表示式1、向量的模四、用

5、坐标表示向量的模空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.2、方向余弦空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的非零向量 的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.非零向量 的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.当 时，向量方向余弦的坐标表示式当 时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的和特殊地：单位向量的方向余弦为方向余弦的和特殊地：单位向量的方向余弦为例4 已知点 求向量方向相同的的模、方向余弦及与单位向量.解 由（2）式和（3）式，得故例4 已知点 求向量方向由（11）式知，向量是与a方向相同的单位向量，所以与 方向相同的单位向量为由（11）式知，向量是与a方向相同的单位向量，所以与 方向 例5 设向量 的方向角为锐角，且求 向量的坐标表示式 解 因为于是有故 例5 设向量 的方向角为锐角，且求 向量的坐 所以，向量