三大抽样分布课件

1、5.4 三大抽样分布本次课教教学目的的：掌握三大大抽样分分布的构构造性定定义并熟熟悉一些些重要结结论重点难点点:三大抽样样分布的的构造及及其抽样样分布一些重要要结论教学基本本内容及及其时间间分配三大抽样样分布的的构造性性定义30分钟定理及其其三个推推论以及及证明70分钟根据本节节课的特特点所采采取的教教学方法法和手段段:启发式讲讲授，图图文结合合加深对对三大分分布的印印象引 言有许多统统计推断断是基于于正态分分布的假假设的，以标准正态态变量为为基石而而构造的的三个著著名统计计量在实际中中有广泛泛的应用用，这是是因为这这三个统统计量不不仅有明明确背景景，而且且其抽样样分布的的密度函函数有明明显表

2、达达式，他他们被称称为统计计中的“三大抽样样分布”.若设是是来自自标准正正态分布布的两个个相互独独立的样样本，则则此三个个统计量量的构造造及其抽抽样分布布如表5.4.1所示示.5.4.1分分布(卡卡方分布布)问题：如何确定 的分布？图像：密度函数数的图像像是一个只只取非负值的偏态分布布数字特征征：当随机变量时，对给定的，称满足的是自由度为n的卡方分布的分位数. 5.4.2F分分布其中m称为分子子自由度度，n称为分母母自由度度.定义5.4.2 设独立，则称的分布是自由度为m与n的F分布,记为问题：如何确定 的分布？首先，我们导出的密度函数 第二步，我们导出 的密度函数 首先，我们导出的密度函数

3、Z的密度度函数为为第二步，我们导出 的密度函数 这就是自自由度为为m与n的F分布的密密度函数数。） 有F分布的构造知，若FF(m,n),则有1/F F(n,m),故对给定， 例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得5.4.3t分分布定义5.4.3设随机变量独立且则称的分布为自由度为n的t分布，记为 问题：如何确定 的分布？由标准正态密度函数的对称性知，从而t与-t有相同分布。 所以在上上式两边边同时关关于y求求导得t分布的的密度函函数为：这就是自自由度为为的分布的的密度函函数。分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布 与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标

4、准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。 自由度为1的分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；1时,分布的数学期望存在且为0。1时,分布的方差存在，且为/(-2)；当自由度较大 时，分布可以用(0,1)分布近似(见下页图)N(0，1)和t(4)的尾部概概率比较较c=2c=2.5c=3c=3.5XN(0,1)0.04550.01240.00270.000465Xt(4)0.11610.06680.03990.0249当随机变量 时称满足的是自由度为的分布的1-分位数。由于分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系譬如。那么从附表4 上查到可以从附表4中查到。譬如=10,=0.05

5、,分位数5.4.4一一些重要要结论的样本，其样本定理5.4.1 设是来自正态总体均值和样本方差分别为和则有（1）与（2）（3）相互独立；证明 记，则有取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为,如令Y=AX，则则由多维维正态分分布的性性质知Y仍服从从n维正正态分布布，其均值和和方差分分别为由此，且都服从正态的各个分量相互独立，分布，其方差均为 ,而均值不完全相同，这证明了了结论（1）这证明了了结论（2）这证明了了结论（3）推论5.4.1 在定理5.4.1的记号下，有将5.4.4左端改写写为由于分子子是标准准正态变变量，分分母的根根号里是是自由度度为n-1的t变量除以以它的自自由度，且分子子与分母母相互独独立，由由t分布定义可知，tt（n-1），推论论证完。证明由由定理理5.4.1（2）可可以推出出 推论5.4.2 设是来自的样本，是来自的样本且此两样本相互独立，记其中则有特别，若，则 证明:由两样本本独立可可知，与相互独立立且由F分布定义义可知FF（m-1，n-1）推论5.4.3 在推论5.4.2的记号下，设,并记则证明由与独立由定理5.4.1知，独