复变函数论课件：5-3 解析函数在无穷远点的性质_第1页
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1、 定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-:+|z|0内解析,则称点为f(z)的一个孤立奇点. 设点为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,于是在去心邻域:(5.12)5.3解析函数在无穷远点的性质 (1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-,有扩充z/平面上的原点的去心邻域; (2)在对应点z与z/上,函数(3)或两个极限都不存在. 定义5.5 若z/=0为的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=为f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点. 设在去心邻域K-0:0|z|1/r内将展成罗朗级数:令z/=1/z,根据(5.12),则有其中(5.13

2、) (5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-:0r|z|+内的罗朗展式.对应在z=0的主要部分,我们称为f(z)在z=的主要部分. 定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立: (1) f(z)在 z=的主要部分为 定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立: (1)f(z)在 的 主要部分为零; (2) (3)f(z)在 的某去心邻域N-内有界. 定理5.5(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点为极点的充要条件是 定理5.6(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点为本

3、性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂 (2)f(z)在z=的某去心邻域N-内能表成其中 在z=的邻域N内解析,且 (3)g(z)=1/f(z)以z=为m级零点(只要令g(z)=0).不等于零; (2)广义不存在(即当z趋向于时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限). 定理5.6(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂例5.11例5.12 将多值函数的在无穷远点的某去心邻域内展成洛朗级数例5.12 将多值函数的在无穷远点的某去心邻域内展成洛朗级数例5.14 求出函数的全部奇点,并判断其类型(含点)例5.16 设f(z)在0|z-a

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