(新高考)高考数学一轮复习课件第2章§2.3《函数的奇偶性、周期性与对称性》(含解析)

1、第二章考试要求1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.落实主干知识探究核心题型课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称1.函数的奇偶性f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xT

2、D，且_，那么函数yf(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期.f(xT)f(x)最小最小正数1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).常用结论常用结论3.函数对称性常用结论(1)f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x)的图象关于直线xa对称.常用结论(3)f(2ax)f(x)2bf(x)的图象

3、关于点(a，b)对称.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)0.()(2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则yf(x)g(x)为奇函数.()(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(kN*)也是函数的一个周期.()(4)若函数f(x)满足f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于直线x2对称.()1.下列函数中为偶函数的是A.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2x根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是

4、奇函数，也不是偶函数.2.若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x0,2)时，f(x)2x，则f(2 023)_.f(x)的周期为2，3.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_.(2,0)(2,5由图象可知，当0 x0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1 判断下列函数的奇偶性：题型一函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.显然函

5、数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.显然函数f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.例2(1)(2022哈尔滨模拟)函数f(x)x(exe

6、x)1在区间2,2上的最大值与最小值分别为M，N，则MN的值为A.2 B.0 C.2 D.4命题点2函数奇偶性的应用依题意，令g(x)x(exex)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(x)x(exex)g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间2,2上的最大值与最小值的和为0，而f(x)g(x)1，则有Mg(x)max1，Ng(x)min1，于是得MNg(x)max1g(x)min12，所以MN的值为2.(2)(2021新高考全国)已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a_.1方法一(定义法)因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(x)f(x)

7、对任意的xR恒成立，所以(x)3(a2x2x)x3(a2x2x)对任意的xR恒成立，所以x3(a1)(2x2x)0对任意的xR恒成立，所以a1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，经检验，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.方法三(转化法)由题意知f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数.设g(x)x3，h(x)a2x2x，因为g(x)x3为奇函数，所以h(x)a2x2x为奇函数，所以h(0)a20200，解得a1，经检验，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.1.已知函数f(x) ，则函数f(x)A.既是奇函数也是偶函数B.

8、既不是奇函数也不是偶函数C.是奇函数，但不是偶函数D.是偶函数，但不是奇函数教师备选由9x20且|6x|60，解得3x3且x0，可得函数f(x)的定义域为x|3x3且x0，关于原点对称，所以f(x)是奇函数，但不是偶函数.1f(x)为奇函数且f(1)g(1)，f(1)f(1)(1)1，g(1)1，f(g(1)f(1)1.思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.跟踪训练1(1)(2021全国乙卷)设函数f(x)

9、 ，则下列函数中为奇函数的是A.f(x1)1 B.f(x1)1C.f(x1)1 D.f(x1)1(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，f(x)2x2xa，则a_；当x0时，f(x)_.12x2x1f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即1a0，a1.当x0时，f(x)2x2x1，设x0，f(x)2x2(x)12x2x1，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x2x1，f(x)2x2x1.例3(1)(2022重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x2)f(x2)，当x(0,2)时，f(x)x2，则f 等于题型二函数的周期性由f(x2)f(

10、x2)，知yf(x)的周期T4，又f(x)是定义在R上的奇函数，(2)函数f(x)满足f(x)f(x2)13，且f(1)2，则f(2 023)_.f(x)f(x2)13，f(x)的周期为4，教师备选1当x0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)，得，f(x1)f(x2)，f(x)的周期为6，f(2 023)f(33761)f(1)f(0)f(1)20211.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.跟踪训练2(1)(2022

11、安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2 023)等于A.336 B.338C.337 D.339因为f(x6)f(x)，所以函数的周期T6，于是f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)(32)21，f(4)f(2)(22)20，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)1，而2 02363371，所以f(1)f(2)f(3)f(2 023)33711338.(2)函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(

12、2 021)f(2 022)_.0f(x1)f(x1)，f(x)的周期为2，f(2 021)f(2 022)f(1)f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，且f(1)f(1)，又f(x)的周期为2，f(1)f(1)，由得f(1)0，f(2 021)f(2 022)0.例4(1)(多选)(2022承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2x)f(2x)，且f(x)f(x)，则下列结论正确的是A.f(x)的图象关于直线x2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.f(x)的周期为4D.yf(x4)为偶函数题型三函数的对称性f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于

13、直线x2对称，故A正确，B错误；函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(x)f(x4)，又f(x)f(x)，f(x4)f(x)，T4，故C正确；T4且f(x)为偶函数，故yf(x4)为偶函数，故D正确.12函数yf(x)2为奇函数，函数yf(x)的图象关于点(0,2)对称，两函数图象交点关于(0,2)对称，则y1y2y63412.延伸探究在本例(2)中，把函数“yf(x)2”改为“yf(x1)2”，把“g(x) ”改为“g(x) ”，其他不变，求x1x2x6y1y2y6的值.yf(x1)2为奇函数，函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，g(x)的图象也关于点(1,2)对称，则x1x2x6y

14、1y2y6323418.教师备选1.函数f(x)lg|2x1|图象的对称轴方程为_.2.已知函数f(x)x3ax2bx1的图象关于点(0,1)对称，且f(1)4，则ab_.1因为f(x)关于点(0,1)对称，所以f(x)f(x)2，故f(1)f(1)2，即1ab1(1)ab12，解得a0，所以f(x)x3bx1，又因为f(x)3x2b，所以f(1)3b4，解得b1，所以ab1.思维升华(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心.(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题.跟踪训练3(1)函数f(x)的周期为

15、6，且f(x2)为偶函数，当x0,2时，f(x)2x1，则f(2 025)_.1f(x)的周期为6，则f(2 025)f(3)，又f(x2)为偶函数，f(x)的图象关于直线x2对称，f(3)f(1)1，f(2 025)1.(2)(多选)关于函数f(x)sin x 有如下四个命题，其中正确的是A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的图象关于直线x 对称D.f(x)的图象关于点(，0)对称f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确.f(x2)f(x)，f(x)的图象关于点(，0)对称，故D正确.KESHIJINGLIAN 课时精练1.如果奇函数f(x)在

16、3,7上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上A.单调递增且最小值为5B.单调递减且最小值为5C.单调递增且最大值为5D.单调递减且最大值为5基础保分练1234567891011121314151612345678910111213141516因为奇函数f(x)在3,7上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间7，3上单调递增且最大值为5.2.(2022南昌模拟)函数f(x) 的图象A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称 D.关于直线yx对称f(x)3x3x，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.123456789101

17、112131415163.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)2，则f(2 021)等于A.2 B.0 C.2 D.412345678910111213141516依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)2，则有f(2 021)f(35064)f(3)f(3)2，所以f(2 021)2.4.(2022宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的xR都有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)x2axb，则ab等于A.0 B.1 C.2 D.212345678910111213141516因为f(x)是定义在

18、R上的奇函数，且x0,2时，f(x)x2axb，所以f(0)b0，f(x)f(x)，又对任意的xR都有f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以函数图象关于直线x1对称，12345678910111213141516所以ab2.5.(多选)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.yf(|x|) B.yf(x)C.yxf(x) D.yf(x)x12345678910111213141516由奇函数的定义f(x)f(x)验证，A项，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；B项，f(x)f(x)f(x)，为奇函数；C项，xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；D项，f(x

19、)(x)f(x)x，为奇函数.可知BD正确.123456789101112131415166.(多选)(2022湖北新高考9N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x2)是奇函数，则A.f(x)的图象关于点(2,0)对称B.f(x)的图象关于直线x2对称C.f(x)的周期为4D.f(x)的周期为812345678910111213141516f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，f(x)f(x)，又f(x2)是奇函数，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x2)0，f(x8)f(x4)f(x)，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.123456789

20、101112131415167.(2022湘豫名校联考)已知f(x)ax2bx1是定义在a1,2a上的偶函数，则ab_.12345678910111213141516因为f(x)ax2bx1是定义在a1,2a上的偶函数，12345678910111213141516同时f(x)f(x)，即ax2bx1a(x)2b(x)1，则有bx0，必有b0.1234567891011121314151612345678910111213141516由f(1x)f(1x)，f(x2)f(x)，知f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)的周期为4，12345678910111213141516123456789

21、10111213141516设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0，a1)，则f(1)等于A.1 B.0 C.1 D.212345678910111213141516由已知可得f(1)g(1)a2a21，f(1)g(1)a2a21，因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(1)g(1)a2a21，12345678910111213141516解得f(1)1.1234567891011121314151613.(多选)(2022本溪统考)已知定义在R上的奇函数f(x)对xR都有f(x2)f(x)，则下列判断正确的是A.f(x)是周期

22、函数且周期为4B.f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f(x)的图象关于直线x1对称D.f(x)在4,4上至少有5个零点12345678910111213141516对于A选项，因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A项正确；对于B选项，因为f(x2)f(x)，且f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，故B项错误；12345678910111213141516对于C选项，因为f(x2)f(x)，所以f(x)f(x2)，又因为f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，故C项正确；对于D选项，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，因为T4，12345678910111213141516所以f(4)f(4)0，因为f(x2)f(x)，所以f(02)f(0)0，所以f(2)0，因为T4，所以f(2)0，故D项正确.1234567891011121314151611 0111234567891011121314151612345678910111213141516得2 0222m，即m1 011，15.(多选)(2022岳阳质检