高中数学解题思维策略3

第四讲数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一一个有机机的整体体，它的的各个部部分之间间存在概概念的亲亲缘关系系。我们们在学习习每一分分支时，注注意了横横向联系系，把亲亲缘关系系结成一一张网，就就可覆盖盖全部内内容，使使之融会会贯通”，这里里所说的的横向联联系，主主要是靠靠一题多多解来完完成的。通通过用不不同的方方法解决决同一道道数学题题，既可可以开拓拓解题思思路，巩巩固所学学知识；；又可激激发学习习数学的的兴趣和和积极性性，达到到开发潜潜能，发发展智力力，提高高能力的的目的。从从而培养养创新精精神和创创造能力力。在一题多解解的训练练中，我我们要密密切注意意每种解解法的特特点，善善于发现现解题规规律，从从中发现现最有意意义的简简捷解法法。数学思维的的开拓性性主要体体现在：：一题的多种种解法例如已已知复数数满足，求求的最大大值。我们可以考考虑用下下面几种种方法来来解决：：①运用复数数的代数数形式；；②运用复数数的三角角形式；；③运用复数数的几何何意义；；④运用复数数模的性性质（三三角不等等式）；；⑤运用复数数的模与与共轭复复数的关关系；⑥（数形结结合）运运用复数数方程表表示的几几何图形形，转化化为两圆圆与有公共共点时，的最大值。一题的多种种解释例如，函数数式可以以有以下下几种解解释：①可以看成成自由落落体公式式②可以看成成动能公公式③可以看成成热量公公式又如“1”这个数数字，它它可以根根据具体体情况变变成各种种形式，使使解题变变得简捷捷。“1”可以变变换为：：，等等等。思维训练实实例例1已已知求证证：分析1用比较较法。本本题只要要证为了了同时利利用两个个已知条条件，只只需要观观察到两两式相加加等于22便不难难解决。证法1所以分析2运用分分析法，从从所需证证明的不不等式出出发，运运用已知知的条件件、定理理和性质质等，得得出正确确的结论论。从而而证明原原结论正正确。分分析法其其本质就就是寻找找命题成成立的充充分条件件。因此此，证明明过程必必须步步步可逆，并并注意书书写规范范。证法2要证只只需证xM·yd图4－2－1OxM·yd图4－2－1O因为所以只需证证即因为最后的的不等式式成立，且且步步可可逆。所所以原不不等式成成立。分析3运用综综合法（综综合运用用不等式式的有关关性质以以及重要要公式、定定理（主主要是平平均值不不等式）进进行推理理、运算算，从而而达到证证明需求求证的不不等式成成立的方方法）证法3即分析4三角换换元法：：由于已已知条件件为两数数平方和和等于11的形式式，符合合三角函函数同角角关系中中的平方方关系条条件，具具有进行行三角代代换的可可能，从从而可以以把原不不等式中中的代数数运算关关系转化化为三角角函数运运算关系系，给证证明带来来方便。证法4可设设分析5数形结结合法：：由于条条件可看看作是以以原点为为圆心，半半径为11的单位位圆，而而联系到到点到直直线距离离公式，可可得下面面证法。证法5（如图图4-22-1）因因为直线线经过圆的圆心OO，所以以圆上任任意一点点到直线的距距离都小小于或等等于圆半半径1，即简评五五种证法法都是具具有代表表性的基基本方法法，也都都是应该该掌握的的重要方方法。除除了证法法4、证证法5的的方法有有适应条条件的限限制这种种局限外外，前三三种证法法都是好好方法。可可在具体体应用过过程中，根根据题目目的变化化的需要要适当进进行选择择。例2如如果求证证：成等等差数列列。分析1要证，必必须有成成立才行行。此条条件应从从已知条条件中得得出。故故此得到到直接的的想法是是展开已已知条件件去寻找找转换。证法1故，即成等差差数列。分析2由于已已知条件件具有轮轮换对称称特点，此此特点的的充分利利用就是是以换元元去减少少原式中中的字母母，从而而给转换换运算带带来便利利。证法2设则于是，已知知条件可可化为：：所以成等差差数列。分析3已知条条件呈现现二次方方程判别别式的结结构特点点引人注注目，提提供了构构造一个个适合上上述条件件的二次次方程的的求解的的试探的的机会。证法3当时，由由已知条条件知即即成等差差数列。当时，关于于的一元元二次方方程：其判别式故故方程有有等根，显显然＝11为方程程的一个个根，从从而方程程的两根根均为11，由韦达定理理知即成等差差数列。简评：证法法1是常常用方法法，略嫌嫌呆板，但但稳妥可可靠。证证法2简简单明了了，是最最好的解解法，其其换元的的技巧有有较大的的参考价价值。证证法3引引入辅助助方程的的方法，技技巧性强强，给人人以新鲜鲜的感受受和启发发。已知，求的的最小值值。分析1虽然所所求函数数的结构构式具有有两个字字母，但但已知条条件恰有有的关系系式，可可用代入入法消掉掉一个字字母，从从而转换换为普通通的二次次函数求求最值问问题。解法1设，则二次项系数数为故有最小小值。当时，的最小值为为分析2已知的的一次式式两边平平方后与与所求的的二次式式有密切切关联，于于是所求求的最小小值可由由等式转转换成不不等式而而求得。解法2即即当且且仅当时时取等号号。的最最小值为为分析3配方法法是解决决求最值值问题的的一种常常用手段段，利用用已知条条件结合合所求式式子，配配方后得得两个实实数平方方和的形形式，从从而达到到求最值值的目的的。解法3设当时，即的最小小值为11Oxy图4－2－2分析4因为已已知条件件和所求求函数式式都具有有解析几几何常见见方程的的特点，故故可得到到用解析11Oxy图4－2－2解法4如图44－2－－2，表表示直线线表示原点到到直线上上的点的的距离的的平方。显然其中以以原点到到直线的的距离最最短。此时，即所以的最小小值为注如果果设则问问题还可可转化为为直线与与圆有交交点时，半半径的最最小值。简评几几种解法法都有特特点和代代表性。解解法1是是基本方方法，解解法2、33、4都都紧紧地地抓住题题设条件件的特点点，与相相关知识识联系起起来，所所以具有有灵巧简简捷的优优点，特特别是解解法4，形形象直观观，值得得效仿。设求证：分析1由已知知条件为为实数这这一特点点，可提提供设实实系数二二次方程程的可能能，在该该二次方方程有两两个虚根根的条件件下，它它们是一一对共轭轭虚根，运运用韦达达定理可可以探求求证题途途径。证法1设当时，可可得与条件不不合。于是有该方程有一一对共轭轭虚根，设设为，于于是又由韦达定定理知分析2由于实实数的共共轭复数数仍然是是这个实实数，利利用这一一关系可可以建立立复数方方程，注注意到这这一重要要性质，即即可求出出的值。证法2设当时，可可得与条件不不合，则有，即但而即分析3因为实实数的倒倒数仍为为实数，若若对原式式取倒数数，可变变换化简简为易于于进行运运算的形形式。再再运用共共轭复数数的性质质，建立立复数方方程，具具有更加加简捷的的特点。证法3即从而必有简评设设出复数数的代数数形式或或三角形形式，代代入已知知条件化化简求证证，一般般也能够够证明，它它是解决决复数问问题的基基本方法法。但这这些方法法通常运运算量大大，较繁繁。现在在的三种种证法都都应用复复数的性性质去证证，技巧巧性较强强，思路路都建立立在方程程的观点点上，这这是需要要体会的的关键之之处。证证法3利利用倒数数的变换换，十分分巧妙是是最好的的方法。例5由由圆外一一点引圆圆的割线线交圆于于两点，求求弦的中中点的轨轨迹方程程。分析1（直接接法）根根据题设设条件列列出几何何等式，运运用解析析几何基基本公式式转化为为代数等等式，从从而求出出曲线方方程。这这里考虑虑在圆中中有关弦弦中点的的一些性性质，圆圆心和弦弦中点的的连线垂垂直于弦弦，可得得下面解解法。解法1如图44－2－－3，设设弦的中中点的坐坐标为，连连接，则，在中，由由两点间间的距离离公式和和勾股定定理有整理，得其其中图4－2－3PMBAOyx分析2（定义义法）根根据题设图4－2－3PMBAOyx曲线类型，运运用待定定系数法法求出曲曲线方程程。解法2因为是是的中点点，所以以，所以点的轨轨迹是以以为直径径的圆，圆圆心为,,半径为该圆圆的方程程为：化简，得其中中分析3（交轨轨法）将将问题转转化为求求两直线线的交点点轨迹问问题。因因为动点点可看作作直线与与割线的的交点，而而由于它它们的垂垂直关系系，从而而获得解解法。解法3设过点点的割线线的斜率率为则过过点的割割线方程程为：..且过原点，的方程为这两条直线的交点就是点的轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中分析4（参数数法）将将动点坐坐标表示示成某一一中间变变量（参参数）的的函数，再再设法消消去参数数。由于于动点随随直线的的斜率变变化而发发生变化化，所以以动点的的坐标是是直线斜斜率的函函数，从从而可得得如下解解法。解法4设过点点的割线线方程为为：它与圆的两两个交点点为，的中点点为.解方程组利用韦达定定理和中中点坐标标公式，可可求得点点的轨迹迹方程为为：其中分析5（代点点法）根根据曲线线和方程程的对应应关系：：点在曲曲线上则则点的坐坐标满足足方程。设设而不求求，代点点运算。从从整体的的角度看看待问题题。这里里由于中中点的坐坐标与两两交点通通过中点点公式联联系起来来，又点点构成44点共线线的和谐谐关系，根根据它们们的斜率率相等，可可求得轨轨迹方程程。解法5设则两式相