九年级数学一元二次方程人教版知识精讲

初三数学一元二次方程人教版【同步教育信息】一本周讲课内容：本章总结［讲课过程］一知识构造网络直接开平方法配方法解公式法一因式分解法元分式方程的解法二法二元二次方程组的解法次方性鉴别式程质根与系数的关系应二次三项式的因式分解用列方程或方程组解应用题二知识重点回首1.一元二次方程ax2bxc0（a0）的求根公式bb24ac（b24ac0）x2a一元二次方程根的鉴别式2b4ac方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根。一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根分别为x1,x2,那么x1x2b,c。axx21a推论1：假如方程x2pxq0的两个实数根是x1，x2，那么x1x2p,x1x2q.推论2：以x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2(x1x2)xx1x20二次三项式的因式分解公式ax2bxca(xx1)(xx2)，此中x1,x2是一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根。三思想方法总结化归思想主要表此刻以下几方面：1）解一元二次方程转变为解一元一次方程；2）解分式方程转变为解整式方程；3）解二元二次方程组转变为一元二次方程或二元一次方程组。方程思想主要表此刻：列方程或方程组解应用题，利用根的鉴别式和根与系数的关系列方程解答相关问题。

（组）数学方法1）代入法；2）因式分解降次法；3）换元法；4）配方法。注意事项说明要依据方程的特点，正确地选择解法，依据先特别后一般的原则。2在应用一元二次方程根的鉴别式解题时，要注意a≠0的隐含条件。3在应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意a≠0和△≥0这两个隐含条件。在实数范围内分解因式必定要分解完满。解分式方程别忘掉验根；列方程解应用题，所求之解要使实诘问题存心义。注意与其余知识的联系与综合。例题例1（2022北京西城）（1）据2022年中国环境状况公报，我国由水蚀细风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里，此中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里，问水蚀细风蚀造成的水土流失面积各多少平方公里（2）某省重视治理水土流失问题，2022年治理水土流失面积400万平方公里，该省逐年加大治理力度，计划今明两年每年治理水土流失面积比前一年增加一个相同的百分数，到2022年关，使这三年治理水土流失面积达到1324万平方公里，求该省今明两年治理水土流失面积每年增加的百分数。解：（1）设水蚀造成水土流失面积为万平方公里则风蚀造成水土流失面积为（26）万平方公里依据题意得：26=356x165，x26191答：水蚀造成水土流失面积为

165万平方公里，风蚀造成水土流失面积为

191万平方公里。（2）设今明两年治理水土流失面积每年增加的百分数为，依据题意得：400400(1

x)

400(1

x)

2

1324整理方程得：

(1

x)

2

(1

x)

2.310(1

x)

21.(1

x)

11.

0x131.（舍去）x201.答：治理水土流失面积每年增加的百分数为10%。例2（2022济南）小王在商场用24元钱买了某种品牌的牛奶若干盒，过一段时间再去该商场，发现这类牛奶进行让利销售，每盒让利元，他相同用24元比前一次多买2盒，求他第一次买了多少盒这类牛奶。分析：“每盒让利元”这句话能够译出一个相等关系，由此须先用含未知数的代数式表示出让利前后的单价，再依据相等关系列方程。解：设第一次买盒牛奶，则第二次买（2）盒牛奶，依据题意列方程，得：24240.4xx2去分母，整理得：x22x1200解这个方程得：x110，x212经查验x110，x212是原方程的解。但x212不合题意，舍去x10答：小王第一次买10盒牛奶。注意：解分式方程应用题“双验根”是不能够少的，次序也不能够错。第一先验是分式方程的解，再验能否符合题意。例3当k为什么值时，方程x1k2x只有一个实数根xx2x分析：将分式方程化为整式方程后，若化出的是形如a=b的整式方程只需a≠0，就有独一解xb，经查验知足原方程，则原方程只有独一解。a若化出的是一元二次方程，它有两种状况。I）一元二次方程有两个相等的实数根，且经查验知足原方程，则分式方程有独一解。（在分式方程中相等的两个解，只算为一个解）II）一元二次方程有两个不相等的实数根，经查验，此中有一个根是增根，另一个根是原方程的根，则原方程有独一解。解：原分式方程两边同乘以x(x1)，得x2k2x整理得：x22xk0（1）（I）当方程（1）有两个相等实数根时，有△=44=0k1把k1代入（1），解得x1x21当x1时，原分式方程分母都不为零。（II）当方程（1）有两个不相等的实根时，有△=44>0k1要使此中一个是原分式方程的增根，则增根只可能是=0或=1。把x0代入方程（1）中，得k0把k0代入方程（1）中，得另一根x2，经查验x2，是原方程的解把x1代入方程（1）中，得k3，把k3代入方程（1）中，得另一根为x3，经查验x3是原方程的解。k0和k3都知足k1综上所述有，当k1，或k0，或k3时，方程只有一个实数根。x2y22x0（1）例4已知对于x、y的方程组yk0（2）kx求证：（I）无论为什么值，方程组总有两个不一样样的实数解（II）设方程组的两个不一样样的实数解为xx1和xx2yy1yy2则(x1x2)2(y1y2)2是一个常数。分析：（I）要证明方程组总有两个不相等的实数解，只需证明由方程组化出的一元二次方程有两个不相等的实数根即可。（II）将式子转变为只含1、2的代数式，再利用根系关系求解。证明：（I）由（2）得ykxk，即yk(x1)（3），代入（1）得x2(kxk)22x0化简，整理得：（k21）x22(k21)xk20（4）k210方程为一元二次方程（k21）24(k21)k222k2(k21)4(k1)4(k21)(k21k2)4(k21)k20k2104(k21)0即方程（4）有两个不相等的实数根方程组有两个不相等的实数根。（II）因为xx1和xx2是方程组的解，必知足方程（3）yy1yy2y1k(x11)（5），y2k(x21)（6）（5）（6），得y1y2k(x1x2)（7）（x1x2）2(y1y2)2(x1x2)2k2(x1x2)2(1k2)(x1x2)2(1k2)(x1x2)24x1x2因为x1，x2是方程（4）的解x1x22(k21)2，x1x2k2k21k21(x1x2)2(y1y2)2(1k2)44k2k21(1k2)441k2即(x1x2)2(y1y2)2是一个常数例5在等腰三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a3，b和c是对于x的方程x2mx21m的两个实数根，求ABC的周长。20分析：△ABC是等腰三角形可是谁为腰，题目没有明确，所以要分类求解：（一）以a为腰，（二）以a为底。1解：（一）若ab，则b3，是方程x2mx2的一根。m0293m2122m0解之得m52把m22代入原方程得x222x21(22)05525整理得：5x222x210解之得：x13，x275此时周长为37237551（二）若bc，则由m24(2m)0即m222m80m12，m24当m2时，x1x21（舍去）当m4时，x1x22，此时周长为22372ABC的周长为7或7。例6已知对于x的两个方程是：（1）4x28nx3n2（2）x2(n3)x2n220，问能否存在这样的n值，使方程（1）的两个实数根的差的平方等于方程（2）的一个整数根若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明原因。解：方程（2）x2(n3)x2n220解得x12n2，x2n1设方程（1）4x28nx3n20的两根为x3、x4则x3x42n，x3x43n243n2(x3x4)2(x3x4)24x3x4(2n)2444n23n2（I）当4n23n22n2时则4n2n0n10，n214当n10时，方程（1）为4x220，方程（2）为x23x20，x11，x22符合题意当n21时，x12n22(1)23不符合题意，舍去。442（II）当4n23n2n1时则方程为4n24n10n3n411时，x22当nn1不是整数，舍去。2n0【模拟试题】一选择题1.方程ax2

bx

c0是一元二次方程的条件是（

）a、b、c为随意实数a取不等于0的实数a与b不一样样时为零以上符号全不对2方程2=22的根为（）A2B-2C±2D以上全不对3将方程2-4-3=0的左侧配成一个完满平方式，方程可为（）A.(x2)23B.(x4)219C.(x2)27D.(x2)274以-7和4为根的一元二次方程为（）A.x23x280B.x23x280C.x23x280D.x228305.若（a3）xb25x10是对于x的一元二次方程，则a、b的值为（）A.a0，b4B.a3，b2C.a3，b4D.a3，b46.已知方程（m1）x22(m1)x(m2)0有两个不等实根，则m的取值范围是（）A.m1B.m155C.m1且m1D.m1且m1557.对于x的方程3ax32有增根x1，那么a的值（）xx1A0或-1B0C3D3或-11，且3p2q8.已知一元二次方程x2pxq0的两个根的倒数和为9，则p、q的6值分别为（），6.3，18A.1B55，6D.18，3C.1559.对于x的一元二次方程x23mxm25m0有相等实根6，则m的值为（）A0B4C9D4，910.n是对于x的方程x2mxn0的根，且n0，那么mn的值为（）1B.-1A.21D.3C.211.若、是方程x26x30的两个根，则22的值（）A.9B.99D.9C.22ac12.对于x的一元二次方程(ac)x2bx0有两个相等的实数根，那么以a、b、c4为三边长的三角形是（）以a为斜边的直角三角形以c为斜边的直角三角形以b为底边的等腰三角形以c为底边的等腰三角形二填空题13方程2=的根是______________________。14.在实数范围内分解因式：4x212x7。15.x2y6化为两个方程组为把方程组2xy3y2x20x2y6x2y616.x1xya若是方程组xy的一组解，则方程组的另一组解是y4b17.对于x的方程nx2(2n1)xn0有两个实根，则nx2ax2a3是一个完满平方式，则a的值对于的方程2-19=0有两个相等的实数根，那么方程219-=0的根的状况是___________________。20.若x11。x25，则xx三解以下方程（组）21.x22x1022.9(2x1)24(5x2)223.2(4x3)25(4x3)63024.对于x的方程：x2(2m1)xm2m025.2x11x24x2用换元法解方程26.x24x72x7218x1x24x27.2xy110x2y2x1028.x2y28025xy2y202x四列方程或方程组解应用题29某电子计算机厂今年1月生产电子计算机1200台，三月上涨到2100台，假如每个月的增加率不变，求每个月的增加率是多少30某顾客第一次在商铺买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价元，他比第一次多买了10件，这样第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰巧成打，问他第一次买的小商品是多少件31为了响应节水呼吁，小红家要使200m3的水比过去多用5个月，计划比过去每个月少用2m3，问小红家计划每个月用多少水五解答题方程22-87=0的两个根1，2正好是直角三角形两条直角边长，求斜边长。33.对于x的方程x22mx1n20，此中m、n分别是等腰三角形的腰与底，求证：这4个方程有两个不相等的实数根。（2022，宣武）若对于x的一元二次方程3x23abx4ab0的两个实数根x，x知足关系式：()12x1（x11）x2(x21)(x11)(x21)，判断(ab)24能否正确？若正确，请加以证明，若不正确，请举一反例。【试题答案】一1B2C3C4A5D6D7C8C9B10B11C12A.13.0，114.(2x32)(2x32)x2y6x2y615.3y0xy0xx416.1y17.n1且n042或6两个不等实根4三21.x1222.7或123.1，15416824.m，m125.3，2（舍去）x24x7218，x12，626.设xy，则y1yx10x21227.1y12y2x18x2828.4y24y1四7229.x0.3232%2xy530.设第一次买的小商品x件，每件价钱y元(x10)(y318吨五32