备战期末-初中数学常用模型最全汇总(附电子版可)

往两边作垂线往两边作垂线往角两边截取等线段过角平分线某点作垂线备战期末——初中数学常用模型最全汇总！（附电子版可打印）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）。对称：角平分线或垂直或半角。旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转。对称全等模型角平分线模型C

角平分线模型C说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型¥¥说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段。自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等。共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等。中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型迎说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转变换构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角；遇等腰旋顶点，造旋转全等;遇中点旋180度，造中心对称。共旋转模型共旋转模型DDDDEE说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8字模型可以证明。模型变形

D.I>CD.I>C说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。中点旋转模型BB说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三

角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。中点模型倍氏中违邊中点撷憊中位农伯◎边构造中位桂梅iS三城酱构谴料询中堆倍氏中违邊中点撷憊中位农伯◎边构造中位桂梅iS三城酱构谴料询中堆几何最值模型对称最值（两点间线段最短）差模型同侧*异側两线段之和兹扼棋型辘对称魁

同侧・异测两线段Z料》小槪型三线段之和过桥模熨蛙姬模型四边形周长三用形周长赧小模型酬小根型说明:说明:说明:说明:对称最值（点到直线垂线段最短）说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值（共线有最值）找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。简拼模型三角形T四边形医一医一四边形T四边形图11图11剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。矩形-正方形HEOFGHEOFGI说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形-正方形面积等分旋转相似模型说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。推广:两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8字的规律。A0A0相似模型说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：(1)三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。(2)内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以推广到圆幕定理)之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是作平行，根据题目的条件或者结论的比值来作相应的平行线。＞模型一：手拉手模型」旋转型全等*丽加⑷3S均删边三角形Agfe5(DAO^Ck^OBDf®LAEB-60fl；LAED,<2>amfr：s艮w均为等媵直毎三角形a皓论=①AOJ「»M期A)i②SEH-9F$a③OE平分乙•/丁打亠尉h均为等械三酬a箔论=①区°」匕乜主°HD:②Z^iAW-AJ0H.a③『走平分厶也＞模型二手竝手模型-旋转型相佩(1)一叔情况＞条件：⑴”册，将曲疋D阑蛭右圄儘晋A结论；＞右團中①\OC22ABJi^OAC；»@5£KM交加于点匚必程丄肚匸-LBOA＜2)特殊情况＞条件三3咖，心俩・90笃将枇X®祓轉至右團检用＞结论二右團中①吐C»CD5ACMBqACMC?iiOBDJ②延长M交BD于点Ef必育⑷比-LiSOAfBDODQBr——=——=——=fanA(Xi)③』匸OCOA；@8D丄3接加.eg帰加*g■価』⑥的g■壬心购t加翹相垂直的四5W)>模型三：对角互补模型4条曲①和②*平分ZUCM>结论；①ED=CE②0"*X"\®才证明提示：⑪乍垂耳如團，证聊»MTX》②^点匚作匸尸丄。「如上團〔右）,证明3DCaAT£C.a当"疋E的一边交M的延觇线于点.□时：以上三个结论=©CD-CE（不变jj®OE-OD-41（X'$②Fg2怜论i硼方法佈T榨况軌确彳德试。Ci）全竿磐I灣a条件：①橙胡门H・』芝门「芒・！2"$a②。匚平分厶1伽；>结谕古①3■「“②M；+0E■（X$dd$.UX7>+爲缎I®亠iUTO忌①百裁考“全竽型-您‘证法一i②如圜在阳上鞭一点F,便OF^OCt证明皿卜为等边三毎矗。⑷厶皿占--IHO-.②CD*CE-络论：(ptX'平分LAOH}②()D+OE=2(X'*coh{i;詁g-%皿+-仇「-sinci*ct^ci当"KE的一边交把的延艮^于点,DRW如右上砂：厢詰论变成：①®®可聲考上述第②种万注溜亍证明・请盟考初船条件椒比对a对甬互*陣娜件詰：常见机饴茶件：强形对角互补$注倉两曰：四点共圖及直角三甬刑斜边中蛭;V］皓彖件“角平举护与'俩边闲等”的区制凶两許常见的^肋髓作曲④注意X平井3。的L1〔DE-ACED■-LCOA-“°相爹如何推导？严篠型四：解含半角模型⑴角舍半角摸型池〜1A=①正方形川心J©LEAF.45°,3炉皓论二①口=DF"心②父EF的周悅为正方形JMD咼长的一半,也^^祥：＞条件=①正方形舫5』②EF7F+SE»箔论二JLEAF^45a(2＞角含半甬鯉MT-2a条科■=①正方册iSCO；@LEAF-4亍?a苗论=EF-DF-HEA辅BO线対F图所示：<3；角含半角揑型MT-3>鼾R①眇站加）②MME■聘笃a结论=+CE=DEat)c若LDAE滸制3兀夕眉时结论BD1+CE2・DE1仍融立.n时”CIIflrCM：14JC(J#f*^4-)TZfWC-^EiF-^hAZOW-ZC^TZ.O/-£jKi-4r・讥加厨㈣hK疋:.wtirmA荼件：①正方形IBS；②LEAF-分；>““拘髯牘直魚三副狭+>模型五：倍K中线类摸型l（n懿q^W-i>采件:⑪拒形茁匚D；②丿旧-处,®/V-旳A蜡论=忻丄仔WW：（DW平行蜂AD肚；②平行线间^段有中点“•”;翊购造“叩孚全箋WN■加便FBA亲件：0)平行四边形iBCD}②肚n2AB■③11/-t)M；@CE丄」D.a搭论=LFMD-^LMEA忖对ft：卉平纤EMCD,tf+AM/-ZXI/4£{tEW*构it\rlMI^M)MF.i£#仁订Kiit^StV.U.VftA逋过询氾&牛士爭rUUiit反G豆H.的古小甘此＞模型六：相勺疙角旋转模型&(i＞角形僭感訥〉卿41能转魁耘中揺法＞条件mz叭\Afi(均为等腰直角三角形£②EF-CFa络论：①a=he.②"卜丄时<■>.i_\mi>xttn比空_厘刪HLH"』Cl,M貼也:itKhi±1A^・it/<--a/.止*皿拟;K”詁嶋剧H；勺和*AT⑴WEW得矗齟》Sfio*樹矚M曲R条件=①血ff堆、却牡农均为番腰直竜三角形,②也uCFjR结保①mr尸：②a丄肋轴网兀：旳追茅建jft旳\wxi/rc力壮出踣：释门卜号Hi供化列rtf与///⑵任割瞅直角二角J辭如厨摸型*瞳法A卸=①］②睡ZdDC.gy；理竺二延怛Ba刖点&'快.Vi=.Q.I4Rf护対'HitDf$=5.■-i?VKiH(KJf说过義炜握型，Hrl品hX対CG曲fiH.“点在此匕_一止"舗时烬：i£4t/>£*M・itA£-£E,A条件：①A<Mfl^AG/>rJ②LOAH*LODC_®—诃p"W》\j/fri.■=wDWiijitr匚it鶴内週暇比m瓷此址艸厲我血明m$・_wA模型七；晁短路程摸型棒北《V城件棒北《V城件0臭十时幻戌｛?,射丸耐釘殳皿桁00A/R思魅：駄上四阳沟芾屯的祛时命夷真删＞世阿坯,報后吊甘叱列；9］山烈"，％哉最||"和料点：＜D^AAAK_L：②给鼠IMLJI屯＜2）戟揺程模型二I点钊直线嶷廿找F=F蛙*t\MH丄i柯师+卩4\屮亠/V'-M.丄少r\璋屢厲）»条件：①朋，平分LAOH.@材为0E上一定点；③尸为皿'上一动点；@。为f站上一动点；a求：最小时，只。的墮V＜3）蠶回賂程模型二f点到言线类器去跻；川心时.歐TMHOMPB^—PA＞问題：曲为何追时.5最小厂门皿sinZDJC-^＞求解方注：①T轴上取U",使J②过H作別」丄匕交「轴干点.匚瞇废求』tJii己也MO=[anjLOAC=-lffiWrVJWr',lffiWrVJWr',»Sitk•*i也miitint肚询耄点oi*五內.加倉t*Hf>:M也C*耳•_-堆并鼻.”塔商手.*円18片农4-丄直町碍勒上卜1亍*兰4.枫络i-i-^Uz.i'云七喙.iM^iffi;«4-»t"fYjfl

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(3)如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明•角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分乙BAD交BC边于E，EF丄AE交CD边于F，交AD边于H，延长

BA到点G,使AG=CF，连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE，贝ijGF的长为ASD邻边相等的对角互补模型AAAE半角模型【条件】如團，四边形卫ECD中，A^-=AD„!ZABC^ZADC=180'；弦图模型EW1正方M内或外互相垂賣的四条线段【结论】新构成了同心的正方形BCAA【例】如圖点迟対正方形加仞边的上一点』点尸在磁的延长线上AF=AB,M与FD交于点G,"AB的平分线交阳于点E,过点D作血的垂线交HA的延长线于点I.若