高一上数学知识点总结

新人教版高中数学知识点总结1（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法NN或N表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，ZQR（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.aaMaMM（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.xxx④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、真子集、集合相等子集A中的任一元(2)AA(B)BA素都属于BABBCAC(3)若且(4)若AB且BAAB真子（1）（A为非空子集）A中至少有一(2)若且，则ABBCAC素都属于(1)AB中的任一元(2)BA素都属于A（7）已知集合有个元素，则它有2个子集，它有21个真子集，它有21个非空An(n1)nnn子集，它有22非空真子集.n（8）交集、并集、补集U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式x|xa或x}axb把看成一个整体，化成，|x|a|xa(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程22（其中xx)的根122{x|xx或xx}12的解集ax2bxc0(a0)的解集（1）函数的概念①设、中任何一个数，ABAxf在集合中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及AABB到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作AB．f:ABBf②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法；abaxb①设a,b是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做x[a,b]axb满足的实数的集合叫做开区间，记做xaxbaxb；满足，或的(a,b)实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做x，；满足[a,b)(a,b]xa,xa,xb,xb的实数的集合分别记做．[a,),(a,),(,b],(,b)x与区间{x|ax}ab可以大于或等于．(a,b)ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数大于零且不等于1．⑤ytanx中，xk．(kZ)2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)本初等函数的定义域的交集．f(x)的定义域为[a,b]f[g(x)]的定义域应由不等式解出．ag(x)b（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有的关于的二次方程yxa(y)xb(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有2b(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．2④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集ABfA合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应ABABB法则）叫做集合到的映射，记作AB．f:ABf②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我ABa,bBab们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．baab（1）函数的单调性①定义及判定方法定义图象（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数1时，都有f(x)<f(x)，那．么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．1时，都有f(x)>f(x)，那．么就说f(x)在这个区间②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf[g(x)]yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，则yf[g(x)]为减；若yf(u)为增，则为减．yf[g(x)]ax上为增函数，分别在、上为减函数．f(x)y（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)x（2）存在xI，使得f(x)M．那00大值，记作f(x)M．max②一般地，设函数yf(x)xI（1）对于任意的，都有的最小值，记作f(x)m．maxmf(x)00（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）f(－x)=－f(x),那么函．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）f(－x)=f(x),那么函数．f(x)叫做偶函数．．．．x0②若函数f(x)为奇函数，且在处有定义，则f(0)0．③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性yy相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），是奇函数．（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图第二章基本初等函数(Ⅰ)（1）根式的概念①如果xa,aR,xR,n1nN叫做的是奇数时，anxnn的次方根用符号a表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号a表示，负annannn的次方根用符号a表示；0的次方根是0；负数没有次方根．nnann②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意naanan实数；当为偶数时，0．na③根式的性质：()；当为奇数时，；当为偶数时，aanaannnnnan|aaa0)．aa0)n（2）分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幂的意义是：aaam(0,,,且1)的正分数指mnNnnn数幂等于0．11mnm()()(,,且1)．0②正数的负分数指数幂的意义是：aamnNnmnnaa的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①aaa(a0,r,sR)rsrs②(a)a(a0,r,sR)rsrs③(ab)ab(a0,b0,rR)rrr（4）指数函数指数函数且a1)叫做指数函数函数ya(a0xyyy1y1(0,1)图象过定点(0,1)，即当x0时，．y1(0,1)OOa在第一象限内，越大图象越低．aa影响（1）对数的定义①若aN(a0,且a1)叫做以为底xlogN叫做底数，xaNaNxa叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xN．aN(aaNxa（2）几个重要的对数恒等式log10，loga1，abb．aaa（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即logN；自然对数：lnN，即logN（其中…）．e2.7182810e（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么M①加法：logMlogNlog(MN)②减法：MNNaaaaaa③数乘：④nMM(nR)aNanlogNaanlogNbloga⑤⑥换底公式：MbnR)logN(b0,且b1)Mbnbaaab（5）对数函数函数对数函数函数ylogx(a0且叫做对数函数a1)ax1yya(1,0)Ox非奇非偶a在第一象限内，越大图象越靠高．aa的影响(6)反函数的概念设函数yf(x)的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子yf(x)xAC在C，x在中都有唯一确定的x(y)x(y)yA值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数(y)(y)yf(x)x的反函xyx数，记作xf(y)，习惯上改写成yf(x)．11（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(x)中反解出xf(y)；1③将xf(y)改写成yf(x)，并注明反函数的定义域．11（8）反函数的性质①原函数yf(x)与反函数yf(x)的图象关于直线对称．yx1②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf(x)的值域、定义域．1③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(x)的图象上．'1④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中为自变量，是常数．x（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图y象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1)(0,)．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则00[0,)幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．(0,)xyq（其pq中p,q互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶pqZpqyxppqqq数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．yxpqyxpp⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当时，若，其图象在直线下方，0x11yx若，x10x1x11yxyx其图象在直线下方．yx（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)axbxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)k(a0)22③两根式：f(x)a(xx)(xx)(a0)12（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求x更方便．f(x)（3）二次函数图象的性质b①二次函数f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为,顶点坐标x22ab4b2是(,2a)．4abbba0②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当,)x(,][2a2a2a4b24abb时，f(x),)a0(,][2a2a4b2．4ab上递减，当时，f(x)x2a③二次函数f(x)axbxc(a0)当时，图象与轴有两个交点xb24ac02．|a|Mx,0),MxMM|xx11221212（4）一元二次方程axbxc0(a0)根的分布2理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程axbxc0(a0)的两实根为x,xxxf(x)axbxc221212b下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：ax2a③判别式：④端点函数值符号．①k＜x≤x12②x≤x＜k12③x＜k＜xaf(k)＜012④k＜x≤x＜k1122⑤有且仅有一个根xkxf(k)f(k)f(k)=0121122121或f(k)=0这两种情况是否也符合2⑥k＜x＜k≤p＜x＜p此结论可直接由⑤推出．112122（5）二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值21设f(x)在区间[p,q]上的最大值为，最小值为，令．(pq)xMm02a0（Ⅰ）当时（开口向上）bbbb①若，则②若，则③若，则)qmf(q)2apmf(p)pqmf(2a2a2abafax?bbaax??abbff①若，则②，则Mf(q)(q)Mff(p)(p)(q)ba2xbafx?xOxfbfb(Ⅱ)当(p开口向下)a0(p)xbf()2af()(q)(q)0bbOx0，则Mf(p)②若，则ppqMf()x2afbff()2ab③若，则qMf(q)(p)(q)b2af()2aaabb)f()bb①若，则②，则2amf(q)x(q)Off00(p)(p)aabxbOOxf()ffffba(q)bx?x?(q)xax??(q)(p)(p)20一、方程的根与O函数的零点Oxfxfba2ba21、函数零点的概念：，把使成立的实数叫做函数f(?0(q)yf(x)(xD)x(p)yf(x)(xD)的零点。yf(x)的零点就是方程的f(x)0yf(x)图象与轴交点的横坐标。即：x方程有实数根函数f(x)0yf(x)的图象与轴有交点函数yf(x)有零点．x3、函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：（代数法）求方程的实数根；f(x)0（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数yaxbxc(a0)．2轴有两个交点，axbxc0x2二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴ax2bxc0x有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数axbxc0x2无零点．4为x第几象限角．第一象限角的集合为k360k36090,k第二象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在轴上的角的集合为k180,kx终边在轴上的角的集合为k18090,ky终边在坐标轴上的角的集合为k90,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．1l5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．rlr180，16、弧度制与角度制的换算公式：，57.3．3601为弧度制，lCSlrr，11C2rlSr2．22,y8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是yxyxrrxy0，则，，．x0cos22rr9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．x10、三角函数线：sin，cos，tan．1sin211、角三角函数的基本关系：；cos21sin11sin22222sintan．sintancos,cos12、函数的诱导公式：cos2k．tank，cos，1sin2ksintan2k2sinsin，cos，tantan．cos，coscos，tan．3sinsintan4sinsin，cos，tancostan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincoscossinsin．6sin，．，coscos2222口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．ysinx13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再1ysinx将函数ysinx得到函数ysinx短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．sinxy1②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩ysinx到函数ysinx的图象；再将函数sinx的图象．短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx14、函数y的性质：0,0①振幅：；②周期：；③频率：1；④相位：；⑤初相：．xf2sinxxxyxxy，函数y1min2max12，1．xxxx则yy，yy22211215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：当kx2k2既无最大值也无最小值y1；当x2kmax时，y1；当maxx2kky12k时，y1．min2上是增函数；在k2上是增函数；在上是减函数．上是减函数．中,0k2xkk2对称轴xk有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为的向量．0ax,y⑸坐标运算：设，bx,y，则abxx,yy．1122121218、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．ax,y⑵坐标运算：设，bx,y，则abxx,yy．11221212，则xx,yy．x,y设、两点的坐标分别为，x,y1122121219、向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．aa①a；a0②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当0aa0aa时，．a0；③abab．aaa⑵运算律：①a；②a,y,y．a,y⑶坐标运算：设，则a20、向量共线定理：向量aa0与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．bbaax,y设b0，bx,y，其中，则当且仅当xyxy0时，向量、bb0共a11221221线．21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内ee12e．的任意向量，有且只有一对实数、，使aae111222，x,y22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，x,y12121122xxyy当时，点的坐标是．（当时，就为中点公式。）1,1212111223、平面向量的数量积：⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为．0⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，abab；ababab0ab当与反向时，abab；或aaa．③abab．abaaaa22⑶运算律：①；②ababab；③abcacbc．abba⑷坐标运算：设两个非零向量,，bx,y，则axyabxxyy．112212122axy若,，则，或a．xyaxy2222axy设,，bx,y，则abxxyy0．11221212ab设、都是非零向量，,，bx,y，是与的夹角，abaxy1122ababxxyy则．1212xyxy2122222124、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscossinsin；⑵coscossinsin；⑶sinsincossin；⑷sinsincossin；tantantantantan1tantan）；tan⑸⑹（1tantantantantantantan1tantan）．（tan1tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin．1sin2sincos2sincos(sincos)222cossin2cos112sin⑵2222升幂公式12222222112降幂公式，