含绝对值不等式的解法

.含绝对值的不等式的解法一、根本解法与思想解含绝对值的不等式的根本思想是等价转变，即采用正确的方法去掉绝对值符号转变成不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。〔一〕、公式法：即利用xa与xa的解集求解。主要知识：1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；xx2是指数轴上x1，x21两点间的距离.。2、xa与xa型的不等式的解法。当a0时，不等式x的解集是xxa,或xa不等式xa的解集是xaxa;当a0时，不等式xa的解集是xxR不等式xa的解集是;3．axbc与axbc型的不等式的解法。把axb看作一个整体时，可化为xa与xa型的不等式来求解。当c0时，不等式axbc的解集是xaxbc,或axbc不等式axbc的解集是xcaxbc;当c0时，不等式axbc的解集是xxR不等式abxc的解集是;例1解不等式x23解析:这类题可直接利用上面的公式求解，这类解法还运用了整体思想，如把“x2〞看着一个整体。答案为x1x5。(解略)a(a0),〔二〕、定义法:即利用a0(a0),去掉绝对值再解。a(a0).例2。解不等式xx。2xx2解析:由绝对值的意义知，aaa≥0，aaa≤0。解:原不等式等价于x＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。x2合用文档..〔三〕、平方法:解f(x)g(x)型不等式。例3、解不等式x12x3。解:原不等式(x1)2(2x3)2(2x3)2(x1)20(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<04x2。3说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。二、分类谈论法：即经过合理分类去绝对值后再求解。例4解不等式x1x25。解析:由x10，x20，得x1和x2。2和1把实数会集分成三个区间，即x2，2x1，x1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间谈论。解:当x＜-2时，得x(x2(x2)，解得：3x21)5当-2≤x≤1时，得2x1,，解得：2x1(x1)(x2)5当x1时，得x1,(x2)5.解得：1x2(x1)综上，原不等式的解集为x3x2。说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;这类解法又叫“零点分区间法〞，即经过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意界线值。三、几何法：即转变成几何知识求解。例5对任何实数x，假设不等式x1x2k恒成立，那么实数k的取值范围为()(A)k<3(B)k<-3(C)k≤3(D)k≤-3解析:设yx1x2，那么原式对任意实数x恒成立的充要条件是kymin，于是题转变成求y的最小值。x-102解:x1、x2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离x1-x2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，应选〔B〕。合用文档..四、典型题型1、解关于x的不等式x23x810解：原不等式等价于10x23x810，即x23x810x1或x2x23x8106x3∴原不等式的解集为(6,2)(1,3)2、解关于x的不等式122x32x30x3解：原不等式等价于212x35724x3、解关于x的不等式2x1x24解：原不等式可化为(2x1)2(x2)2∴(2x1)2(x2)20即(x3)(3x1)0解得：1x33∴原不等式的解集为(1,3)34、解关于x的不等式2x12m1(mR)解：⑴当2m10时，即m1，因2x10，故原不等式的解集是空2集。⑵当2m10时，即m1，原不等式等价于(2m1)2x12m12解得：1mxm综上，当m1时，原不等式解集为空集;当m1时，不等式解集为x1mxm22合用文档..5、解关于x的不等式2x1xx31解：当x3时，得x31)x(x3)，无解(2x1当313x1，解得：31，得2x4x2(2x1)xx312当x1时，得x1，解得：x1222x1xx312综上所述，原不等式的解集为(3，1)6、解关于x的不等式x1x2542〔答案：(,3][2,)〕解：五、坚固练习1、设函数f(x)2x1x3,则f(2)＝;假设f(x)2，那么x的取值范围是.2、aR，假设关于x的方程x2xa1a0有实根，那么a的取值范围4是．3、不等式x11的实数解为．x24、解以下不等式⑴4x32x1；⑵|x2||x1|；⑶|2x1||x2|4；⑷4|2x3|7；⑸x142；⑹x2aa〔aR〕5、假设不等式ax26的解集为1,2，那么实数a等于〔〕A.8B.2C.4D.86、假设xR，那么1x1x0的解集是〔〕合用文档..A.x0x1B.{xx0且x1}C.x1x1D.{xx1且1}x7、1对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，那么a的取值范围是；2对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，那么a的取值范围是；3假设关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，那么a的取值范围是；8、不等式x2103x的解集为〔〕A.x|2x10B.x|2x5C.x|2x5D.x|10x59、解不等式：x12x210、方程x2x2的解集为，不等式xxx的解集x23xx23x22x是；12、不等式x(12x)0的解集是〔〕A.(,1)B.(,0)(0,1)C.(1,)222(0,1)211、不等式352x9的解集是A.,27,B.1,4C.2,14,7D.2,14,712、不等式x2a(a0)的解集为xR|1xc，求a2c的值13、解关于x的不等式：①解关于x的不等式mx13；②2x31a(aR)14、不等式1|x1|3的解集为〔〕.A.(0,2)B.(2,0)(2,4)C.(4,0)D.(4,2)(0,2)15、设会集Axx22,xR，Byyx2,1x2，那么CRAB等于()A.RB.xxR,x0C.0D.16、不等式2x1x1的解集是．17、设全集UR，解关于x的不等式：x1a10xR〔参照答案〕合用文档..1、6；；2、[0,4]3、(,2)(2,3)24、⑴xx1或x2⑵xx1⑶xx1或x1322⑷x2x1或7x5⑸x5x1或3x722⑹当a0时，x2ax2a；当a0时，不等式的解集为5、C6、D7、⑴a3；⑵a4；⑶a7；8、C9、xx1a或x510、x3x2或x0；22xx2或x011、D12、1513、①当m0时，xR；当m0时，2x40时，42m；当mmxmm②当a10，即a1时，不等式的解集为aa1；xx2当a1