初二数学培优资料绝对好

八年级培优经典题型和专题训练1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】若是多项式的各项有公因式，依照乘法分配律的逆运算，能够把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依照就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。2）系数和各项系数的最大合约数，公因式能够是数、单项式，也能够是多项式。下面我们经过例题进一步学习用提公因式法因式分解分类分析】把以下各式因式分解（1）a2xm2abxm1acxmaxm3（2）a(ab)32a2(ba)22ab(ba)分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：a2xm2abxm1acxmaxm3axm(ax2bxcx3)（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(ab)2n(ba)2n；(ab)2n1(ba)2n1，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a(ab)32a2(ba)22ab(ba)a(ab)32a2(ab)22ab(ab)a(ab)[(ab)22a(ab)2b]a(ab)(3a24abb22b)1八年级培优经典题型和专题训练利用提公因式法简化计算过程例：计算1239879879879872681368456521136813681368分析：算式中每一项都含有987，能够把它看作公因式提取出来，再算出结果。1368987521)解：原式(123268456136898713689871368在多项式恒等变形中的应用2xy3y)(2x3y)3x(2xy)的值。例：不解方程组5x3y，求代数式(2x2分析：不要求解方程组，我们能够把2xy和5x3y看作整体，它们的值分别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有2xy，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2xy和5x3y的式子，即可求出结果。解：(2xy)(2x3y)3x(2xy)(2xy)(2x3y3x)(2xy)(5x3y)把2xy和5x3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。在代数证明题中的应用例：证明：关于随意自然数n，3n22n23n2n必定是10的倍数。分析：第一利用因式分解把代数式恒等变形，接着只要证明每一项都是10的倍数即可。3n22n23n2n3n23n2n22n3n(321)2n(221)103n52n对随意自然数n，103n和52n都是10的倍数。2八年级培优经典题型和专题训练3n22n23n2n必定是10的倍数5、中考点拨：例1。因式分解3x(x2)(2x)解：3x(x2)(2x)3x(x2)(x2)(x2)(3x1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看可否能经过变形变换获取。例2．分解因式：4q(1p)32(p1)2解：4q(1p)32(p1)24q(1p)32(1p)22(1p)2[2q(1p)1]2(1p)2(2q2pq1)说明：在用提公因式法分解因式前，必定对原式进行变形获取公因式，同时必定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型显现：1.计算：精析与解答：2000a，则2001a1a[10000(a1)(a1)](a1)(10000aa)a(a1)10001a(a1)10001a(a1)(1000110001)03八年级培优经典题型和专题训练说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必定很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001的特点，可经过设未知数，将复杂数字间的运算转变成代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，进而简化计算。例2.已知：x2bxc（b、c为整数）是x46x225及3x44x228x5的公因式，求b、c的值。分析：常例解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到x2bxc是3(x46x225)及3x44x228x5的因式。因此也是(3x44x228x5)的因式，所求问题即可转变成求这个多项式的二次因式。解：x2bxc是3(x46x225)及3x44x228x5的公因式也是多项式3(x46x225)(3x44x228x5)的二次因式而3(x46x225)(3x44x228x5)14(x22x5)b、c为整数得：x2bxcx22x5b2，c5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转变成解多项式14x228x70，进而简单求得x2bxc。例3.设x为整数，试判断105xx(x2)是质数仍是合数，请说明原因。解：105xx(x2)5(2x)x(x2)(x2)(5x)4八年级培优经典题型和专题训练2，5x都是大于1的自然数(x2)(5x)是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数自己，还能够够被其余正整数整除的数叫合数。只能被1和自己整除的数叫质数。【实战模拟】1.分解因式：（1）4m2n312m3n22mn（2）a2xn2abxn1acxnadxn1（n为正整数）（3）a(ab)32a2(ba)22ab(ba)22.计算：(2)11(2)10的结果是（）A.2100B.210C.2D.13.已知x、y都是正整数，且x(xy)y(yx)12，求x、y。4.证明：817279913能被45整除。5八年级培优经典题型和专题训练5.化简：1xx(1x)x(1x)2⋯x(1x)1995，且当x0时，求原式的值。2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以获取因式分解的公式。主要有：平方差公式a2b2(ab)(ab)圆满平方公式a22abb2(ab)2立方和、立方差公式a3b3(ab)(a2abb2)补充：欧拉公式：6八年级培优经典题型和专题训练a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]21c03333abc特别地：（）当ab时，有（2）当c0时，欧拉公式变成两数立方和公式。运用公式法分解因式的重点是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过合适的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵便地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类分析】1.把a22ab22b分解因式的结果是（）A.(ab)(a2)(b2)B.(ab)(ab2)C.(ab)(ab)2D.(a22b)(b22a)分析：a22ab22ba22a1b22b1(a1)2(b1)2。再利用平方差公式进行分解，最后获取(ab)(ab2)，应选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特点，经过增加项凑成切合公式的形式。同时要注意分解必定要圆满。在简单计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式2x3x2m有一个因式是2x1，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。7八年级培优经典题型和专题训练解：依照已知条件，设2x3x2m(2x1)(x2axb)则2x3x2m2x3(2a1)x2(a2b)xb2a11(1)由此可得a2b0(2)mb(3)由（1）得a1把a1代入（2），得b12把b1代入（3），得m122在几何题中的应用。例：已知a、b、c是ABC的三条边，且满足a2b2c2abbcac0，试判断ABC的形状。分析：由于题中有a2、b2、ab，考虑到要用圆满平方公式，第一要把ab转成2ab。因此两边同乘以2，今后打开搭配得圆满平方公式之和为0，进而得解。解：a2b2c2abbcac02a22b22c22ab2bc2ac0(a22abb2)(b22bcc2)(c22aca2)0(ab)2(bc)2(ca)20(ab)20，(bc)20，(ca)20ab0，bc0，ca0abc8八年级培优经典题型和专题训练ABC为等边三角形。在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差必定是8的倍数。分析：先依照已知条件把奇数表示出来，今后进行变形和议论。解：设这两个连续奇数分别为2n1，2n3（n为整数）则(2n3)2(2n1)2(2n32n1)(2n32n1)2(4n4)8(n1)因此可知，(2n3)2(2n1)2必定是8的倍数。5、中考点拨：1：因式分解：x34xy2________。解：x34xy2x(x24y2)x(x2y)(x2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解圆满。例2：分解因式：2x3y8x2y28xy3_________。解：2x3y8x2y28xy32xy(x24xy4y2)2xy(x2y)2说明：先提取公因式，再用圆满平方公式分解圆满。题型显现：9八年级培优经典题型和专题训练例1.已知：a1m1，b1m2，c1m3，222求a22abb22acc22bc的值。解：a22abb22acc22bc(ab)22c(ab)c2(abc)2a1m1，b1m2，c1m3222原式(abc)2(1m1)(1m2)(1m3)2222m2说明：此题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，进而简化计算过程。例2.已知abc0，a3b3c30，求证：a5b5c50证明：a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)，333代入上式，把abc0abc0可得abc0，即a0或b0或c0若a0，则bc，a5b5c50若b0或c0，同理也有a5b5c5010八年级培优经典题型和专题训练说明：利用补充公式确定a，b，c的值，命题得证。例3.若x3y327，x2xyy29，求x2y2的值。解：x3y3(xy)(x2xyy2)27且x2xyy29xy3，x22xyy29(1)又x2xyy29(2)两式相减得xy0因此x2y29说明：按常例需求出x，y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】分解因式：（1）(a2)2(3a1)2（2）x5(x2y)x2(2yx)（3）a2(xy)22a(xy)3(xy)411八年级培优经典题型和专题训练2.已知：x13，求x41的值。xx43.若a，b，c是三角形的三条边，求证：a2b2c22bc04.已知：210，求2001的值。12八年级培优经典题型和专题训练5.已知a，b，c是不全相等的实数，且333，试求abc0abc3abc，（1）abc的值；（2）a(11)b(11)c(11)的值。bccaab4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后能够直接提公因式，也许能够直接运用公式。使用这类方法的重点在于分组合适，而在分组时，必定有预示性。能预示到下一步能连续分解。而“预示”源于认真的“观察”，分析多项式的特点，合适的分组是分组分解法的重点。应用分组分解法因式分解，不单好够观察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类分析】在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2a1)a4a21分解因式，所得的结果为（）A.(a2a1)2B.(a2a1)2C.(a2a1)2D.(a2a1)213八年级培优经典题型和专题训练分析：先去括号，合并同类项，今后分组搭配，连续用公式法分解圆满。解：原式2a((a2a1)a4a21a42a33a22a1(a42a3a2)(2a22a)1(a2a)22(a2a)1(a2a1)2应选择C例2.分解因式x5x4x3x2x1分析：这是一个六项式，很明重要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看作一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x5x4，x3x2和x1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：原式(x5x4x3)(x2x1)(x31)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)解法2：原式(x5x4)(x3x2)(x1)421)(x1)x(x1)x(x(x1)(x4x21)(x1)[(x42x21)x2](x1)(x2x1)(x2x1)在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足ab，a2c2b22ac证明：以a、b、c为三边能组成三角形分析：组成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：a2c2b22ac14八年级培优经典题型和专题训练2c222ac0aba22acc2b20，即(ac)2b20(acb)(acb)0又acbacbacb0，acb0abc，abc即abcaba、b、c为三边能组成三角形在方程中的应用例：求方程xyxy的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解解：xyxyxyxy0xyxy11即x(y1)(y1)1(y1)(x1)1x,y是整数x11或x11y1y111x0x2y或y204、中考点拨例1.分解因式：1222mn_____________。mn解：1m2n22mn1(m22mnn2)1(m2n)(1mn)(1mn)说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽切合平方差公式，但搭配在一15八年级培优经典题型和专题训练起不能够够分解终究，应把后三项结合在一起，再应用圆满平方公式和平方差公式。例2．分解因式：x2y2xy____________解：x2y2xy(x2y2)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy1)说明：前两项切合平方差公式，把后两项结合，看作整体提取公因式。例3.分解因式：x33x24x12____________解：x33x24x12x34x3x212x(x24)3(x24)(x3)(x2)(x2)说明：分组的目的是能够连续分解。5、题型显现：例1.分解因式：m2(n21)4mnn21解：m2(n21)4mnn21m2n2m24mnn21(m2n22mn1)(m22mnn2)(mn1)2(mn)2(mnmn1)(mnmn1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不如先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成圆满平方和平方差公式。例2.已知：a2b21，c2d21，且acbd0，求ab+cd的值。解：ab+cd=ab1cd116八年级培优经典题型和专题训练ab(c2d2)cd(a2b2)abc2abd2cda2cdb2(abc2cdb2)(abd2cda2)bc(acbd)ad(bdac)(acbd)(bcad)acbd0原式0说明：第一要充分利用已知条件a2b21，c2d21中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。3.分解因式：x32x3分析：此题无法用常例思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x1是x32x3的一个因式，因此变形的目的是凑x1这个因式。解一（拆项）：x32x33x332x32x3(x1)(x2x1)2x(x21)(x1)(x2x3)解二（添项）：x32x3x3x2x22x3x2(x1)(x1)(x3)(x1)(x2x3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常有方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看可否可解？【实战模拟】填空题：1）分解因式：a23ab23b（2）分解因式：x22x4xy4y24y（3）分解因式：1mn(1mn)m3n317八年级培优经典题型和专题训练2.已知：abc0，求a3a2cabcb2cb3的值。分解因式：a5a14.已知：x2y2z20，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3y3z3(xy)(xz)A，试求A的表达式。5.证明：(ab2ab)(ab2)(1ab)2(a1)2(b1)218八年级培优经典题型和专题训练5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】关于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2(ab)xabxaxb进行因式分解。掌握这类方法的重点是确定合适条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。关于二次三项ax2bxcabc都是整数，且a0）来说，若是存在四个整数（、、a1，c1，a2，c2满足a1a2a，c1c2c，而且a1c2a2c1b，那么二次三项式ax2bxc即aax2ac2acxcc能够分解为a1xc1a2xc2。这里要确定1212112四个常数a1，c1，a2，c2，分析和试一试都要比首项系数是1的种类复杂，因此一般要借助画十字交错线的方法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类分析】在方程、不等式中的应用例1.已知：x211x240，求x的取值范围。分析：此题为二次不等式，能够应用因式分解化二次为一次，即可求解。19八年级培优经典题型和专题训练解：x211x240x3x80x30x30x8或x800x8或x3例2.若是x4x3mx22mx2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应该把x4分成x2x2，而关于常数项-2，可能分解成12，也许分解成1，由此分为两种情况进行议论。解：（1）设原式分解为x2ax1x2bx2，其中a、b为整数，去括号，得：x4abx3x22abx2将它与原式的各项系数进行比较，得：ab1，m1，2ab2m解得：a1，b0，m1此时，原式x22x2x1（2）设原式分解为x2cx2x2dx1，其中c、d为整数，去括号，得：x4cdx3x2c2dx2将它与原式的各项系数进行比较，得：cd1，m1，c2d2m解得：c0，d1，m1此时，原式x22x2x120八年级培优经典题型和专题训练在几何学中的应用.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足xyx22xyy220，求长方形的面积。分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：xyx22xyy220x22xyy2xy20(xy)2xy20xy2xy10xy20或xy10又xy8xy20或xy10xy8xy8解得：x5或x35.y3y45.∴长方形的面积为15cm2或63cm243、在代数证明题中的应用例.证明：若4xy是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x210xy3y2是49的倍数。分析：要证明原式是49的倍数，必定原式分解成49与一个整数的乘积的形式。证明一：8x210xy3y22x3y4xy22x3y4x6y4xy7y4xy是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）∴22x3y是7的倍数而2与7互质，因此，2x3y是7的倍数，因此8x210xy3y2是49的倍数。证明二：∵4xy是7的倍数，设4xy7m（m是整数）则y4x7m21八年级培优经典题型和专题训练又∵8x210xy3y22x3y4xy2x12x21m4x4x7m7m14x21m49m2x3m∵x，m是整数，∴m2x3m也是整数因此，8x210xy3y2是49的倍数。4、中考点拨例1.把4x4y25x2y29y2分解因式的结果是________________。解：4x4y25x2y29y2y24x45x29y24x29x21y2x212x32x3说明：多项式有公因式，提取后又切合十字相乘法和公式法，连续分解圆满。例2.因式分解：6x27x5_______________解：6x27x52x13x5说明：分解系数时必定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型显现例1.若x2y2mx5y6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1B.-1C.1D.2解：x2y2mx5y6xyxymx5y6-6可分解成23或32，因此，存在两种情况：22八年级培优经典题型和专题训练（1）x+y-2（2）x+y-3x-y3x-y2由（1）可得：m1，由（1）可得：m1应选择C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项可否分解成两个一次式乘积，再经过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足2ac4bacb。求证：abbc证明：ac24bacbac24bacb0a22acc24bc4ac4ab4b20ac24bac4b20ac2b20ac2b0abbc说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3.若x35x27xa有一因式x1。求a，并将原式因式分解。解：x35x27xa有一因式x1∴当x10，即x1时，x35x27xa0a323八年级培优经典题型和专题训练x35x27x3x3x24x24x3x3x2x14xx13x1x1x24x3x1x1x3x2x31说明：由条件知，x1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x1，分解时尽量出现x1，进而分解圆满。【实战模拟】分解因式：（1）a2b216ab39（2）15x2n7xnyn14y2n2（3）x23x222x23x72，，，2，2，2，哪些是多项2.在多项式x1x2x3x2x3x2x1x2x3式x2422x29的因式？2x10x3.已知多项式2x3x213xk有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。24八年级培优经典题型和专题训练4.分解因式：3x25xy2y2x9y4已知：xy05.，x3y12.，求3x212xy9y2的值。7、因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其余学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。因式分解的对象是多项式；因式分解的结果必定是整式乘积的形式；分解因式，必定进行到每一个因式都不能够够再分解为止；公式中的字母能够表示单项式，也能够表示多项式；结果如有相同因式，应写成幂的形式；题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解的一般步骤是：1）平常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即第一看有无公因式可提，其次看可否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能够够推行，可用分组分解法，分组的目的是使25八年级培优经典题型和专题训练得分组后有公因式可提或可利用公式法连续分解；2）若上述方法都行不通，能够试一试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。【分类分析】经过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式x5x4x3x2x1分析：这是一个六项式，很明重要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看作一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式(x5x4x3)(x2x1)x3(x2x1)(x2x1)(x31)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)解二：原式=(x5x4)(x3x2)(x1)x4(x1)x2(x1)(x1)(x1)(x4x1)(x1)[(x42x21)x2](x1)(x2x1)(x2x1)经过变形达到分解的目的例1.分解因式x33x24解一：将3x222拆成2xx，则有26八年级培优经典题型和专题训练原式x32x2(x24)x2(x2)(x2)(x2)(x2)(x2x2)(x1)(x2)2解二：将常数4拆成13，则有原式x31(3x23)(x1)(x2x1)(x1)(3x3)(x1)(x24x4)(x1)(x2)2在证明题中的应用例：求证：多项式(x24)(x210x21)100的值必定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是圆满平方数、绝对值。此题要证明这个多项式是非负数，需要变形成圆满平方数。证明：(x24)(x210x21)100(x2)(x2)(x3)(x7)100(x2)(x7)(x2)(x3)100(x25x14)(x25x6)100设yx25x，则原式(y14)(y6)100y28y16(y4)2无论y取何值都有(y4)20(x24)(x210x的值必定是非负数21)100因式分解中的转变思想例：分解因式：(a2bc)3(ab)3(bc)327八年级培优经典题型和专题训练分析：此题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力搜寻一种代换的方法。解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B原式(AB)3A3B3A33A2B3AB2B3A3B33A2B3AB23AB(AB)3(ab)(bc)(a2bc)说明：在分解因式时，灵便运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨：例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0求证：ac2b证明：a216b2c26ab10bc0a26ab9b2c210bc25b20即(a3b)2(c5b)20(a8bc)(a2bc)0abca8bc，即a8bc0于是有a2bc0ac2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能够够丢分。例2.已知：x12，则x31__________xx3解：x31(x1)(x211)x3xx28八年级培优经典题型和专题训练(x1)[(x1)221]xx212说明：利用x21(x1)22等式化繁为易。x2x题型显现：1.若x为随意整数，求证：(7x)(3x)(4x2)的值不大于100。解：(7x)(3x)(4x2)100(x7)(x2)(x3)(x2)100(x25x14)(x25x6)100[(x25x)8(x25x)16](x25x4)20(7x)(3x)(4x2)100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成圆满平方是一种常用的方法。2.将a2(a1)2(a2a)2分解因式，并用分解结果计算6272422。解：a2(a1)2(a2a)2a2a22a1(a2a)22(a2a)1(a2a)2(a2a1)26272422(3661)24321849说明：利用因式分解简化有理数的计算。【实战模拟】29八年级培优经典题型和专题训练分解因式：（1）3x510x48x33x210x8（2）(a23a3)(a23a1)53）x4）x

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2xy3y23x5y27x62.已知：xy6，xy1，求：x3y3的值。3.矩形的周长是28cm，两边x,y使x3x2yxy2y30，求矩形的面积。4.求证：n35n是6的倍数。（其中n为整数）30八年级培优经典题型和专题训练5.已知：a、b、c是非零实数，且a2b2c21，a(11)b(11)c(11)3，求a+b+cbccaab的值。6.已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2c2和4a2b2的大小。10、分式的运算【知识精读】分式的乘除法法规acac；bdbdacadadbdbcbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。分式的加减法1）通分的依照是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的重点，它的法规是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。2）同分母的分式加减法法规ababccc（3）异分母的分式加减法法规是先通分，变成同分母的分式，今后再加减。31八年级培优经典题型和专题训练分式乘方的法规(a)nan（n为正整数）bbn4.分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算序次及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，依照题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；3）运算中及时约分、化简；4）注意运算律的正确使用；5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算。【分类分析】例1：计算x2x2x2x6的结果是（）x2x6x2x2x1B.x1x21x21A.3x9C.9D.3xx2x2分析：原式(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x2)(x2)(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x2)(x1)(x1)(x3)(x3)x21x29应选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。32八年级培优经典题型和专题训练例2：已知abc1，求abc的值。a1bcb1acc1ab分析：若先通分，计算就复杂了，我们能够用abc取代待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。解：原式aababca1abcabaabcabcababaababcaba11abaa1abaab1aba11例3：已知：2m5n0，求下式的值：(1nm)(1nm)mmnmmn分析：此题先化简，今后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解：(1nm)nmmm(1)nmmnm(mn)n(mn)mm(mn)n(mn)mm(mn)m(mn)nm(mn)m(mn)nmnmn2m5n0m5n233八年级培优经典题型和专题训练5nn737故原式25n2nn23n2例4：已知a、b、c为实数，且ab1，bc1，ca1，那么abc的ab3bc4ca5abbcca值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不简单求解，可取倒数，进行简化。解：由已知条件得：113，114，115111abbcca因此2(12ab)c1116即bca又由于abbcca1116abccba因此abc1bcca6ab例5：化简：(x31x21)x24x2x2x1(x31)(x2)(x21)(x2)(x2)(x2)解一：原式(x2)(x2)x134八年级培优经典题型和专题训练x43x32x24x1(x4x2)3(x31)(x21)x1x2(x1)(x1)3(x1)(x2x1)(x1)(x1)(x1)(x3x23x2x13x3x1)132x24x4(x1)(x2x1)(x2)(x2)(x1)(x1)(x2)(x2)解二：原式x2x1x2x1(x2x1)(x2)(x1)(x2)x3x2x2x22x2x23x2x32x24x4说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，防备了上述问题。因此，解题时注意审题，认真观察善于抓住题目的特点，选择合适的方法。nmm2n2例1、计算：12nm24mn4n2mmn(m2n)2解：原式12n(mn)(mn)m2n1mnmnm2nmn3nmn说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。35八年级培优经典题型和专题训练例2、已知：My22xyy2xy，则M_________。x2x2y2xy2xyy2xy解：y2xyx22xyy2x22xyy2x2y2x2Mx2y2x2y2Mx2说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必定相同，即可求出M。中考点拨：例1：计算：[11](11)(ab)2(ab)2abab(ab)2(ab)2abab解一：原式b)2(ab)2(ab)(ab)(a4ab(ab)(ab)(ab)2(ab)22b2a(ab)(ab)2aa2b2解二：原式(11)(11)(11)abababababab11abababab2a(ab)(ab)a2b236八年级培优经典题型和专题训练说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度如数家珍。例2：若a2b23ab，则(12b32b）a3b3)(1)的值等于（ab1B.0C.12A.D.23解：原式a3b32b3ab2ba3b3aba3b3aba3b3ab(ab)(a2abb2)ab(ab)(a2abb2)aba2abb23ababa2abb23abab2ab14ab2应选A【实战模拟】1.已知：ab2，abab）5，则的值等于（ba2B.141924A.5C.D.5552.已知x216x10，求x31的值。x337八年级培优经典题型和专题训练3.计算：111123x2x25x6x27x12x29x20x4.若A999911111，B999922221，试比较A与B的大小。9999222219999333315.已知：abc0，abc8111，求证：b0。ac38八年级培优经典题型和专题训练11、公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能够够为零。公式变形实质上是解含有字母系数的方程关于含字母系数的方程，经过化简，一般归纳为解方程axb型，议论以下：（1）当a0时，此时方程axbb为关于x的一元一次方程，解为：xa（2）当a0时，分以下两种情况：<1>若b0，原方程变成0x0，为恒等时，此时x可取随意数，故原方程有无数个解；<2>若b0，原方程变成0xb(b0)，这是个矛盾等式，故原方程无解。含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类分析】求含有字母系数的一元一次方程的解例1.解关于x的方程2axbcbxac(2ab)36分析：将x以外字母看作数字，近似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。解：去分母得：12ax2bc6bxac移项，得12ax6bx2bcac39八年级培优经典题型和专题训练(12a6b)x2bcac2ab12a6b0x2bcac12a6b求含字母系数的分式方程的解ab2例2.解关于x的方程axbbxax分析：字母未给出条件，第一挖掘隐含的条件，分情况议论。解：若a、b全不为0，去分母整理，得(b2a2)x2ab对b2a2可否为0分类议论：（1）当b2a20，即ab时，有0x2ab，方程无解。（2）当b2a20，即ab时，解之，得x2ab12ab若a、b有一个为0，方程为，无解xa、b全为0，分母为0，方程没心义检验：当x2ab时，公分母(axb)(bxa)0，因此当ab0，ab时，bx2ab是原方程的解。ab说明：这类字母没给出条件的方程，第一议论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0时，方程存在，今后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类议论求解。当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。40八年级培优经典题型和专题训练已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例3.若是关于x的方程a1b1有唯一解，确定a、b应满足的条件。xaxb分析：显然方程存在的条件是：a0且b0解：若a0且b0，去分母整理，得(ba)xab(ba)当且仅当ba0，即ba时，解得xab经检验，xab是原方程的解a、b应满足的条件：a0且b0，ba说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，今后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。由于是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。在其余学科中的应用（公式变形）例4.在物理学中我们学习了公式Sv0t1at2，其中全部的字母都不为零。已知S、v0、2t，试求a。分析：利用字母系数方程完成公式变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这个量就是未知数，其余的量均视为已知量，今后按解字母系数方程求解。解：Sv0t1at221at2v0tS2t01at202a2v0t2St241八年级培优经典题型和专题训练5、中考点拨例1.填空：在vv0at中，已知v、v0、a且a0，则t________。解：vv0atatvv00vv0ta例2.在公式PFss等于（）中，已知P、F、t都是正数，则tPtFtC.FPA.B.D.以上都不对FPt解：PFsFsPttPt，应选AF说明：以上两题均观察了公式变形。6、题型显现：xabxbcxca例1.解关于x的方程cbb3(a，b，c0)xabxbcxca解：原方程化为：c1b110bxabcxbcaxcab0即cab(xab1110c)(b)aca0，b0，c01110abcxabc0xabc42八年级培优经典题型和专题训练说明：此题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式xabc。若按常例在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中必定要注意观察方程的构造特点，才能找到合适的方法。例2.解关于x的方程。ax(xa)bx(xb)(ab)(xa)(xb)(ab0)解：去括号：ax2a2xbx2b2x(ab)x2(ab)2xab(ab)(a2b2)x(ab)2xab(ab)2abxab(ab)ab0xab2说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，必定要重申未知数的系数不等于0，若是方程的解是分式形式，必定化成最简分式或整式。zac0）例3.已知z，求z。（cdbd分析：此题是求z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把方程化归为axb(a0)的形式，即可求解。解：d0d(za)c(bz)dzadbcczdzczadbc(dc)zadbcdc0z

bcadcd【实战模拟】1.解关于x的方程x1x1，其中m0，n0，mn。mnnm43八年级培优经典题型和专题训练2.解关于x的方程(a1)(a4)x2xa2。3.a为何值时，关于x的方程x12a3的解等于零？x2a54.已知关于x的方程x2m有一个正整数解，求m的取值范围。x3x35.若是a、b为定值，关于x的一次方程3kxa2xbk，无论取何值，它的根总是361，求a、b的值。12、分式方程及其应用44八年级培优经典题型和专题训练【知识精读】解分式方程的基本思想：把分式方程转变成整式方程。解分式方程的一般步骤：1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；2）解这个整式方程；3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果可否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必定舍去，但关于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基真相同，但必定注意，要检验求得的解可否为原方程的根，以及可否切合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类分析】例1.x2解方程：1x1x1分析：第一要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以(x1)(x1)，得x22(x1)(x1)(x1)，即x22xx212，3x2经检验：x3是原方程的根。2x1x6x2x5例2.解方程x2x7x3x6分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现(x6)与(x7)、(x2)与(x3)的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的45八年级培优经典题型和专题训练值相差1的两个分式结合，今后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。x6x5x2x1解：原方程变形为：7x6x3x2x方程两边通分，得11(x6)(x7)(x2)(x3)因此(x6)(x7)(x2)(x3)即8x369x2经检验：原方程的根是x9。2例3.12x1032x3424x2316x19解方程：8x98x74x54x3分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：122134344x38x98x74x52222即8x98x68x108x7于是11，9)(8x6)(8x10)(8x(8x7)因此(8x9)(8x6)(8x10)(8x7)解得：x1经检验：x1是原方程的根。例4.6y12y24y2解方程：24y4y20y4y4y446八年级培优经典题型和专题训练分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：6(y2)(y2)(y2)y20(y2)2(y2)2(y2)(y2)约分，得6y2y202y2(y2)(yy2)方程两边都乘以(y2)(y2)，得6(y2)(y2)2y20整理，得2y16y8经检验：y8是原方程的根。注：分式方程命题中一般浸透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会依照方程构造特点，用特别方法解分式方程。5、中考题解：例1．若解分式方程2xm1x1产生增根，则m的值是（）x1xxxA.1或2B.1或2C.1或2D.1或2剖析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x0或x1，化简原方程为：2x2(m1)(x1)2，把x0或x1代入解得1或2，应选择D。例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？47八年级培优经典题型和专题训练分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，6066由题意得：xx260x12066xx20经检验：x20是原方程的根x222答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。说明：在解分式方程应用题时必定要检验方程的根。6、题型显现：例1.轮船在一次航行中顺水航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺水航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实质速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行供应了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时80427xyxy由题意，得40707xyxyx17解得：y3x17经检验：是原方程的根y3答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。48八年级培优经典题型和专题训练例2.m为何值时，关于x的方程2mx3会产生增根？x2x4x2解：方程两边都乘以x24，得2x4mx3x6整理，得(m1)x1010当m1时，x1m若是方程产生增根，那么x240，即x2或x2（1）若x2，则10m4m21（2）若x2，则102m6m1（3）综上所述，当m4或6时，原方程产生增根说明：分式方程的增根，必定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）SSavSav2SA.bB.C.D.aba2bmab2.若是关于x的方程1有增根，则m的值等于（）x3x3A.3B.2C.1D.3解方程：（1）111⋯1x10(x1)(x2)(x2)(x3)2(x9)(x10)49八年级培优经典题型和专题训练（2）xx2x4x01x1x1x21x42x9122？4.求x为何值时，代数式3x3的值等于xx5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2，求甲、乙两3队单独完成各需多少天？50八年级培优经典题型和专题训练13、分式总复习【知识精读】定义：A（A、B为整式，B中含有字母）B通分：AAM(M0)性质BBM约分：AAM(M0)BBM分式51定义：分母含有未知数的方程。如x3x1思想：把分式方程转变成整式方程方法：两边同乘以最简公分母分式方程解法依照：等式的基本性质注意：必定验根应用：列分式方程解应用题及在其余学科中的应用【分类分析】1.分式有意义的应用例1.若abab101，1可否有意义。，试判断a1b11，1可否有意义，须看其分母可否为零，由条件中等式左边因式分析：要判断a1b1分解，即可判断a1，b1与零的关系。解：abab10a(b1)(b1)0即(b1)(a1)0b10或a1051八年级培优经典题型和专题训练1，1中最稀有一个没心义。a1b1结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。a2a1a23a1例2.计算：a1a3分析：若是先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采用“分离分式法”简化计算。a(a1)1a(a3)1解：原式a1a3a1(a1)a1a311a1a3(a3)(a1)(a1)(a3)2a2(a1)(a3)例3.解方程：11x25x527x6x25x6x分析：由于x27x6(x1)(x6)，x25x6(x2)(x3)，因此最简公分母为：(x1)(x6)(x2)(x3)，若采用去分母的往常方法，运算量较大。由于x25x5x25x611故可得以下解法。x25x6x25x612x5x6x25x6111解：25x6x25x6x原方程变成1111x27x6x25x652八年级培优经典题型和专题训练11x27x6x25x6x27x6x25x6x0经检验，x0是原方程的根。在代数求值中的应用例4.已知a26a9与|b1|互为相反数，求代数式(a24ab)a2ab2b2bb2ab2a2ba2b2ab2a的值。剖析：要求代数式的值，则需经过已知条件求出a、b的值，又由于a26a9(a3)20，|b1|0，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。解：由已知得a30，b10，解得a3，b1原式[4ab]a2ab2b2b(ab)(ab)ab(ba)ab(a2b)a(ab)2a2b2abb2b[b)(ab)]ab(a2b)aab(a(ab)2ab(a2b)bab(ab)(ab)(ab)(a2b)aaabb1把a3，b1代入得：原式12用方程解决实诘责题5.一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特别任务多停一站，耽误30分钟，今后把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。解：设这列火车的速度为x千米/时53八年级培优经典题型和专题训练依照题意，得450314503xx212.x方程两边都乘以12x，得540042x450030x解得x75经检验，x75是原方程的根答：这列火车原来的速度为75千米/时。在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到相关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。例6.已知x2y3，试用含x的代数式表示y，并证明(3x2)(3y2)13。3y2解：由x2y3，得3xy2x2y33y23xy2y2x3(3x2)y2x3y2x33x2(3x2)3(2y3)26y96y4133y23y23y2(3x2)(3y2)136、中考原题：例1．已知M2xyy2xy，则M＝__________。x2y2x2y2xy分析：经过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必定相同，即可求出。2xyy2xy解：2y2xyx54八年级培优经典题型和专题训练2xyy2x22xyy2x2y2x2x2y2Mx2y2Mx2例2．已知x23x20，那么代数式(x1)3x21的值是_________。x1分析：先化简所求分式，发现把x23x看作整体代入即可求的结果。解：原式(x1)2(x1)x22x1x1x23xx23x20x23x2原式x23x27、题型显现：例1.当x取何值时，式子|x|2有意义？当x取什么数时，该式子值为零？23x2x解：由x23x2(x1)(x2)0x1或2因此，当x1和x2时，原分式有意义由分子|x|20得x2当x2时，分母x23x20当x2时，分母x23x20，原分式没心义。因此当x2时，式子|x|2的值为零x23x255八年级培优经典题型和专题训练例2.求x2(mn)xmnx2m2的值，其中x2m3n1。x2(mn)xmnx2n22分析：先化简，再求值。解：原式(xm)(xn)(xm)(xm)(xm)(xn)(xn)(xn)(xm)2(xn)2x2m3n12x，x，m1，n12m3n46原式(xm)2(2mm)2(xn)2(3nn)22(1)29m44n24(1216)6【实战模拟】1.当x取何值时，分式2x1有意义？11x有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是t0，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c）563.计算：x2y

八年级培优经典题型和专题训练224y4xyx2x4x6x84.解方程：1x3x5x7x要在规定的日期内加工一批机器零件，若是甲单独做，恰幸好规定日期内完成，乙单独做则要高出3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？6.已知4x3y6z0，x2y7z0，xyz0，求xyz的值。xy2z57八年级培优经典题型和专题训练3、三角形及其相关看法【知识精读】三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。三角形中的几条重要线段：1）三角形的角均分线（三条角均分线的交点叫做内心）2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）三角形的主要性质1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；2）三角形的内角之和等于180°3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；4）三角形中，等角相同边，等边相同角，大角对大边，大边对大角；5）三角形拥有牢固性。4.补充性质：在ABC中，D是BC边上随意一点，E是AD上随意一点，则SABESCDESBDESCAE。AEBDC三角形是最常有的几何图形之一，在工农业生产和平常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，经常把多边形切割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实质上关于一些曲线，也能够利用一系列的三角形去逼近它，58八年级培优经典题型和专题训练进而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为今后的学习打下牢固的基础。三角形边角关系、性质的应用【分类分析】例1.锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）A.10∠B20B.20∠B30C.30∠B45D.45∠B60分析：由于ABC为锐角三角形，因此0∠B90又∠C＝2∠B，02∠B900∠B45又∵∠A为锐角，∠A180∠B∠C为锐角B∠C903∠B90，即∠B30∠B45，应选择C。2.选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，进而可判断三角形的形状。解：∵三角形的一个外角等于160°∴另两个外角的和等于200°设这两个外角的度数为2x，3x59八年级培优经典题型和专题训练2x3x200解得：x402x80，3x12080°相邻的内角为100°∴这个三角形为钝角三角形应选C例3.如图，已知：在ABC中，AB1AC，求证：∠C1∠B。22AEFBC分析：欲证即可。为与题设

∠C1∠B，可作∠ABC的均分线BE交AC于E，只要证∠C∠EBC2AB1AC联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。2显然∠EBC＝∠F，只要证∠C∠F即可。由AF2ABAC可得证。证明：作∠ABC的角均分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于FAF//BE，∠F∠EBC，∠FAB∠ABE又∵BE均分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF又∵AB1AC，ACAF21∠ABC∠F∠C，又∵∠F12∠C∠B260八年级培优经典题型和专题训练例4.已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的1与1之间。64分析：第一应依照已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，今后由周长与边的关系加以证明。AbcBaC证明：如图，设ABC的三边为a、b、c，其中a2c，bac，a2cbc因此，c是最小边，b3c因此，abc2c3cc，即c1(abc)1(abc)c1(abc)664故最小边在周长的1与1之间。64中考点拨：例1.选择题：如图是一个随意的五角星，它的五个顶角的和是（）D.200AGFBECD分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，因此需要我们把问题转变成三角形61八年级培优经典题型和专题训练角的问题。解：∠C∠E∠AGF，∠B∠D∠AFG∠A∠B∠C∠E∠D∠A∠AGF∠AFG180因此选择C例2.选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（）A.大于2B.小于12C.大于2小于12D.不能够够确定分析：依照三角形三边关系应有75x75，即12x2因此应选C例3.已知：P为边长为1的等边ABC内任一点。3PAPBPC2求证：2AEFPBC证明：过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F，则∠AEP＝∠ABC＝60°EAP∠EAF60APE60AEP中，APE∠AEP，AEAPAFE∠ACB60，∠AEF60AEF是等边三角形AFEF62八年级培优经典题型和专题训练AEAPBEEPBPPFFCPCAEEBEPPEFCAPBPPCABEFFCAPBPPCABAFACAPBPPCPBPAPCABAC2PAPBABPBPCBCPCPAAC2PAPBPCABBCAC32PAPBPC题型显现：

32例1.已知：如图，在ABC中，D是BC上随意一点，E是AD上随意一点。求证：（1）∠BEC＞∠BAC；（2）AB＋AC＞BE＋EC。AFEBDC分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，增加一条辅助线，转变到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。证明：（1）∵∠BED是ABE的一个外角，BED∠BAE同理，∠DEC∠CAE63八年级培优经典题型和专题训练BED∠DEC∠BAE∠CAE∠BEC∠BAC2）延长BE交AC于F点ABAFBEEFEFFCECABAFEFFCBEEFECABACBEEC例2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的均分线所夹的角等于45°。已知：如图，在ABC中，C90，EAB、ABD是ABC的外角，AF、BF分别均分∠EAB及∠ABD。求证：∠AFB＝45°CABEDF分析：欲证∠AFB45，须证∠FAB∠FBA135AF、BF分别均分∠EAB及∠ABD∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和∴问题得证证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C64八年级培优经典题型和专题训练∠ABD＝∠CAB＋∠C∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°∠EAB∠ABD∠ABC∠C∠CAB∠C18090270AF、BF分别均分∠EAB及∠ABD∠FAB∠FBA1∠EAB∠ABD127013522在ABF中，∠AFB180∠FAB∠FBA45【实战模拟】已知：三角形的三边长为3，8，12x，求x的取值范围。2.已知：ABC中，ABBC，D点在BC的延长线上，使ADBC，BCA，CAD，求α和β间的关系为？BACD3.如图，ABC中，ABC、ACB的均分线交于P点，BPC134，则BAC（）65八年级培优经典题型和专题训练A.68°B.80°C.88°D.46°APBC4.已知：如图，AD是ABC的BC边上高，AE均分BAC。1CB求证：EAD2ABEDC求证：三角形的两个外角均分线所成的角等于第三个外角的一半。66八年级培优经典题型和专题训练6、全等三角形及其应用【知识精读】全等三角形的定义：能够圆满重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的极点叫做对应极点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，平常把表示对应极点的字母写在对应的地址上。全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；搜寻对应元素的方法1）依照对应极点找若是两个三角形全等，那么，以对应极点为极点的角是对应角；以对应极点为端点的边是对应边。平常情况下，两个三角形全等时，对应极点的字母都写在对应的地址上，因此，由全等三角形的记法即可写出对应的元素。2）依照已知的对应元素搜寻全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；3）经过观察，想象图形的运动变化情况，确定对应关系。经过对两个全等三角形各种不一样样地址关系的观察和分析，能够看出其中一个是由另一个经过以下各种运动而形成的。翻折如图（1），BOC≌EOD，BOC能够看作是由EOD沿直线AO翻折180获取的；旋转67八年级培优经典题型和专题训练如图（2），COD≌BOA，COD能够看作是由BOA绕着点O旋转180获取的；平移如图（3），DEF≌ACB，DEF能够看作是由ACB沿CB方向平行搬动而获取的。判断三角形全等的方法：1）边角边公义、角边角公义、边边边公义、斜边直角边公义2）推论：角角边定理6.注意问题：（1）在判断两个三角形全等时，最稀有一边对应相等；（2）不能够够证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是搬动图形地址的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要搬动图形或搬动图形元素的地址，经常需要借助全等三角形的知识。【分类分析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ACD≌ABE，而BF和FC分别位于DBF和EFC中，因此先证明ACD≌ABE，再证明DBF≌ECF，既能够获取BF=FC.68八年级培优经典题型和专题训练证明：在ACD和ABE中，AE=ADA=∠AAB=AC.ACD≌ABE(SAS)∠B=∠C（全等三角形对应角相等）∵AD=AE,AB=AC.AB－AD=AC－AEBD=CE在DBF和ECF中B=∠CBFD=∠CFE（对顶角相等）BD=CEDBF≌ECF（AAS）BF=FC（全等三角形对应边相等）2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCDDCEFAB分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ABF≌CDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ABF≌CDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.69八年级培优经典题型和专题训练证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）ABF与CDE中，AF=CE（已知）∠DEC＝∠BFA（已证）DE=BF（已知）ABF≌CDE（SAS）∠C＝∠A(全等三角形对应角相等)AB∥CD（内错角相等，两直线平行）3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转变成证明两条线段相等3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证CEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF∴BF=12AC,且BF∥AC（三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2(两直线平行内错角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3（等边相同角）∴∠3＝∠2CEB与CFB中，BF=BE3＝∠2CB=CBCEB≌CFB(SAS)CE=CF=1CD（全等三角形对应边相等）2CD=2CE（ⅱ）加倍法70八年级培优经典题型和专题训练证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.C41AE23BDFAEC与BEF中，AE=BE∠1＝∠2（对顶角相等）CE=FE∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)AC=BF,∠4＝∠3(全等三角形对应边、对应角相等)BF∥AC(内错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,ABC+∠CBD=180o,AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD（等角的补角相等）CFB与CDB中，CB=CB∠CBF=∠CBDBF=BDCFB≌CDB(SAS)CF=CDCD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线获取原线段一半的线段。比方上面折道理题也可这样办理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个方法的重要前提），今后证CE=BF.(4)证明线段互相垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和地址关系分别如何？证明你的结论。71八年级培优经典题型和专题训练COEADB分析：此题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先依照已知条件推断出结论，今后再证明所得出的结论正确。经过观察，能够猜想：AO=BC，AO⊥BC.证明：延长AO交BC于E,在ADO和CDB中AD=DCADO=∠CDB=90oOD=DBADO≌CDB(SAS)AO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）∵∠AOD＝∠COE（对顶角相等）∠COE+∠OCE=90oAO⊥BC5、中考点拨：例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连接FC．求证：∠F＝∠A．分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A经过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．72八年级培优经典题型和专题训练∴∠BED＝∠A．BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．说明：证明角（或线段）相等能够从证明角（或线段）所在的三角形全等下手，在追求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例2如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，而且使AE=BD，连CE、DE.求证：EC=EDEFABCD分析：把已知条件注明在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。证明：过D点作DF∥AC交BE于F点∵△ABC为等边三角形∴△BFD为等边三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中，EF=AC（已证）∠EAC＝∠EDF(两直线平行，同位角相等)AE=FD(已证)73八年级培优经典题型和专题训练∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）题型显现：例1如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只要证DE＝BE问题便能够解决．证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE．∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴DE＝DC，∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED，即ED＝DC，AB＝AC＋DC．分析：证明一条线段等于其余两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角均分线是角的对称轴的特点，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转变为证明线段相等的问题，实质上仍是构造全等三角形，这类转变图形的能力是中考命题的重点观察的内容．【实战模拟】1.以下判断正确的选项是（）74八年级培优经典题型和专题训练A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO均分∠BAC．求证：OB＝OC．3.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM订交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。NM1FE2AC

B75八年级培优经典题型和专题训练14.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<2(AB+AC)5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．76八年级培优经典题型和专题训练9、等腰三角形【知识精读】（－）等