对勾函数 反比例函数与双曲线方程

对勾函数反比例函数与双曲线方程福建尤溪文公高级中学郑明淮k在初中数学里函数y=(kh0)叫反比例函数，它的图像是双曲线，两坐标轴是双曲x线的渐近线。而高中数学平面解析几何中的双曲线是以方程形式呈现的，其标准方程为x2y2bb--1，两惭近线方程为y=±—x。我们在研究对勾函数y=ax+(ab>0)的图a2b2ax像时注意到它同样有两条渐近线，分别是直线x=0和y=ax。那么它的图像到底是不是双曲线呢初高中的数学教材并未对此作出说明，不能不说是一种缺憾。本文就这一问题寻求理论支撑以并在实践操作层面作一探讨。一、反比例函数和对勾函数的图像都是双曲线1、平面解析几何知识告诉我们：二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F二0所2ABD表示的曲线由两判别式A=B2CE和5二B2-4AC与o的大小关系共同决定。当CE2F、丰0且5>0时，它表示双曲线。k对于反比例函数y=(k丰0)，可以化为方程xy-k=0(k丰0)，容易计算得：xbA=2kh0且5=1>0，因此它的图像是双曲线。对于函数y=ax+(ab>0)可以化为x方程ax2—xy+b二0(ab>0)，计算得，卜=一2丰0且5=1>0，因此它的图像是双曲线。2、作反比例函数和对勾函数图像的两条惭近线所形成角的平分线得两条过原点且互相垂直的直线l和l，并设其倾斜角分别为a和«且a<a。以l和l作为x轴和y轴重新12121212线。如图:这两个函数图像及相应的惭近线绕原点沿顺时针方向旋程形式的双曲转a角度，便线。如图:这两个函数图像及相应的惭近线绕原点沿顺时针方向旋程形式的双曲转a角度，便1可得到标准方建立直角坐标系，我们会发现，它们与高中所学标准方程双曲线图形是一致的。也就是说把k以y=(k>0)为例。两惭近线x夹角平分线为y=±x，其中与双曲线有交点的是y二x,求出交点坐标为：TOC\o"1-5"\h\zf2f2\o"CurrentDocument"AG-'k,v，k)和B(—Pk,—\：k)，设双曲线的标准方程为—=1,则a2b2a2=1OAI2二2k，a=\2k，又在以直线y=±x为坐标轴的新坐标系中，双曲线的惭近线y轴在新坐标系下的倾斜角为45°，斜率为？=tan45°=】，所以b=a=\；2k，所以该双ax2y2曲线的标准方程为：不~—=1。2k2k利用标准方程进一步可以求出半焦距c=2^k，因为焦点在实轴y=x上,设焦点坐标k为f(m,m)，则由c2=IOFb=2m2=4k解得：m=±£2k。所以y=(k>0)的交点x坐标为FG.-'2k,<2k)和F(—J2k,—、j2k)。离心率e=-=p2。i2ab三、双曲线y=ax+—(ab丰0)的实轴、虚轴、顶点坐标、焦点坐标和离心率xb双曲线y=ax+(ab丰0)的两条渐近线方程为x=0和y=ax,在高中学生未系统x学习坐标系旋转相关知识的情况下，如何通过已有的知识来解决求双曲线的实轴和虚轴所在的直线方程进而解决求顶点坐标、焦点坐标和离心率一系列问题我们可以借助向量相关知识来确定实轴所在直线的斜率。以原点为起点取两渐近线的两个单位方向向量，并使双曲线的实轴经过这两向量夹角。则这两个向量的和向量就是实轴的

rv方向向量。设该方向向量为n二(u,v)，则实轴的斜率为k=。ub下面以双曲线y=ax+(a>0,b>0)为例来解决这一问题，其他情形可作类似解答。xr显然，双曲线的实轴经过第一象限。取两惭近线的单位方向量&二(0,1),r1、akJa2+1Ja2+1丿，则实轴的方向向量为rn=21yfa2+1+ar1、akJa2+1Ja2+1丿，则实轴的方向向量为rn=21yfa2+1+aJa2+1Ja2+1丿，所以实轴的斜率为k=Pa2+1+a，又实轴过原点，可得实轴所在的直线方程为：y=G'a2+1+a)x。因为虚轴过原点且与实轴垂直，所以它的直线方程为：y=-(Ua2+1-a)x。将实轴方程与双曲线方程联立可解得双曲线的两个顶点坐标为：-Ca2+1+a)jbyyja2+1丿，B双曲线的实半轴长为a'=1OB1=2b(a2+1+a)。F面以实轴所在直线为x'轴，虚轴所在直线为y'轴新建直角坐标系，则渐近线x=0对应于新坐标系的倾斜角为实轴在原坐标系下的倾斜角Q的余角90。-q，且在新坐标系下的方程为y'=bx'，其中b'为半虚轴长。所以b'=a'tan(90°—a)=-=罕atanqk2b(a2+1+a)a2+1+a=、、［2b(pa2+1-a)，至此可得双曲线在新坐标系下的标准方程x'2y'2为：^—=12b(Ja2+1+a)2b(Ja2+1—a)双曲线的半焦距c'=va'2+b'2所以双曲线的离心率为e=Ca2+1-a、；a2+1a'以原点为圆心，C为半径的圆的方程为x2+y2=4bja2+1，把它与实轴方程联立可求得双曲线两个焦点坐标为：F—J2方(&2+1—a)—J2方(Ja2+1+矗j和J2b(Ja2+1—a),丿k本解法中令a=0,b=k可以发现它与双曲线y=(k>0)的相应结论是一致的。x四、应用举例例1、(福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科第12题)已知直线l:y=ax+b与曲线r:x=-+y没有公共点.若平行于/的直线与曲线r有且只有yTOC\o"1-5"\h\z一个公共点，则符合条件的直线l().A.不存在B.恰有一条C.恰有两条D.有无数条---分析：曲线r:x=1+y是函数y=X+中x,y交换后的曲线，它与对勾函数y=X+图yxx像关于直线y=x对称，因此它仍是双曲线，且x轴和直线y=x是它的两条渐近线。问题转化为寻找l:y=ax+b与双曲线有且只有一个公共点的平行线，显然只有与两条渐近线平行的直线才满足要求，又l:y=ax+b与双曲线没有公共点，故l只能是两条渐近线本身，所以本题选Co1例2、已知点P为函数y=x+图像上的任意一点，过P点作y轴的平行线交直线y二x于xA点，过P点作与直线y=x的平行线交y轴与B点，求证：IPAI-1PBI为定值。(证明：设P点的坐标为a,(证明：设P点的坐标为