线性代数常用公式合集

看法、性质、定理、公式必定清楚，解法必定熟练，计算必定正确A可逆r(A)nA的列（行）向量线性没关A的特色值全不为0Ax只有零解x，AxA0Rn,Ax总有唯一解T是正定矩阵AAAEAp1p2pspi是初等阵存在阶矩阵B,使得ABE或ABEn注Rn○：全体n维实向量构成的会集叫做n维向量空间.A不能逆r(A)nA0A的列（行）向量线性相关0是A的特色值Ax有非零解,其基础解系即为A关于0的特色向量r(aEbA)n注(aEbA)x有非零解○aEbA=-ba向量组等价矩阵等价()拥有反身性、对称性、传达性矩阵相似(:)矩阵合同(;)√关于e1,e2,,en：错误！未找到引用源。称为?n的标准基，?n中的自然基，单位坐标向量p教材87；错误！未找到引用源。e1,e2,,en线性没关；错误！未找到引用源。e1,e2,,en1；trE=n；⑤任意一个n维向量都能够用e1,e2,,en线性表示.a11a12La1n行列式的定义Dna21a22La2n1(j1j2Ljn)a1ja2jLanjMMM()nj1j2Ljn12an1an2Lann√行列式的计算：错误！未找到引用源。行列式按行（列）张开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AOAAOOB=BAB若A与B都是方阵（不用同阶）OB错误！未找到引用源。,则AA（拉普拉斯张开O=1)mnABBO(BO式）错误！未找到引用源。上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.a1nOa1na2n1a2n11n(n1)2④关于副对角线：()NNan1Oan1O

a1na2nKan1（即：全部取自不同样行不同样列的n个元素的乘积的代数和）11L1x1x2Lxn⑤范德蒙道德列式：x12x22Lxn21jinxixjMMMx1n1x2n1Lxnn1a11a12La1n矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表Aa21a22La2n称为mn矩阵.记作：Aaij或MMMmnam1am2LamnAmnA11A21LAn1A*TA12A22LAn2，A为A中各个元素的代数余子式.陪同矩阵AijMMMijA1nA2nLAnn√逆矩阵的求法:Aa11db主L换位错误！未找到引用源。A1注bAdadbcca副L变号c错误！未找到引用源。(AME)初等行变换(EMA1)a11111a1a1a3错误！未找到引用源。a21a21a3a2a3a211a3a1√方阵的幂的性质：AmAnAmn(Am)n(A)mn√设Amn,Bns,A的列向量为1,2,,n,B的列向量为1,2,,s，b11b12Lb1s则ABCms1,2,,b21b22Lb2sc1,c2,L,csAici，(i1,2,L,s)i为nMMMbn1bn2LbnsAxci的解A1,2,,sA1,A2,,Asc1,c2,L,csc1,c2,L,cs可由1,2,,n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为系数矩阵.a11a12La1n1c1a111a122La1n2c1a21a22La2n2c2a211a222La2n2c2即：MMMMLLLMan1an2Lamnncmam11am22Lamn2cm√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；○○用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.○○√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.ABTATCT√分块矩阵的转置矩阵：CDBTDTA1A1A1B1分块矩阵的逆矩阵：BB1BA1AC1A1A1CB11A1OAOOBOBCBB1CA1B分块对角阵相乘：AA11,BB11ABA11B11nA11nA22B22A22B22,AA22nA*BA**(1)mnABA分块对角阵的陪同矩阵：BAB*B(1)mnBA√矩阵方程的解法(A0)：想法化成(I)AXB或(II)XAB(I)的解法：构造(AMB)初等行变换(EMX)的解法：将等式两边转置化为ATXTBT，用(I)的方法求出XT，再转置得X零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性没关.③部分相关,整体必相关；整体没关,部分必没关.（向量个数变动）④原向量组没关,接长向量组没关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）⑤两个向量线性相关对应元素成比率；两两正交的非零向量组线性没关p教材114.⑥向量组1,2,,n中任向来量i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.⑦向量组1,2,,n线性相关向量组中最少有一个向量可由其他n1个向量线性表示.向量组1,2,,n线性没关向量组中每一个向量i都不能够由其他n1个向量线性表示.⑧m维列向量组1,2,,n线性相关m维列向量组1,2,,n线性没关

r(A)n；r(A)n.⑨若1,2,,n线性没关，而1,2,,n,线性相关,则可由1,2,,n线性表示,且表示法唯一.⑩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后边的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A○○A；推行一次初等行变换获取的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘对A○○A.推行一次初等列变换获取的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘矩阵的秩若是矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵A记作r(A)r的秩为r.向量组的秩向量组1,2,L,n的极大没关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(1,2,L,n)矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：A%B向量组等价1,2,,n和1,2,,n能够相互线性表示.记作：1,2,,n%1,2,,n?矩阵A与B等价PAQB，P,Q可逆r(A)r(B),A,B为同型矩阵A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不用然等价.矩阵A与B作为向量组等价r(1,2,,n)r(1,2,,n)r(1,2,n,1,2,,n)矩阵A与B等价.?向量组1,2,,s可由向量组1,2,,n线性表示AXB有解r(1,2,,n)=r(1,2,n,1,2,,s)r(1,2,,s)≤r(1,2,,n).?向量组1,2,,s可由向量组1,2,,n线性表示,且sn，则1,2,,s线性相关.向量组1,2,,s线性没关,且可由1,2,,n线性表示,则s≤n.?向量组1,2,,s可由向量组1,2,,n线性表示,且r(1,2,,s)r(1,2,,n),则两向量组等价；p教材94,例10?任向来量组和它的极大没关组等价.向量组的任意两个极大没关组等价.?向量组的极大没关组不唯一，但极大没关组所含向量个数唯一确定.?若两个线性没关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?设A是mn矩阵,若r(A)m，A的行向量线性没关；若r(A)n，A的列向量线性没关,即：1,2,,n线性没关.√矩阵的秩的性质：①若AOr(A)≥1若AOr(A)00≤r(Amn)≤min(m,n)②r(A)r(AT)r(ATA)p教材101,例15③r(kA)r(A)若k0④若Amn,Bns,若r(AB)0r(A)r(B)n的列向量全部是Ax的解B0⑤r(AB)≤minr(A),r(B)若A可逆r(AB)r(B)⑥即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.若B可逆r(AB)r(A)Ax只有零解r(AB)r(B)⑦若r(Amn