柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用摘要结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值一、柯西（Cauchy）不等式：abab

ab2a2a2a22b2b2a,bR,i,2n11 2

nn 1 2

n 1 2

n i i等号当且仅当aa1 2

an

0或bi

ka时成立（k为常数，i1,2n）i现将它的证明介绍如下：方法1 证明：构造二次函数f(x)axb2axb2axb21 1 2 2 n n =a2a2a2x22abababxb2b2b21 2

11 2

nn 1 2 n由构造知 fx0恒成立Qa2a2Lan01 2

2 4ababab

4a2a2a2b2b2b2011 22

nn 1 2

n 1 2 n

即ababab

a2a2a2b2b2b211 2

nn 1 2

n 1 2 n当且仅当axb

即1

a2Ln时等号成立 ai i b b b a1 2 n方法2 证明:数学归纳法当n1时 左=ab211显然 左=右

=ab211当n2时 右式a2a2b2b2ab2ab2a2b2a2b21 2 1 2 11 22 21 12ab2ab22aab

ab2左式11 22故n1,2时不等式成立

1212

12 22假设nkk2时，不等式成立

即 ababa

a2a2a2b2b2b211 22

kk 1 2

k 1 2 k当bma，mik或aaL

0时等号成立i i 1 2 k设A=a2a2a2

B=b2b2b2

CababLab1 2 ABC2

1 2

11 22 kk 则Aa2 Bb2 ABAb2

Ba

a2b2k1

k1

k1C22Ca

k1 ka2b2

k1Ca b 2k1k1

k

k

k1k1a2a2La2a2

b2b2Lb2b2

abab

Laba b 21 2

k1 2

k k

11 2

kk k

k1当bma，m为常数，i1,2k1或aa

a

时等号成立i i 1 2

k1即nk1综合12）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题（1）证明不等式例1已知正数a,b,c满足abc1 证明 a3b3c3

a2b2c23证明：利用柯西不等式 3

1 31 312 32 32 32a2b2c22a2a2b2b2c2c2a2b2c2abc a3b3c3abc2 Qabc又因为 a2b2c2abbcca 在此不等式两边同乘以2，再加上a2b2c2得：a2b2c2a2b2c22abbc2acabc2 a2b2c22a3b3c3abc2a3b3c3a2b2c2故a3b3c3

a2b2c23（2）三角形的相关问题2p是VABCxyzp到三边abcR是VABC外接圆的半径，xyz12Ra2xyz12Ra2b2c2证明：由柯西不等式得：xyz1axa1byb1czcaxbyxyz1axa1byb1czcaxbyczg 111a b cS为VABC的面积，则gaxbycz2S2abcabcg4R 2Rxyzabc abbcca2R abcxyzabc abbcca2R abc12Rabbcca12Ra2b2c2故不等式成立。、求解有关数学问题 常用于求最值例3 已知实数a,b,c,d满足abcd3，a22b23c26d25试求a的最值解：由柯西不等式得，有 b2c26d2111bcd2 2 3 6 即由条件可得，5a23a22b123c136d16解得，1a22b123c136d16代入b1,c

1 1,d 时， 3 62 1

2maxb1,c ,d 时 3 3

1min例4 空间中一向量a与x轴，y轴z轴正向之夹角依次（均非象限角，求 1 4

9的最小值。sin2 sin2 sin2解:由柯西不等式得：1 2 3[(sin)2(sin)2(sin)2](sin2sin2sin2)1 2 (sinsinsinsinsinsin)21 2 1 4 ( )( )( )](sin2sin2sin2)23)2sin2 sin2 sin21 4 ∵ sin2sin2sin22∴ 2( 1 4 9 )36 ( 1 4 9 )18sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2∴ 1 4

9的最小值为18sin2 sin2 sin2三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．柯西不等式的变形公式：约定bR,i1,2nia2 a2

a2 aaa

a a a有 1

2n

1

n 当且仅当12n等号成立b b b

bb

b

b b b1 2 n 1 2 n 1 2 na2 a2

a2 2分析：由柯西不等式可得

12

nbbb aaab b

b1 2 n 1 2 n1 2 n例1 设x,x,,xR,且xxx1，1 2 n 1 2 nx2 x2

x2 1x11 2

2xx2

n1x xn1

n xx 2n 1x2 x2 x2 x2证明：由变形公式得：x11 2

2xx2

n1x xn1

nxxn 1xxx2 1x

x1

2x

nx

x2 1 2 2

3 n 1求1／2a+1 22/求1／2a+1 22/2最小值2/21221 1解析a，b>0，且a+b=1，由柯西不等:

12

32a b2/21 a 1,b22/22222

a b11

ab 2322当且仅当

a b即

时等号成立

2a b 2 mina a a 1 1 1练习 设a,a,,

N且各不相同，证明a23n1 1 2 n

1 22 32

n2 2 3 n证明：将a,a,,a1 2 n则有

从新排序设为

a'a'a'1 2 n∴n1

n1a'a'2,,a'

n 1 2

k akkkknak

n1 na

n1 n12而所需证目标：

k2k1

k1

k

kkkkk2kkk

k1

k结合柯西不等式得：n12

12

na

n1 n

n1akak akak

k

k k得结论k

kakk2

k

k1k

k

k2

ak

k

k2

kkk柯西不等式在解题中的几点应用一、引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题P、15练习第2题：求证：ac+bd

a2a2b2c2d2acbda2b2*c2d2acbda2bacbda2b2*c2d2acbda2b2*c2d2aca2aca2b2*c2d2bda2b2*c2d2=1 a2 c

a2c2a2b2 c2d2*a2c2a2b2 c2d2*b2d2a2b2 c2d2* 2a2b2=1

c2d2

2a2b2

c2d2a2b2c2d2故ac+bdacbdacbda2b2c2d2柯西不等式的一般形式为：对任意的实数aa1 2

,,an

及b,b1

,,b有nn 2

n ab

a2 b2,

in

ii

i

i

ii1n或i1

abii

*nnai12ia a

b2, (3)ia其中等号当且仅当1 b 1 2

n时成立（当bbkbn

0时，认为ak

0,1kn).柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。二、柯西不等式在解题中的应用利用柯西不等式证明恒等式11a21b21b2

1,求证：a2b21。证明：由柯西不等式，得1b21a1b21a2a b a21a2b21b2 111b211a2

a 时，上式取等号，1a2ab 11a2 a2b21a21b2,于是 a2b21。利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。例：解方程x21x2x1 x21x2x1 2 1x12xx1x21xx21x2x21x12x2x21x2 1x12x12由柯西不等式知x21xx21x2

x2x12 x x1x1 xxxx21x21(xx21x21(x(x2x(x1)(x(x21(xx21x22 1x(x1)当上式取等号时有x(x 1 成立，即x(x1)x2x10（无实根）或x2x10，即1 1 521 1 5用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。例：解方程组xyz9xw6x4x2(y2z2w2)w2(y2w2)486解：原方程组可化为xyz9xw6(x2y2z2)(x2w2)486运用柯西不等式得92(x2y2z2) 923

,x2w2

62182两式相乘，得

x2y2z2x2w2486当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.柯西不等式证明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。例：设aaaa ,求证：1 2 n n11aa

1aa

1aa

1 0a a1 2 2

n

n1 1分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：aa1

1 1 1 aa aa aa 1 2 2 3 n n1证明：为了运用柯西不等式，我们将aa 写成1 n1aa aaa 于是1 n1 1 2 2 3 n n1

1 1 1 aa aa a

1 2 2

n

aa1

aa2

aan

n1n21.aa

1 1 1

11 即

aa1

aa2

aan

n1 1aa1 2

1aa2

an

1an1

1aa1

,n1故 1

1 1

1 0.aa1 2

aa2

aan

n1

an1 1右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。例：求证：

y2y2

xy

2

y2.x2x2x2x21 2y2y21 22 y2y21 2证明：

x2x2

x2x2y2y22 x2x2y2y21 2由柯西不等式得

1 2 1 2

1 2 1 2 2x2x2y2y2xyxy1 2 1 2 11 22其中等号当且仅当x1

ky1

，xky2

时成立。 x2x2y2y2xyxy1 2 1 2 11 222 x1

x22

y2y1 2

x21

x2

y1

y2

2xy11

xy2 2x1

y1

x2

y22 x1

x22

y2y1 2

x1

y1

x2

y2.2其中等号当且仅当x1

ky1

，xky2

时成立。巧拆常数：例：设a、b、c为正数且各不相等。2求证： 2

2 2 9ab bc ca abc分析：∵a、b、c均为正∴为证结论正确只需证：2(abc)[1

1

1]9ab bc ca而2(abd)(ab)(bc)(ca)又9(111)2证明2(abc)(1 1 1)ab bc ca[(ab)(bc)(ca)](1 1 1)ab bc ca129又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。重新安排某些项的次序：a、bab=1xx1 2

R(ax1

bx2

)(bx1

ax2

)xx12abRxx1 2

R，每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。(ax1

bx2

)(bx1

ax)xx12xxxx12xx12(ax1

bx2

)(ax2

bx)1

b )2(ab)2xx12

xx12（∵a+b=1）结构的改变从而达到使用柯西不等式：例若a>b>c1求证： 1 41ab bc ac分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了ac(ab)(bc) ac ∴ ac0∴结论改为(ac)(1 1)4ab bc证明(ac)(1 1)[(ab)bc)](1 1)ab bc ab bc(11)24∴ 1 1 4ab bc ac添项：例：a,b,cRa求证：

c 3bc ca ab 2a b c分析：左端变形bc1ca1ab1(abc)(1 1 1)bc ca ab∴只需证此式9即可2a b c a b c证明bccaCb3(bc1)(ac1)(cb1)(abc)(1 1 1)bc ca ab1[(bc)(ca)(ab)](1 1 1)1 2 bc ca a1 11)22 2a b c 9 3 3bc ac ab 2 2aba、bR，则ab2ab1 1推论：(ab)(ab)41)2 其中a、bR1 1 1(abcabc911)2 其中a、b、cR例.已知a,a,a,…,a，b,b,…,b为正数，求证：证明：左边=1 2 3 n 1 2 n证明：左边=例.对实数a,a,…,a,求证：证明：左边=1 2 n证明：左边=例.设为正数，且=证明：左边=====例.若n2证明：由柯西不等式有于是：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有<例.设x,x,…,x都是正(n³2)且， 求证：又由柯西不等式有<1 2 n证明：不等式左端即 (1)∵ ，取 则 (2)由柯西不等式有 (3)综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：即综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：用柯西不等式证明条件不等式22柯西不等式中有三个因式na22

，nb

，

ab而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不ii1

ii1

iii1等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量a ，bi i

具有广泛的选择余地，任意两个元素ai

a （或bbj i

） 的交换，可以得到不例：已知a,bR，a+b=1,x,x1 2

R,1

bx2

bx1

ax2

xx12分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号的前后项对调一下，情况就不同了。1

bx2

bx1

ax2=1

bx2

ax2

bx1 xx12xx12a xx12xx12=ab2xxxx 。12 12例、设x,x1 2

,,xn

R,求证：x2 x x x21 nxxxx x x x 1 2 n2 3 n 1（1984年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式x2

xx3

x，也即嵌以因式1xx1 2

xn

，由柯西不等式，得x2 x x x2 1 n (xxxx)x x x x 2 3 n 12 3 n 1x

x

x

x 2

1x21x2

L

x 2

x 2L

x 2 2 2x3n1xnnx1x2x2x3n1xnnx1x2x

x3nx3n1xn

2 xnxn x

n 1 1x22x31x22x3

L x1n 1x1xx1 2

Lxn

2,x2 x x x2于是1 nxxx .x x x x 1 2 n2 3 n 1利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。例设非负实数,1 2

n

满足122

1,求nn12

11n

_1

n

11

n1

的最小值。（1982年西德数学奥林匹克度题）解：易验证

1(

) 212

11n

+1=

1 2 21

21同理可得

2 211

11

+1=22

,,1222

n

n1

+1=2nnn令y12

11n

_1

n

11

n12 2 2故yn21

22

+

2n为了利用柯西不等式，注意到(2a)(2a1

)(2an

)2n(aa1

an

)2n1, (2n( 121

122

+

12)n=(2a)(2a1 2

)(2an

)(

121

122

+

12)n2a2a22a2a2a2a12a11

22a2

n222anyn

2n2

,y

2n2

n n .2n1 2n1 2n11 n等号当且仅当aa1 2

an

y有最小值n 2n 1例设x,x1 2

,,xn

都是正数，n,且nxii1

1,求证：n x

nxi1xii1xi

.（1989年全国数学冬令营试题）i1

n1i证明：令yi

1x(i1,2,n),由柯西不等式，得xixixi(xi

)2n

n, 即i

n.iii1yi同理，得yi

)2n

ni

(1x)n(n1),i即nyii1

i1 n(n

ii又由柯西不等式，得ynyinn 1yiyiiyiyi

(ni1

)2n24y4y14yin2故i1

n2

,n(nn(nii1从而n xi1i1

ni i

n 11yiyyi 1yiyy

nyiyi1nnn1nnn1n(nnn1nn1xii1ni1n16，利用柯西不等式解三角问题。三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。例 在ABC中，求证：sinAsinB5sinC 1982201(20140证明：sinAsinB5sinC2sinABcosAB10sinCcosC2 2 2 22cosC(cosAB5sinC2 2 22cosC(15sinC).2 2当且仅当A=B时等号成立。ycos5sinx)(0xy2cos25sinx2的最值。由柯西不等式，

，于是引进参t0求2 1 2y2cos2x15sinx225cos2x sinx5 =25cos2x1

2tsinxt2 5 cos2x12 25

5t2 5

t2t

sin2x25t21 cost2

xt

sin2x.又由平均值不等式ab

ab2,得425t21cos2xt2sin2x2y2t2

2 2 2=21t21 . （1）4t2当且仅当cos2x=t2sin2x时等号成立。例、已知a,b为正常数，且0<x< ,求y a

b的最小值。23b2解：利用柯西不等，得 3b2

sinx cosx3