《空间几何体的表面积与体积》导学案

PAGE14空间几何体的表面积与体积

导学目标：1了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式2了解球、柱、锥、台的体积的计算公式3培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算4提高认识图、理解图、应用图的能力．

自主梳理1．多面体的表面积1设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝______2设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝____________＝____________3设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则S正棱台侧＝__________＝____________4设球的半径为R，则S球＝____________2．几何体的体积公式1柱体的体积V柱体＝______其中S为柱体的底面面积，h为高．特别地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱＝πr2h2锥体的体积V锥体＝________其中S为锥体的底面面积，h为高．特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥＝eq\f1,3πr2h3台体的体积V台体＝______________其中S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为高．特别地，上、下底面的半径分别是r′、r，高是h的圆台的体积V圆台＝eq\f1,3πhr2＋rr′＋r′2．4球的体积V球＝__________其中R为球的半径．自我检测1．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形ABC在平面β内，则三棱锥P—ABC的体积为\f1,4 \f1,2\f\r3,6 \f\r3,42．

从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，则它的表面积与正方体表面积的比为\r3∶3 \r2∶2\r3∶6 \r6∶63．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B—APQC的体积为\f1,6V \f1,4V\f1,3V \f1,2V4．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A．9π B．10πC．11π D．12π5．2022·陕西某几何体的三视图如下，则它的体积是

A．8－eq\f2π,3 B．8－eq\fπ,3C．8－2π \f2π,3

探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

变式迁移1已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________．

例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积其中∠BAC＝30°及其体积．

变式迁移2直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．

探究点三侧面展开图中的最值问题例3如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且a>b>c>1的最短线路的长．

变式迁移3如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r2P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．

1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体柱、锥、台，或化离散为集中，给解题提供便利．1几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．2几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．

空间几何体的表面积与体积答案自主梳理1．1ch2eq\f1,2nah′eq\f1,2ch′3eq\f1,2na＋a′h′eq\f1,2c＋c′h′44πR221Sh2eq\f1,3Sh3eq\f1,3hS＋eq\rSS′＋S′4eq\f4,3πR3自我检测1．D[由题意，S△ABC＝eq\f\r3,4，三棱锥的高h＝3，∴V三棱锥P—ABC＝eq\f1,3Sh＝eq\f\r3,4]2．A[设正方体棱长为a，则正四面体棱长AB＝eq\r2a，∴S正四面体表＝4×eq\f\r3,4×eq\r2a2＝2eq\r3a2∵S正方体表＝6a2，∴四面体的表面积与正方体表面积的比为eq\r3∶3]3．C4

D[据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π]5．A[由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－eq\f1,3×π×2＝8－eq\f2π,3，故选A]课堂活动区例1解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高．解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．解

如图，过点A1作A1O⊥面ABC于点O，连接AO过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A1作A1F⊥AC于点F，连接EO，FO，易得OE⊥AB，OF⊥∵AA1和AB与AC都成60°角，∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO∴点O在∠BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD∴BC⊥AA1∵AA1∥BB1，∴侧面BB1C∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋12eq\r3∵AA1＝3，AA1与AB和AC都成60°角，∴AE＝eq\f3,2∵∠BAO＝30°，∴AO＝eq\r3，A1O＝eq\r6∴三棱柱的体积为V＝eq\f\r3,4×16×eq\r6＝12eq\r2变式迁移12eq\r7＋4解析

如图所示，设D为BC的中点，连接A1D，AD∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，∴BC⊥A1A又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1又∵侧面与底面边长都等于2，∴四边形BB1C作DE⊥AB于E，连接A1E，则AB⊥A1E，又∵AD＝eq\r22－12＝eq\r3，DE＝eq\fAD·BD,AB＝eq\f\r3,2，∴AE＝eq\rAD2－DE2＝eq\f3,2，∴A1E＝eq\rAA\o\al2,1－AE2＝eq\f\r7,2，∴S四边形ABB1A1＝eq\r7，∴S三棱柱侧＝2eq\r7＋4例2解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要忘记“内表面”．解如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，

在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r3R，BC＝R，CO1＝eq\f\r3,2R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×eq\f\r3,2R×eq\r3R＝eq\f3,2πR2，S圆锥BO1侧＝π×eq\f\r3,2R×R＝eq\f\r3,2πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝eq\f11,2πR2＋eq\f\r3,2πR2＝eq\f11＋\r3,2πR2，∴旋转所得到的几何体的表面积为eq\f11＋\r3,2πR2又V球＝eq\f4,3πR3，V圆锥AO1＝eq\f1,3·AO1·πCOeq\o\al2,1＝eq\f1,4πR2·AO1，V圆锥BO1＝eq\f1,3BO1·πCOeq\o\al2,1＝eq\f1,4πR2·BO1，∴V几何体＝V球－V圆锥AO1＋V圆锥BO1＝eq\f4,3πR3－eq\f1,2πR3＝eq\f5,6πR3变式迁移220π解析在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2eq\r3，由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝eq\r5，故此球的表面积为4πR2＝20π例3解题导引本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示．

三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：eq\ra＋b2＋c2＝eq\ra2＋b2＋c2＋2ab，eq\ra2＋b＋c2＝eq\ra2＋b2＋c2＋2bc，eq\ra＋c2＋b2＝eq\r