2022版备战老高考一轮复习文科数学第2节 空间几何体的表面积与体积 教案

第二节空间几何体的表面积与体积[最新考纲]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l三者关系S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up14(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up14(r′＝0))S圆锥侧＝πrl3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3eq\O([常用结论])1．正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体，其表面积为eq\r(3)a2，体积为eq\f(\r(2),12)a3.2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半径R外＝eq\f(\r(6),4)a.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积． ()(2)球的体积之比等于半径比的平方． ()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． ()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝eq\f(\r(3),2)a. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A.eq\f(16,3)πB.eq\f(32,3)πC．16πD．24πB[设球的半径为R，由题意得4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，故选B.]2．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cm B．2cmC．3cm D.eq\f(3,2)cmB[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，2πr＝πl，得l＝2r.则S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π.解得r＝2(cm)，故选B.]3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3B[由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为eq\r(3)的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).]4．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为．1∶47[设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.]考点1空间几何体的表面积求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积先求各个面的面积，再相加即可求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq\r(2)，底面圆的直径为2eq\r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.]解答本题T(1)时易误认为几何体的上底面不存在，导致计算错误．1.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋eq\r(3) B．1＋2eq\r(2)C．2＋eq\r(3) D．2eq\r(2)C[由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中AB＝AD＝CB＝CD＝eq\r(2)，BD＝2，且平面ABD⊥平面CBD.所以△ABD与△CBD都是等腰直角三角形，而△ABC与△CAD都是边长是eq\r(2)的等边三角形．所以表面积是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＋eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×2＝2＋eq\r(3)，故选C.]2．(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81B[由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3eq\r(5))×2＝54＋18eq\r(5).故选B.]考点2空间几何体的体积(多维探究)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换直接法求体积(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D.eq\f(3π,2)＋3(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为．(1)A(2)eq\f(1,3)[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S­ABC组成的，如图，三棱锥的高为3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1.故选A.(2)四棱锥A1­BB1D1D的底面BB1D1D为矩形，其面积S＝1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离，即h＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).]直接法求体积关键是求几何体的底面面积和高这两个量．[教师备选例题]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A．4π B．2πC.eq\f(4π,3) D．πB[由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面积为eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，则该几何体的体积为eq\f(2π,3)×3＝2π.]割补法求体积(1)[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63πC．42π D．36π(2)[一题多解]如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)(1)B(2)A[(1)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的eq\f(1,2)，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故选B.法二：(估值法)由题意，知eq\f(1,2)V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.(2)法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为eq\f(1,2)，直三棱柱高为1，AG＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(2))＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中点M，则MG＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，所以V＝eq\f(\r(2),4)×1＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),3).法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P­AED和三棱锥P­BCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥P­ABCD为棱长为1的正四棱锥．所以V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),3).]解答本例T(1)中，也可将两个相同的几何体对接为圆柱，圆柱体积的一半即为所求．等体积法求体积(2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A­BC1M的体积VA­BC1M＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)C[VA­BC1M＝VC1­ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6)，故选C.]使用等体积法求体积时，一般是把三棱锥的底面转化到已知几何体的某一个面上．[教师备选例题]如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)A[三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，三棱锥A­B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).]1.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.118．8[由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]2．某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的体积为．eq\f(5\r(3),12)[根据几何体的三视图，知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥，如图所示：底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，EF平行于底面，且EF＝1.过点E作EM⊥AB，垂足为点M，过点E作EN⊥DC，垂足为点N，连接MN.同理作FM1，FN1，M1N1.则AM＝eq\f(1,2)，EM＝1，V＝2VE­AMND＋VEMN­FM1N1＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(5\r(3),12).]考点3球与空间几何体的切、接问题空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．外接球(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)(1)B(2)C[(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，BM＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)eq\r(AB2－AE2)＝2eq\r(3).易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝eq\r(OB2－BM2)＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥D­ABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×(4＋OM)＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故选B.(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up20(2)＋62)＝eq\f(13,2)，故选C.][母题探究]本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3eq\r(2)的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？”[解]依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高为eq\r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))eq\s\up20(2))＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.本例T(2)中直三棱柱有三条棱两两垂直，因此直三棱柱可补形为长方体，从而其外接球的直径为长方体的体对角线长．[教师备选例题]1．点A、B、C、D在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为()A．32eq\r(3)π B．48πC．64eq\r(3)π D．16eq\r(3)πA[由题意知，球心O到△ABC的中心O′的距离为3，即OO′＝eq\f(1,2)AD＝3，如图所示，AO′＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3)，∴OA＝eq\r(32＋3)＝2eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π.]2．若一个底面边长为eq\f(\r(6),2)，侧棱长为eq\r(6)的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．[解]在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，∴BE＝eq\r(6)，在Rt△BEE1中，BE1＝eq\r(BE2＋E1E2)＝2eq\r(3)，∴2R＝2eq\r(3)，则R＝eq\r(3)，∴球的体积V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.内切球(1)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是．(2)已知正三棱锥S­ABC的底面是面积为eq\r(3)的正三角形，高为2eq\r(2)，则其内切球的表面积为．(1)eq\f(3,2)(2)eq\f(8π,9)[(1)设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)过顶点S作SO⊥平面ABC，则SO＝2eq\r(2).设正三棱锥S­ABC的底面边长为a，则底面积为eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，即a＝2.连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，∴SD＝eq\r(2\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up20(2))＝eq\f(5\r(3),3).设正三棱锥S­ABC的内切球的半径为r，则eq\f(1,3)×eq\r(3)×2eq\r(2)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋3×\f(1,2)×2×\f(5\r(3),3)))r，解得r＝eq\f(\r(2),3).∴内切球的表面积S＝4πr2＝eq\f(8π,9).]三棱锥内切球球心位置不易确定，一般用等体积法求解，如本例T(2)．求圆锥内切球的半径，可先作出轴截面利用等面积法求解．1.一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为eq\f(π,4)，则圆锥的内切球的表面积为()A．8π B．4(2－eq\r(2))2πC．4(2＋eq\r(2))2π D.eq\f(324－\r(2)2,49)πB[作出圆锥截面图如图，∵母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为eq\f(π,4)，∴圆锥底面半径与高均为eq\r(2).设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(1,2)×(2＋2＋2eq\r(2))r，∴r＝2－eq\r(2).∴该圆锥内切球的表面积为4π×(2－eq\r(2))2＝4(2－eq\r(2))2π，故选B.]2．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD＝2，ED＝1,若鳖臑P­ADE的外接球的体积为eq\f(7\r(14)π,3)，则阳马P­ABCD的外接球的表面积等于()A．15πB．16πC．17πD．18πC[由题意，在三棱锥P­ADE(鳖臑)中，ED⊥DA，PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直径2r＝PE.设PA＝h，则2r＝eq\r(PA2＋AD2＋DE2)＝eq\r(h2＋22＋12)＝eq\r(h2＋5)，所以其外接球的体积V＝eq\f(4πr3,3)＝eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(h2＋5),2)))eq\s\up20(3)＝eq\f(7\r(14)π,3)，解得h＝3.设四棱锥P­ABCD(阳马)的外接球半径为R，则2R＝PC＝eq\r(PA2＋AD2＋AB2)＝eq\r(32＋22＋22)＝eq\r(17)，所以该球的表面积S＝4πR2＝17π.故选C.]课外素养提升⑦直观想象——巧解球的切、接问题球与简单几何体的切、接问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键．外接球问题常用结论(1)简单多面体外接球的球心的结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．(2)构造正方体或长方体确定球心．(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．【例1】(2019·武昌模拟)已知底面为正方形的四棱锥P­ABCD的所有顶点都在球O的球面上，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AB＝2，则球O的表面积为()A.eq\f(7π,3)B.eq\f(14π,3)C.eq\f(21π,3)D.eq\f(28π,3)D[令△PAD所在圆的圆心为O1，△PAD为正三角形，AD＝2，则圆O1的半径r＝eq\f(2\r(3),3)，∵平面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，∴OO1＝eq\f(1,2)AB＝1，∴球O的半径R＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\r(\f(7,3))，∴球O的表面积＝4πR2＝eq\f(28π,3)，故选D.][评析]求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【素养提升练习】1．(2019·广州模拟)三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为()A．23πB.eq\f(23,4)πC．64π D.eq\f(64,3)πD[如图，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC.则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝eq\f(2,3)PH＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3)，OO′＝DH＝eq\f(1,2)AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝eq\f(4,3)＋4＝eq\f(16,3).故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝eq\f(64,3)π.]【例2】(2019·开封模拟)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，AA1⊥平面ABC，则该三棱柱的外接球的体积为()A．40πB．40eq\r(10)πC.eq\f(40π,3) D.eq\f(40\r(10)π,3)D[由题意可知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，AA1＝2eq\r(2)，底面三角形ABC的外接圆半径为eq\f(2\r(2),2sin\