高中数学《简单复合函数的导数》课件

1.能根据定义求基本初等函数的导数.2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能

求简单的复合函数的导数.5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=①

αxα-1

f(x)=sinxf'(x)=②

cosx

f(x)=cosxf'(x)=③

-sinx

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=④

axlna

f(x)=exf'(x)=⑤

ex

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=⑥

f(x)=lnxf'(x)=⑦

1|基本初等函数的导数公式南方绕弯名称内容说明和、差的导数[f(x)±g(x)]'=⑧

f'(x)±g'(x)

“±”前后一致积的导数[f(x)g(x)]'=⑨

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

g(x)=c

[cf(x)]'=⑩

c'f(x)+cf'(x)=cf'(x)

商的导数

'=

g(x)≠02|导数的四则运算法则1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,

那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=

f(g(x))

.2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f

(u),u=g(x)的导数间的关系为

y'x=y'u·u'x

.即

y对x的导数

等于

y对u的导数

与

u对x的导数

的乘积.3|复合函数的概念及其求导法则南方绕弯1.若f(x)=

,则f'(x)=

.

(√)提示:∵f(x)=

=

,∴f'(x)=

=

,故正确.2.(log3x)'=

.

(

✕)提示:(log3x)'=

,故错误.3.已知函数y=2lnx-2x,则y'=

-2xln2.

(√)提示:y'=(2lnx)'-(2x)'=

-2xln2,故正确.4.若函数f(x)=

,则f'(x)=

.

(

✕)提示:f'(x)=

=

=

,故错误.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”。5.函数y=xln(2x+5)的导数为ln(2x+5)+

.

(

✕)提示:y'=[xln(2x+5)]'=x'ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x·

·(2x+5)'=ln(2x+5)+

,故错误.6.曲线y=eax在x=1处的切线的斜率为ea.

(

✕)提示:∵y'=eax·(ax)'=aeax,∴k=y'x=1=aea,故错误.南方绕弯1|利用导数的四则运算法则求函数的导数利用导数的四则运算法则求函数的导数的策略1.对于分式中分子、分母齐次结构的函数,可考虑通过裂项化为和、差形式:若待求导的函数是两个函数商的形式,则可先对函数进行适当变形,再求导,这样

会大大减少运算量.2.对于根式型函数,可考虑进行有理化变形:有理化变形通常有两种形式:一是分子中含有根式,则进行分子有理化;二是分母

中含有根式,则进行分母有理化.如果所给两“项”的分母是互为有理化因式的

结构形式,则直接通分就能达到分母有理化的效果,从而使化简过程更为简捷.3.对于多个整式乘积形式的函数,可以考虑展开,化为和、差形式:若待求导的函数为多个整式乘积的形式,则可以利用多项式的乘法法则,化为

和、差的形式,再求导,其运算过程将会简化,运算量将会减小.4.对于三角函数,可考虑恒等变形对含有三角函数式的函数求导,往往需要利用三角恒等变换公式,对函数式进行

化简,使函数的种类减少,次数降低,结构尽量简单,从而便于求导.南方绕弯求下列函数的导数.(1)y=(x2+1)(x-1);(2)y=x3·ex;(3)y=

;(4)y=

;(5)y=sin4

+cos4

.思路点拨(1)先展开,再求导;(2)(3)(4)结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接

求导;(5)先化简,再求导.解析(1)∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1,∴y'=3x2-2x+1.(2)y'=(x3·ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2·ex+x3·ex.(3)y'=

'=

=

=-

.(4)y'=

'=

=

=

.(5)∵y=sin4

+cos4

=

-2sin2

·cos2

南方绕弯=1-

sin2

=1-

×

=

+

cosx,∴y'=

'=-

sinx.陷阱分析

此类问题出错的原因主要有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆

不准确;二是求导法则掌握不准确,尤其是对积与商的求导法则中的符号出现混

淆,导致运算结果错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注

意化简过程中变换的等价性.2|利用导数的四则运算法则解决切线问题1.利用导数的四则运算法则解决切线问题,有以下几种常见题型:(1)求在某点处的切线方程;(2)已知切线的方程或斜率求切点;(3)切线问题的综合应用.2.切线问题的处理方法(1)对函数进行求导;(2)若已知切点,则求出切线斜率、切线方程;(3)若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.在解决此类问题时,求函数的导数是基础,抓切点是关键.南方绕弯已知函数f(x)=

,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.思路点拨设出交点的横坐标

求导并表示出切线的斜率

解方程组

求a的值.解析由题意得,f'(x)=

,g'(x)=

(x>0),设两曲线交点的横坐标为x0,则

解得

所以两曲线的交点坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f'(e2)=

,所以切线方程为y-e=

(x-e2),即x-2ey+e2=0.(1)曲线y=

-

在点M

处的切线的斜率为

(B)A.-

B.

C.-

D.

(2)已知曲线f(x)=x3+ax+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0.①求a,b的值;②如果曲线y=f(x)的切线与直线y=-

x+3垂直,求切线的方程.解析

(1)∵y'=

=

,∴y'

=

,∴曲线在点M

处的切线的斜率为

.南方绕弯(2)①f(x)=x3+ax+b的导数f'(x)=3x2+a,由题意可得

解得

②由①知f(x)=x3+x-16,f'(x)=3x2+1.∵切线与直线y=-

x+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3

+1=4,∴x0=±1.由f(x)=x3+x-16,可得y0=1+1-16=-14或y0=-1-1-16=-18,则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.解题模板(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条

件可以转化为这三个元素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的关键,务必做到准确.南方绕弯3|复合函数的导数及其应用情境如何求函数y=

的导数?问题1.分析函数的运算特点,函数y=

是怎样构成的?提示:函数y=

是由y=

与t=1-2x通过复合运算得到的.2.函数y=

是什么函数?如何求其导数?提示:y=

=

是幂函数,利用公式(xα)'=αxα-1(α∈Q,α≠0)求其导数,因此y'=

'=(

)'=-

.3.如何利用函数y=

与t=1-2x的导数求出函数y=

的导数?提示:由y't=-

,t'x=(1-2x)'=-2,得y'x=y't·t'x=-

×(-2),再将t=1-2x代入,得y'x=-

(1-2x

×(-2)=(1-2x

.南方绕弯1.复合函数求导的步骤2.求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数;(2)求导时分清是对哪个变量求导;(3)计算结果尽量简单.求下列函数的导数.(1)y=e2x+1;(2)y=5log2(1-x);(3)y=e-x·sin2x;(4)y=

.思路点拨选定中间变量u,确定基本初等函数y=f(u),u=g(x)

由外到内求导

变量回代相乘.南方绕弯解析(1)函数y=e2x+1可看成函数y=eu和u=2x+1的复合函数,∴y'x=y'u·u'x=(eu)'·(2x+1)'=2eu=2e2x+1.(2)y'=[5log2(1-x)]'·(1-x)'=5·

·(-1)=-

.(3)y'=(e-x)'sin2x+e-x·(sin2x)'=-e-xsin2x+2e-xcos2x.(4)y'=

=

=

.解题模板确定复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由

外及内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数,逐步确

定复合过程.已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.思路点拨利用复合函数求导法则求出函数的导数,再利用导数的几何意义