课件-ch4.4lti系统拉氏分析法

§4-4

LTI的拉

斯分析法一、拉

斯变换解微分方程1、拉 斯变换解微分方程的步骤：⑴

对微分方程求拉氏变换，注意应用微分性质；⑵ 解s域的代数方程，求出响应的拉氏变换；⑶

求拉氏反变换，即求出响应的时间表达式。2、拉

斯变换解微分方程举例：例如：已知dt2dt

dt3

2y(t)

4x(t)d2

y(t)

dy(t)

dx(t)y(0

)

y(0

)

1零输入响应和x(t)

e3tu(t)零状态响应，试求：系统的响应y(t)；并响应和受迫响应。Signals

&

Systems1/23解：⑴对方程两边同求拉氏变换，注意利用微分性质。dx(t)3

2y(t)

4x(t)d2

y(t)

dy(t)dt2

dt

dts2Y(s)

[sy(0

)

y(0

)]

3[sY(s)

y(0

)]

2Y(s)

sX(s)

4X

(s)⑵

整理以上方程，求出响应的拉氏变换式。(s2

3s

2)Y(s)

(s

4)X

(s)

(s

3)y(0

)

y(0

)所以

Y(s)

(s2

3s

2)(s

4)X

(s)

(s

3)y(0

)

y(0

)(s2

3s

2)(s

3)y(0

)

y(0

)(s2

3s

2)

X

(s)

(s

4)Signals

&

Systems2/23因为s

31X

(s)

代入起始条件和以上X(s)，得到Y(s)

(s2

3s

2)(s

3) (s2

3s

2)(s

4)

(s

3)

1⑶求拉氏反变换。(s

1)(s

2)(s

4)(s

1)(s

2)(s

3)(s

4)Y(s)

22

3

23

1

2

s

1

s

2

s

3

s

1

s

2Signals

&

Systems3/2322

3231

s

1

s

2

s

3

s

1

s

2Y(s)

2

所以2

1

e3t

)u(t)

(3et

2e2t

)u(t)2

2e2ty(t)

(3

et零状态响应零输入响应

1

e3t

)u(t)y(t)

(9

et

4e2t

2

2

响应

受迫响应虽然说拉氏变换解方程，可以一次求出全解是它的优点，但是利用微分性质时，带上其起始条件，使s域的方程运算时显得累赘，极容易出错。分别求其零状态和零输入响应会更简洁。Signals

&

Systems4/23前例：已知dt2dt

dt3

2y(t)

4x(t)d2

y(t)

dy(t)dx(t)y(0

)

y(0

)

1x(t)

e3tu(t)试求：系统的响应y(t)。解：⑴求零状态响应。对方程两边同求拉氏变换，丌带起始条件dx(t)dt2

dt

dt3

2y(t)

4x(t)d2

y(t)

dy(t)s2Y(s)

3sY(s)

2Y(s)

sX(s)

4X

(s)整理以上方程，求出零状态响应的拉氏变换式。(s2

3s

2)Y(s)

(s

4)X

(s)所以(s2

3s

2)Y

(s)

(s

4)

X

(s)

H(s)X

(s)Signals

&

Systems5/23因为s

31X

(s)

得到零状态响应的拉氏变换(s2

3s

2)(s

3)(s

4)Y(s)

(s

1)(s

2)(s

3)(s

4)22求拉氏反变换，得到系统的零状态响应3

1s

1

s

2

s

3Y(s)

2

所以求得

1

e3t

)u(t)2

2e2tzsy

(t)

(3

et2Signals

&

Systems6/23⑵

求零输入响应。由以上方程的拉氏变换(s2

3s

2)Y(s)

(s

4)X

(s)微分方程对应的特征方程是s2

3s

2

0特征方程的根：s

1

,

s

2所以设系统的零输入响应：2

A

e2ty

(t)

Aetzi

1由起始条件确定待定常数A1

A2

1

A1

2A2

1

A1

3,

A2

2所以零输入响应

2e2ttziy

(t)

3eSignals

&

Systems7/23最后，求得系统的全响应y(t)

yzs

(t)

yzi

(t)e3t

)u(t)

(3et

2e2t

)u(t)2

2(

e

2et

2t

3

1212(

e3t2t

4e

e

)u(t)t

9Signals

&

Systems8/23二、拉

斯变换解电路1、拉 斯变换解电路的步骤：⑴

根据电感、电容上电流不电压的关系，将时域电路转换成s域的电路；⑵ 列s域的电路方程（代数方程），求出响应的拉氏变换；⑶

求拉氏反变换，即求出响应的时间表达式。2、拉

斯变换解电路举例：例1：RC电路，设已知电容上起始电压uC(0-)=U0，试求：t>0时电容上的电压uC(t)。uC

(t)RCEu(t)Signals

&

Systems9/23解：⑴

将时域电路转换成s域的电路；RCEu(t)u

(t)CREs1sCU

0

sU

(s)CR

1

s

sCU

(s)

sC

E

U0⑵ 列s域的电路方程，求输出的拉氏变换；由亍电路简单，直接可写出电容电压的拉氏变换：1

U0sRC

1

s

ssC⑶

求拉氏反变换，求出响应的时间表达式。1

E

U0

U0Signals

&

Systems10/23sRCs(s

C1

)(E

U0

)U

(s)

RC

U

01RCs

s1E

U

(E

U

)

U

0

0

0sRC

E

(E

U0

)s

s

1

求得电容上电压tu

C

(t)

[

E

(

E

U

0

)e

RC

]u(t)

t

u

C

z

s

(

t

)

E

(1

e

RC

)

u

(

t

)tu

C

z

i

(

t

)

U

0

e

RC

u

(

t

)Et0EE>Ut00U0U0EE<U0tRCEu(t)uC

(t)0u

(t

)Cu

(t

)CSignals

&

Systems11/23例2：RLC串联电路，设已知电容上起始电压uC(0-)=1v，回路中的起始电流i(0-)=1A

，输入电压ui(t)=e-3tu(t)。试求：t>0时的电容电压uC(t)。R

32C

1

Fiu

(t)Cu

(t)L

1H解：⑴ 将时域电路转换成s域的电路；R

32C

1

Fui

(t)uC

(t)L

1HRs

CUi

(s)Cs1UC

(s)u

(0

)sLLi(0

)⑵

列s域的电路方程，求出响应的拉氏变换；Signals

&

Systems12/23Rs

CUi

(s)

C

s1UC

(s)u

(0

)sLLi(0

)sCR

sL

1

sC

iu

(0

)

C

sUC

(s)

1u

(0

)

C

s[U

(s)

Li(0

)]s

ssi3

s

2

s

[U

(s)

1

1]

121

s)

12Ui

(s)

2(s2

3s

2

s2

3s

2

s

sSignals

&

Systems13/232is2

3s

2U

(s)

CzsU

(s)

2

1s2

3s

2

s

3(s

1)(s

2)(s

3)211

2

s

1

s

2

s

3)UCzi

(s)

s2

3s

2

s

s2

(s

1

1

s(s

1)(s

2)2(s

1)

1ss

s

1

s

2

s

1

4

3

1

4

3s

1

s

2⑶

求拉氏反变换，求出响应的时间表达式。Signals

&

Systems14/23Czsu

(t)

(et

2e2t

e3t

)u(t)uCzi

(t)

(4et

3e2t

)u(t)Cu

(t)

(5et

5e2t

e3t

)u(t)例3：如图是一晶体管电路。输入为高电平时三极管饱和导通，导

Et

0RLrvc

(t)通电阻可视为0。当t=0时刻，输入由高变低，三极管立刻截止，ce两端电阻无穷大。试求：t>0时三极管集电极到地的电压vc(t)。解：三极管在这里只起到一个开关的作用，将其用一开关表示，作图如下：Signals

&

Systems15/23

ERLrvc

(t)t

0由以上s域电路图可见

ERLt

0rvc

(t)Est

0RsLrVc

(s)

LErsc

RV

(s)

E

V

(s)RV

(s)

LE

r

sL

R

r

s

R/

LR

ER

1)1

R

1s

r

s

R/

LVc

(s)

E(

e

)u(t)Rrc

v

(t)

E(1L

R

t

ErE(1

R

)vc

(t)tSignals

&

Systems16/23例4：已知电路：

输出uo(t)=Ri2(t)，试求电路的单位冲激响应。解：根据电路列s域的电路方程：e(t)i2

(t)L

RLi1(t)R

Mu0

(t)(R

sL)I1(s)

sMI2

(s)

E(s)

sMI1(s)

(R

sL)I2

(s)

0由以上方程，求出电流I2(s)如下：R

sLR

sL

E(s)

sM

0R

sL

sM

sMI

(s)

2sME(s)(R

sL)2

(sM

)2Uo

(s)

RI2

(s)

RsME(s)(R

sL)2

(sM

)2RsME(s)(L2

M

2

)s2

2RLs

R2Signals

&

Systems17/231

21

RsME(s)oU

(s)

(L2

M

2

) (s

p

)(s

p

)2(L2

M

2

)

2RL

4R2

L2

4(L2

M

2

)R2p1,2

RL

M

RL2

M

2

L

M所以，系统的单位冲激响应的拉氏变换)(s

H

(s

)

L21

RMs

M

2)(s

RL

MRL

M)22[1L2

M2RL

MRL

M)

(

s

(

s

R

(

L

M

)

R

(

L

M

)]))

(

s

112RL

ML

M(

s

L

M]

R

[RL

M]u(t)1[R

12

L

M

h(t)

eL

Me

R

tL

M

R

tL

MSignals

&

Systems18/23例4：已知输入电压信号v1(t)的波形不电路

，且起始状态为0。试求输出电压信号v2(t)。解：因为输入信号可表示为：v1(t)v2

(t)22

50.3Ht1v

(t)ET1Tv

(t)

Eu(t)

E

[tu(t)

(t

T

)u(t

T

)]列电路的回路方程，4I1(s)

2I2

(s)

V1(s)

2I1(s)

(7

0.3s)I2

(s)

04

2 7

0.3s4

V1

(s)

2

0

22I

(

s

)

2V1

(s)4

(

7

0.3s)

4Signals

&

Systems19/232V1

(s)4

(

7

0.3s)

4V2

(

s

)

0.3

sI2

(

s

)

0.3s电路的阶跃响应为0.64

(

7

0.3s)

42G

(

s

)

1

12

s

2022

g

(t

)

1

e

20t

u

(

t

)电路对单位斜变信号的响应为40t2g

(

)

d

1

(1

e

20

t

)u(t)0亍是，根据线性不时丌变性，系统的响应为40TE2{(1

e

20

t

)

u

(

t

)

[1

e

20(

t

T

)

]u(t

T

)}2v

(t)

E

e

20

t

u

(

t

)

Signals

&

Systems20/23，设电容上起始电压vc1(0-)=E，t=0开关合上，求电流i1(t)，并

t=0时刻前后，电容两端电荷发生的变化。解：作s域电路，并列方程。例5：电路i1(t)EC1

1FC2

2FR

2E

/

s1I

(s)1CC2RR

/

sC1

2

R

1/

sC2

sC1I1

(s)

sR

1E

1E

1R