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第八章多元函数微分法及应用第一节多元函数的概念1.平面点集：2.邻域：为一个平面点集，它是一个圆的内部.一、平面区域的有关概念、

n维空间平面点集称为点P0的邻域.说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0

的去心邻域记为(1)

内点、外点、边界点设有平面点集

E

及一点

P:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E的外点,则称点P为E

的内点.则称点P为E

的外点则称点P为E

的边界点.显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,

E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E.3.区域若对点P

的任意去心邻域内总有E

中的点,

则称点P

是E

的聚点.(1)内点一定是聚点；几点说明：(2)边界点可能是聚点;(0,0)既是边界点也是聚点．(0,0)是聚点但不属于点集．而边界上的点是聚点且属于点集．(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．(2)聚点E若平面点集E

的点都是内点，则称E

为开集.若平面点集E

E

,则称E

为闭集.

若点集E

中任意两点都可用一完全属于E的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称E

是连通的.连通的开集称为开区域

,简称区域.。。(3)开区域及闭区域开区域闭区域例如，在平面上对于平面点集E

如果存在某一正数r

使得EU(O

r)

其中O是坐标原点则称平面点集E为有界点集

否则称为无界点集

点集{(x

y)|xy0}是无界闭区域

点集{(x

y)|xy0}是无界开区域

点集{(x

y)|1x2y24}是有界闭区域

(4)有界集与无界集例如n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的一称为该点的第k

个坐标.个点,

4.n

维空间n维空间中两点间距离公式注：

n维空间中邻域、区域、内点、边界点、聚点等概念类似平面上的定义.

特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．例邻域：设两点为引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式二、多元函数的概念1.二元函数的定义注:(1)类似地可定义三元及三元以上函数．其中，x、y称为自变量，z称为因变量。点集D称为函数的定义域。函数值构成的数集Z称为函数z=f(x,y)的值域当x=a及y=b时，函数z的对应值记为或或所求定义域为2.二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面.第八章多元函数微分法及应用第二节二元函数的极限与连续一、二元函数的极限2.有关极限的几点说明：(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

3.几何意义：在点P0(x0,y0)的去心邻域内的曲面z=f(x,y)介于两平面与之间。例2、求极限

例3、证明不存在．

其值随k的不同而变化，注：确定极限不存在的方法例4、证明不存在．

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