第10讲静电场环路定理力功电势能

—静电场的保守性——环路定理1

电场力的功

只与始末位置有关，而与路径无关。情形1：在点电荷电场中移动试验点电荷q0时电场力做的功.dr

dl

cos

,q40

r

20E

drq204

r0

dA

qq0

E

dldA

⇀

dr⇀F⇀⇀

q Edl

cos0q

Edr

A

ba4πε0r2

drbrar

0

1

1

4πε

rr

0

a b

~dl→Ebr

drrararbdrccqq0情形2：在点电荷系的电场中移动q0时，电场力做的功为⇀

⇀

⇀

⇀

⇀~bb2abA

aF

dr

q

(E

E

E)

dln0

10

2⇀

⇀⇀

⇀ab0

1b0

nbaaaq

E

dl

q

E⇀

⇀

dl

q

E

dl40(

1

1

)ria

rib

q0qii

A1

A2

An情形3：对于

的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成。结论：静电场中，电场力的功只取决于起始和终了的位置,而与路径无关。静电场力为保守力，静电场为保守场。运动电荷的场不是保守场，将在磁场部分

！2

静电场的环路定理静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零.L

E

dl

0⇀

⇀证明:

静电场力是保守力⇀

⇀L—静电场的基本方程⇀

⇀

⇀

⇀□q0

E

dl

□f

dr

0

□E

dl

0证毕.L

L场强的环路积分,称为场的环量(或环流)电场线具有无涡旋结构有旋结构结论：静电场是无旋结构的场（无旋场）二电势能和电势电场力是保守力，可引入势能的概念。1

电势能设将试验电荷q

从a

点沿任意路径0移动到b

点，电场力作功为Aab。由于保守力所作的功等于势能增量的负值，则ppb

E

(E

Epa

)

Epa

Epb0bbAabaaF

dr

qE

dl⇀

⇀

⇀~q0a→Eb选定b点为电势能零点,

即Epb

=0,

则q0在a点时,

系统的电势能为：aEpa

q0E

dl⇀

⇀势能零点电势能的物理意义电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功.电势能Ep属于电荷q0与电场所构成的系统，是一个相对的量，必须选择一个零势能点作为参考。对于有限带电体，通常规定无穷远处为电势能零点。则：

⇀~Epa

q0a

E

dl对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。□2

电势与电势差0aaU⇀

⇀E

dlq

Epa电势零点①静电场中某点的电势：物理意义把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所具有的电势能.电势从能量的角度反映了电场的性质。电势零点的选择

——根据研究问题的方便合理选择无限大带电体：取带电体本身或其附近指定点为电势零点有限大带电体：取无穷远处为电势零点工程应用中：常将大地或仪器外壳视为电势零点②静电场中两点间的电势差(electric

potential

difference)Uab

Ua

Ub

a~E

dl

A

ab

q0~babA

q0

a

E

dl0

a

bb

⇀

⇀

q

(U

U

)物理意义将单位正电荷从a点移到b点时电场力所做的功.根据电势分布求电场力的功当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：①

点电荷电场中的电势rq

Pr0→如图P点的场强为以q为球心的同一球面上各点的电势相等。3

电势的计算04

rqdr

⇀0由电势定义，取无穷远处为电势零点，得4

r

2rˆqEU

⇀

⇀

P

P

E

dl2q

0

U

0

r

U

q

0

U

0

r

U

r

U最小r

U最大2004

r

4

rr

r②电势叠加原理若场源为q1、q2qn构成的点电荷系，则场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点电势的代数和。证明：根据电场叠加原理，对于场中任一点⇀

⇀

⇀

⇀场强

E

E1

E2

.......

En电势⇀

⇀

En

dl12⇀

⇀PE

E

⇀

⇀E

dl

PU

P

⇀

⇀

⇀

⇀

E1

dl

E2

dl

.......

⇀

⇀En

dlPPPn

U1

U2

......

Un

Uii

1证毕。由电势叠加原理，P

的电势为③点电荷系的电势④有限大连续带电体的电势由电势叠加原理1q

q2

r

1Pr

2qnrnPrdqi0

i4

rU

U

qiQU

dU

dq

40rdq如何定义？此式意味着：电势零点选在无穷远处！——定义法由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算——叠加法~综合上述，计算电势有两种方法：根据已知的场强分布，按定义计算Ub

0~P当带电体为无限大模型时，只能用该定义计算UP

E

dlqi40riU

0U

dq

4

rQrOq2q13练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷q

4.0109C

，r

=

5cmi②将③求该过程中电势能的改变o①求

U09q

1.010

C从

o

电场力所作的

U

)

q功(0

28.8

102

)

28.8

107

Jo

0电势能q40rUo

4

1

28.8

102

VoA

q0

(UW

W

Wo

28.8

107

J

0电场力作功等于电势能增量的负值！解：①由对称性知

qo例题2

如图已知+q

、-q、R。求：①单位正电荷沿odc

移至c

，电场力所作的功。②将单位负电荷由∞移到o

点电场力所作的功。dab

qc00)

R

R

Rq4

3RAoc

q0

(Uo

Uc

)

0

q0

(4

Rq006

RoU

0②AO

q0

(U

Uo

)

0求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：R、q例题3xzOR解：

方法1

微元法

——叠加法ydlrPxdq4

0

rdU

0

dl

4

r0R

2q

x

24

2

R

04

r2

R004

rdlUP

dU方法2

电势定义法由电场强度的分布qxE

0324

(

x

R2

)23220pxqxdx4

(

x

R2

)pUp

xEdxy0R

2

x

2

q

4

□r

Rr

Rr

R20例题4

求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q.q4

r0~

⇀解：由

定理求出场强分布E

由定义

Up

E

dlPr

R⇀

⇀

⇀

⇀RUr

E

dl

E

dlr

R

q

R

0

04

r2drq40

R20Ur

rqdr4

rq40rqP1P2例题5

L长一节同轴圆柱面，内外半径RA、RB，均匀带电等量异号。①求电场分布；②若UAB

=450V，求电荷线密度λ＝？解：由定理R

□

L0RA

r

RBE

2

r其它⇀

⇀E

dlRA

0RBU

AB

A

RRB

dr20r=

λ可得。□20

RA

ln

RBab→dlnˆ~

EUU

dU三场强与电势的关系1

电势梯度单位正电荷从a到b电场力的功⇀

⇀E

dl

E

cos

dl

U

(U

dU

)E

cos

dl

dU方向的分量Eldl

dU沿该方向电势的变化率(方向导数)的负值E

l~~E在dl方向上的分量电场强度沿某一电势沿等势面法线方向的方向导数最大，最大方向导数称为“梯度”。ldlE

dU则4

场强与电势梯度的关系一般U

U

(x,y,z)梯度算符x

UxEyEzE

U

Uy

zˆ

ˆx

y

z~E

E i

E