《常微分方程》A卷及答案

第第5页共5页安庆师范学院《常微分方程》A卷（ ）2、函数yc21

一、判断题（8分，每题2分）得分1、n 阶常微分方程的通解包含了它的所有解。得分e2xc2是微分方程yy2y0的通解（ ）n阶线性齐次微分方程的

n个解

x(t),x1

(t), ,xn

(t)在[a,b]上线性无关的充要条件是W(t)0,t[a,b]。 （ ）(t)XA(tX的基解矩阵，则(t)为其基解矩阵n阶常数矩阵C(t)(t)C。 （ ）得分二、选择题（10分，每题2分）得分1、微分方程y(y)2y4cosy是 （ 。A 三阶非线性方程 B 三阶线性方程C 四阶非线性方程 D 四阶线性方程2、下列方程中为齐次方程的是 （ 。Ayxy(y) B xyyxtanxC yxyf(y) D cosydxcosxdy3、n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个（ ）维线性空间。A n B n1 C n1 D n24、Lipschitz条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的（ ）条件。A充分条件B必要条件C充分必要条件D既不是充分也不是必要条件dxdt

(0,0)5.方程 的奇dyxdt

的类型是 （ 。考考生答题不得超此线A 结点 B 焦点 C 中心 D 鞍点得分三、填空题（12分，每空2分）得分1、向量函数X1(t),X2(t), ,Xn(t)是线性方程组XA(t)X的基本解组的充要条件是：（） （2） 。2、方程M(xy)dxN(xy)dy0y有关而与x无关的积分因子的充分必要条件是 。y3、方程dyydxdy4、伯努利方程dx

的奇解是 。P(xyQ(xynn0,1)通过变量替换可化为线性方程。5、欧拉方程x2yxyy0的通解为 。得分 四、求下列方程的通解（40分，每题10分）1、xy2yx3cosx.、2 (sinyysinx1)dx(xcosycosx1)dy0.、) 34、

x y(yx)dx(yx)dy0 x1 1 4 1此 得分过得分五、计算与证明题（30分，每题10分）超dy得 1、试用皮卡逐步逼近法求方程dxx2y通过点(1,0)的第二次近似解。不2、已知方程xaxx2cost 的一个解为x不1

(t)sint,试求此方程的通解。题 3、设曲线L位于XOY平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A，已知33答|MA||OA|且L过点( , )，求L的方程.答22生考(安庆师范学院《常微分方程》A卷（本答案仅供参考，若有多种解法，则按相应标准酌情评分）一、判断题（8分，每题2分）1、错；2、错；3、对；4、错二、选择题（10分，每题2分）1、A；2、B ；3、A ；4、A；5、C三、填空题（12分，每空2分）11）X(t),X(t), ,X(t)是方程组的解（2）X(t),X(t), ,X(t)线性无关；1 2 n 1 2 nMN2、 M

y；3y0；4zy1n；5ycclnx)x(其中c

为任意常数)1 2 1 2四、求下列方程的通解（40分，每题10分）1、xy2yx3cosx.2解：改写方程为:yx

yx2cosx先求齐次线性方程

y2

y0

dy 2的通解,分离变量得:

3分x y x积分得通解为ycx2 5分再利用常数变易法求非齐次线性方程的通解,令yc(x)x2,代入得: c(x)x2x2cosx,积分得c(x)sinxc 8从而所求通解为y(csinx)x2(其中c为任意常数). 10分(sinyysinx1)dx(xcosycosx1)dy0.2、 x yM解:由于

cosysinx

N，所以原方程是恰当方程--4分y x原方程可化为1(sinydxxdsiny)(ydcosxcosxdy)1dx dy0.1x y或 d(xsinyycosxlnxy)0 8分x

yycosxlnxyc，其中c为任意常数.3、yx)dxyx)dy0

10分解：原方程化为：ydxxdyxdxydy0xdxydyxdyydx（2分）xdyydx xdxydyx2y2

x2y2 x2y2即：

(arctan

y)1d(lnx2

y2

(7分)x 2化简得： x2y

2arctanyx （C）故原方程的通解为： x2y

2arctanx

（10分）注：用其他方法解得正确结果给满分。x1 1x.4、 4 1解：特征方程为

A14

11

0

2230，所以特征根为1

3，2

313 1 a

013对应特征向量应满足 1 11a 1

4 13

0可确定出

1 61b 21

a 12 同样可算出

对应的特征向量为

8222所以，原方程组的通解为

b 2x e3t et 1c c

10分2x 12e3t2

22et五、计算与证明题（30分，每题10分）1、解: (x)0, 3分0(x)xs2ds1x31, 61 1 1 1 (x)x(s2

(s))ds

1x4 x3 x

7. 102 1

12 3 3 122、解：将x1

(t)sint代入原方程得sintacostsint2cost即a2.从而原方程化为x2xx2cost , 4对应齐次方程的特征值为x

1（二重） --6分ct)etsint.cc为任意常数.--10分1 2 1 23LXOY平面的第一象限内，LMY知MAOA且L过点(3,3)，求L的方程。2 2解：设点M的坐标为（x,y）,则切线MA的方程为：Yyy(Xx) （2分）X0，则YyxyA的坐标为：(0yxy)(x0)2(yyxy)2由MAOA， (x0)2(yyxy)2化简后得：

2yyy2x

x

（5分）令zy2，