上海中考数学压轴题专题复习-圆的综合的综合

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）如图，AB为OO的直径，点E在OO上，过点E的切线与AB的延长线交于点D,连接BE,过点O作BE的平行线，交OO于点F,交切线于点C,连接AC（1）求证：AC是OO的切线；时,四边形FOBE是菱形.时,四边形FOBE是菱形.【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出AOCA^AOCE，根据圆的位置关系证得AC是OO的切线.（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF,得证AOBE为等边三角形，而得出ZBOE=60。，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：TCD与OO相切于点E,•••OE丄CD,上CEO=90。,又tOC||BE,ZCOE=ZOEB,zOBE=zCOATOE=OB,ZOEB=ZOBE,ZCOE=ZCOA,又TOC=OC,OA=OE,AOCA今AOCE(SAS),ZCAO=ZCEO=90°,又TAB为OO的直径，AC为OO的切线；(2)解：T四边形FOBE是菱形,OF=OB=BF=EF,OE=OB=BE,AOBE为等边三角形，ZBOE=60°,

而OE丄CD,•••ZD=30。.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.如图，AB是半圆0的直径，C是门的中点，D是i;的中点，AC与BD相交于点E.(1)求证：(1)求证：BD平分/ABC；(2)求证：BE=2AD；(3)DE(3)DE求~BE的值.【答案】⑴答案见解析⑵BE=AF=2AD⑶宁【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；延长BC与AD相交于点F,证明△BCE竺△ACF,根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1,则BC为2，OB=OD=丫；2，DH=、迂-1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1)TD是「的中点•AD=DCZCBD=ZABDBD平分ZABC(2)提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE竺△ACF,BE=AF=2ADR

R(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,贝yBC为2,OB=OD*2,DE叫DE叫2-1'旋=DH~BCDE<2-1~BE=2不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线.【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线•解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心0；(要求保留作图痕迹，不写作法)若AB的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m，求Ab所在圆的半径.AJ【答案】⑴见解析;(2)50m【解析】分析：(1)连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O如图1；(2)连接OA，OC，OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得到OC丄AB，AD=BD=—AB=40，则CD=20，设OO的半径为r，在Rt^OAD2中利用勾股定理得到r2=(r-20)2+402，然后解方程即可.详解：(1)如图1，点O为所求；(2)连接OA，OC，OC交AB于D，如图2,TC为AB的中点，OC丄AB，AD=BD=1AB=40，2设OO的半径为厂，则OA=r，OD=OD—CD=r—20,在Rt厶OAD中，・・・OA2=OD2+AD2，22r2=(r一20)2+402，解得r=50,即AB所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.5.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0与边BC交于点D，DE丄AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.⑴求证：EF是O0的切线；(2)若上C=60°,AC=12，求BD的长.⑶若tan⑶若tanC=2,AE=8，求BF的长.1010【答案】⑴见解析;(2)2n；⑶亍.【解析】分析：(1)连接OD,根据等腰三角形的性质：等边对等角，得上ABC=ZC,ZABC=ZODB,从而得到/C=ZODB，根据同位角相等，两直线平行，得到ODIIAC，从而得证0D丄EF,即EF是O0的切线；1根据中点的性质，由AB=AC=12，求得OB=OD=-AB=6,进而根据等边三角形的判定得到△OBD是等边三角形，即ZBOD=60o，从而根据弧长公式七届即可；小DE宀CE连接AD，根据直角三角形的性质，由在RtADEC中，tanC==2设CE=x，则CEAEDEDE=2x,然后由RtAADE中，tanZADE==2，求得DE、CE的长，然后根据相似三DE角形的判定与性质求解即可.详解：(1)连接ODTAB=AC•••ZABC=ZCOD=OB•ZABC=ZODBZC=ZODB•ODIIAC又:DE丄AC•OD丄DE,即OD丄EFEF是OO的切线1TAB=AC=12•OB=OD==AB=6由(1)得：ZC=ZODB=6Oo•△OBD是等边三角形•ZBOD=6Oo

60兀x6小•••bd=二2兀即bd的长2兀180(3)连接ADTDE丄ACZDEC=ZDEA=9Oo小DE宀在RtADEC中，tanC二二2设CE=x，则DE=2xCETAB是直径.ZADB=ZADC=900ZADE+ZCDE=900在RtADEC中,ZC+ZCDE=900AEZC=ZADE在RtAADE中，tan/ADE二二2DETAE=8,•••DE=4则CE=2AC=AE+CE=10即直径AB=AC=10则0D=0B=5TOD//AE△ODF-△AEFOFODAE即:BFOFODAE即:BF+5_5BF+10一810解得：BF^3即BF的长为耳.点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.在，"中，-三H二'「；匚分别是边'的中点，若等腰—」绕点逆时针旋转，得到等腰；；；"「，设旋转角为'■:，'|：;:'，记直线‘5与’厂的交点为问题发现如图1,当厲-勺少时，线段的长等于，线段CEl的长等于•探究证明如图2，当时，求证::;.厂，且1'■'i.问题解决求点，到'所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)【答案】⑴入J；••D二",且;"ILf■i.点"的运动轨迹是在]「的上半圆周，点’的运动轨迹是在的弧段••D二",且;"ILf■i.点"的运动轨迹是在]「的上半圆周，点’的运动轨迹是在的弧段.【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD]的长和CJ的长；根据旋转的性质得出，ZD]AB=ZE]AC=135°,进而求出厶D】AB竺△E】AC(SAS)，即可得出答案；首先作PG丄AB，交AB所在直线于点G,则D】，E】在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD]所在直线与OA相切时，直线BD]与CE】的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形ADfE]是正方形，进而求出PG的长.【详解】解：TZA=90°,AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，AE=AD=2，T等腰RtAADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAAD]E]，设旋转角为a(0<a<180°)，.当a=90°时，AE1=2，zE]AE=90°,.BD]=^^^=2曲比=冷卡I®=22；故答案为：」'；、一'；证明：由题意可知，AB-AC-斗AD-AE-2「是由-■■■■绕点;逆时针旋转|二,得到，在二；"厂和•"11中，AD]—AE\^D^AB-^E^ACIAB-AC'BDi—CE\,——DiBA.•:i即当VI与］「相切时」d有最大值.点'到.所在直线的距离的最大值为I-■■.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键.如图，RtAABC中，ZB=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,(1)1设AB=c,BC=a,AC=b,求证：内切圆半径r=〒(a+b-c).⑵若AD交圆于PPC交圆于H,FH//BC,求ZCPD;⑶若r=3白0,PD=18,PC=27\；'2.求厶ABC各边长.【答案】(1)证明见解析(2)45°(3)9JI0,12込【解析】【分析】根据切线长定理，有AE=AF,BD=BF,CD=CE.易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式.ZCPD为弧DH所对的圆周角，连接OD,易得弧DH所对的圆心角ZDOH=90°,所以ZCPD=45°.由PD=18和r=3j0,联想到垂径定理基本图形，故过圆心0作PD的垂线0M,求得弦心距OM=3，进而得到ZMOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PGIIOM,得到同位角ZG=ZMOD.又利用圆周角定理可证ZADB=ZG,即得到ZADB的正切值，进而求得AB.再设CE=CD=x，用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解：(1)证明：设圆心为O,连接OD、OE、OF,OO分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F0D丄BC,OE丄AC,OF丄AB,AE=AF,BD=BF,CD=CEZB=ZODB=ZOFB=90°.四边形BDOF是矩形OD=OF=r.矩形BDOF是正方形..BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r,CE=CD=BC-BD=a-rTAE+CE=AC..c-r+a-r=b1整理得：r=2（a+b-c）(2)取FH中点O,连接ODTFHIIBCZAFH=ZB=90°TAB与圆相切于点F,.FH为圆的直径，即O为圆心TFHIIBCZDOH=ZODB=90°.ZCPD=-ZDOH=45°2(3)设圆心为O,连接DO并延长交OO于点G,连接PG,过O作OM丄PD于MZOMD=90°TPD=181DM=—pd=92TBF=BD=OD=r=3JI0,二om=JOD2-DM2=(310)2—92=<90-81=3tanZMOD==3OMTDG为直径ZDPG=90°OMIIPG,ZG+ZODM=90°ZG=ZMODTZODB=ZADB+ZODM=90°ZADB=ZGZADB=ZMODAB.tanZADB==tanZMOD=3BDAB=3BD=3r=9\/10'AE=AF=AB-BF=9J10-3=6和10设CE=CD=x，则BC=3\；T0+x,AC=6jT0+xTAB2+BC2=AC2.(9、10)2.+(3\；10+x)2=(6p'10+x)2解得：X=9ji0.BC=12,AC=1^10.△ABC各边长AB=9,AC=15,BC=12近0S3【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.8如图1,D是O0的直径BC上的一点，过D作DE丄BC交O0于E、N,F是O0上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P,连结CF交PD于M,ZC=|ZP.求证：PA是O0的切线；若ZA=30°,OO的半径为4,DM=1,求PM的长；

(3)如图2,在(2)的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H,并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度.图1U26_J3【答案】(1)证明见解析；(2)PM=4、：'3-2；(3)满足条件的DH的值为或212+2运11■【解析】【分析】如图1中，作PH丄FM于H.想办法证明/PFH=ZPMH,ZC=ZOFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；(3)分两种情形①当厶CDH-△BFM时,DHCD②当△CDH-△MFB时，二，分别构建方程即可解决问题;FBMF【详解】(1)证明：如图1中，作PH丄FM于H.TPD丄AC，•••ZPHM=ZCDM=90°,VZPMH=ZDMC，AZC=ZMPH，•:ZC=-ZFPM,AZHPF=ZHPM,2VZHFP+ZHPF=90°,ZHMP+ZHPM=90°,AZPFH=ZPMH,44OF=OC,ZC=ZOFC,ZC+ZCMD=ZC+ZPMF=ZC+ZPFH=90°,ZOFC+ZPFC=90°,•••ZOFP=90°,••直线PA是OO的切线.解：如图1中，VZA=30°,ZAFO=90°,•ZAOF=60°,ZAOF=ZOFC+ZOCF,ZOFC=ZOCF,•ZC=30°,OO的半径为4,DM=1,OA=2OF=8,CD=y：3DM=,OD=OC-CD=4-v'3,••AD=OA+OD=8+4-J3=12-FM=FCFM=FC-CM=4J3-2,在RtAADP中，DP=AD・tan30°=(12-f3)x=4^3-1,3PM=PD-DM=4朽-2.如图2中，CM=CM=2DM=2,CD=.3,1由(2)可知：BF=2BC=4,FM①当△CDH-△BFM时,DH_CDDH②当△CDH-△MFB时,DH_CDFB_MFDH•••DHVDN,符合题意,综上所述’满足条件的DH综上所述’满足条件的DH的值为宁12+2朽11【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.9.如图1,O0的直径AB=12,P是弦BC上一动点（与点B,C不重合），ZABC=30°,过点P作PD丄0P交O0于点D.（1）如图2,当PDIIAB时，求PD的长；1（2）如图3,当弧00=弧AC时，延长AB至点E,使BE=-AB,连接DE.厶求证：DE是O0的切线；求PC的长.【答案】（1）2屈;（2）①证明见解析；②3*3-3.【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP,PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出ZODE=ZOFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案.试题解析：（1）如图2,连接OD,T0P丄PD,PDIIAB,ZPOB=90°,TOO的直径AB=12,0B=0D=6,在RtAPOB中，ZABC=30°,•OP=OB・tan30°=6xf=2:,3在RtAPOD中，pD=Jar一=J—M:=M；(2)①如图3,连接OD,交CB于点F,连接BD,

••hJc，ZDBC=ZABC=30°,ZABD=60°,TOB=OD,.△OBD是等边三角形，OD丄FB,1TBE=—AB,2.OB=BE,.BFIIED,ZODE=ZOFB=90°,.DE是OO的切线；②由①知，OD丄BC,.CF=FB=OB・cos30°=6x=3二,2在RtAPOD中，OF=DF,.PF=：DO=3（直