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文档简介

2022/10/271/126通信原理第2章基础知识2022/10/221/126通信原理第2章基础知识2/1262022/10/27本章节复习、梳理与扩充相关基础知识。主要内容有:掌握:信号的基本参数、频谱与功率谱、带宽、高斯白噪声、信号无失真传输条件,带通信号的基本特点、带通信号的复包络表示与带通噪声的同相与正交分量。2/1262022/10/22本章节复习、梳3/1262022/10/27

电子通信系统通过某种电子或电气物理量来传输信息,如电流、电压、电磁波等,其数学模型是时间的函数,统称为信号。2.1确知信号2.2随机信号2.3高斯信号与高斯白噪声2.4信号通过线性时不变系统2.5带通信号3/1262022/10/224/1262022/10/272.1.1信号及其基本参数信号——某个随时间变化的电子或电气物理量,如v(t)或i(t),也常常称为波形。实际物理波形的特点:1)实的、连续的、峰值有限的2)存在于有限的时间段内3)频谱主要集中在某个频带中2.1确知信号4/1262022/10/222.1.1信号及其基本参数5/1262022/10/27时间平均运算符1.

周期信号:2.

直流分量:周期为T0的周期信号v(t),5/1262022/10/22时间平均运算符1.周期信号6/1262022/10/273.信号的功率“归一化功率”,令(欧姆),

的归一化平均功率:的归一化能量:信号有两种类型:(1)功率信号:为有限值,而为无穷大;(2)能量信号:为有限值,而6/1262022/10/223.信号的功率“归一化功率”7/1262022/10/274.

均方根值:幅度的一种度量,例如:(1)直流,,则(2)正弦波,,则基于计算功率:7/1262022/10/224.均方根值:幅度的一种度量8/1262022/10/275.分贝:采用10为底的对数度量功率的相对比值(1)功率增益:输入与负载阻值为Ri与RL,则实际增益为,8/1262022/10/225.分贝:采用10为底的对数9/1262022/10/27(2)信号与噪声的功率比(3)基于某个参考电平值来度量某绝对电平

P相对于1mw

的分贝功率电平:dBm9/1262022/10/22(2)信号与噪声的功率比(3)10/1262022/10/27

P相对于1W

的分贝功率电平:dBW

P相对于1KW

的分贝功率电平:dBK比如:10/1262022/10/22P相对于1W的分贝功率11/1262022/10/272.1.2傅里叶变换与信号的频谱密度简记为或或者,11/1262022/10/222.1.2傅里叶变换与信号12/1262022/10/27称为频谱密度。它通常是复数,

在某个频率f0

处的值不为0,表示信号含有该频率成分。反变换表示信号可以分解为许多不同频率的分量之和。常用的傅立叶变换见表2.1.212/1262022/10/22称为频谱密度。它通常是复数,13/1262022/10/27能量谱密度:能量谱密度描述了的信号能量沿频率轴的分布情况2.1.3能量谱密度与功率谱密度能量型信号13/1262022/10/22能量谱密度:能量谱密度描述了14/1262022/10/27功率谱描述了的平均功率沿频率轴的分布情况2.功率谱密度:功率型信号14/1262022/10/22功率谱描述了的平15/1262022/10/27注意:自相关函数:F15/1262022/10/22注意:自相关函数:F16/1262022/10/27基带信号或低通信号—主要能量或功率集中在零频率附近;频带信号或带通信号—主要能量或功率集中在某一非零频率附近。大量的传输信号是频带信号,比如长途与无线通信中的传输信号。信号的带宽表示信号的能量或功率的集中分布范围。系统的带宽表示系统对信号频率的选择性。2.1.4信号的频带与带宽basebandsignalbandpasssignal16/1262022/10/22基带信号或低通信号—主要能量17/1262022/10/27(1)绝对带宽(所有非零谱的分布范围)absolutebandwidth17/1262022/10/22(1)绝对带宽(所有非零谱18/1262022/10/27(2)谱零点带宽null-to-nullbandwidth18/1262022/10/22(2)谱零点带宽null-19/1262022/10/27(3)99%功率(能量)带宽

带宽内的功率占总功率的99%.PSD:Powerspectraldensityf1-f1ff2f1-f1-f2fPSDPSD带通信号基带信号energyorpowerbandwidth19/1262022/10/22(3)99%功率(能量)带20/1262022/10/27(4)等效矩形带宽当为低通信号时,便于计算信号功率,

equivalentrectangularbandwidth20/1262022/10/22(4)等效矩形带宽当21/1262022/10/27(5)3-dB带宽(半功率带宽)3dBbandwidth21/1262022/10/22(5)3-dB带宽(半功22/1262022/10/272.2

随机信号(随机过程)(RandomSignal)22/1262022/10/222.2随机信号(随机过程)23/1262022/10/27

随机变量

随机试验(RandomExperiment):对随机现象做出的观察与科学实验。E随机实验的特点:a.可重复性b.不唯一性c.不确定性

样本点(SamplePoint)

把随机实验E的每一个基本可能结果称为随机实验的样本点,记为ξ。23/1262022/10/22随机变量随机试验(Ra24/1262022/10/27

随机实验的全部样本点构成的集合,称为随机实验的样本空间,记为Ω

样本空间(SampleSpace

随机事件(Random

Event)

实验E中满足一定条件的样本点的集合称为随机事件,是Ω的子集。记为

A,B

,…每个样本点称为基本事件随机事件域

F:由样本空间的全体子集构成。

随机事件域(Random

EventField)24/1262022/10/22随机实验的全部样本点25/1262022/10/27概率事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值,称为概率(Probability)。常由相对频率(Relativefrequency)来计算,(n很大)例1.1分析掷均匀硬币问题。H---正面,T---反面。解(1)样本空间:(3)由硬币的均匀特性可得,(2)事件域:,25/1262022/10/22概率事件是随机的。赋26/1262022/10/27若定义在样本空间Ω上的单值实函数,将基本可能实验结果ξi与实数xi对应起来,有如下函数关系:

则称为随机实验E中的随机变量,简记为X。

随机变量定义X

的取值范围称为值域或状态空间

R.V.一般用大写字母X,Y,Z,

26/1262022/10/22若定义在样本空间Ω上的单值实27/1262022/10/27抛硬币的结果:抛骰子的结果:例:状态Ωξ1·ξ2·ξi·X(·)x2xix1样本空间随机变量随机变量值域…27/1262022/10/22抛硬币的结果:抛骰子的结果:28/1262022/10/27自然界中许多物理量要随时间或空间坐标变,分为确定性过程-------确知信号随机过程-------随机信号

随机信号(随机过程)28/1262022/10/22自然界中许多物理量要随时间或29/1262022/10/272.2.1概念与定义

例2.1:热噪声电压:电子器件内部微观粒子的随机骚动所引起的端电压。

由于热骚动的随机性,在相同条件下每次测量得到不同的时间函数。29/1262022/10/222.2.1概念与定义例30/1262022/10/27热噪声的变化过程不能简单地用一个(或几个)确定的时间函数来描述,但它可以用一簇无穷多个样本函数来描述。30/1262022/10/22热噪声的变化过程不能简单地用31/1262022/10/27简记为:随机过程(如热噪声电压)表示为:随机过程(如热噪声电压)定义1:是一簇无穷多个样本函数的集合。随机过程既是样本的函数,也是时间的函数31/1262022/10/22简记为:随机过程(如热噪声电32/1262022/10/27

另一方面,再来考察某一时刻ti

,噪声电压的取值:该取值是不唯一的,是一个随机变量。记为:,在不同时刻是不同的随机变量。简记为:随机过程定义2:是随机变量随时间变化的过程,或者说随机过程是一簇无穷多个随机变量的集合。记为:32/1262022/10/22另一方面,再来考察某33/1262022/10/27

符号X(t,ξ)(或X(t))的含义(1)ξ

固定时(2)t

固定时(3)ξ,t都固定时表示一个样本函数,是一个确定的时间函数,是随机实验的某次结果表示一个随机变量表示一个确定的数值(R.S.一个状态)(4)

t和ξ都变化,构成了随机过程(或信号)的完整概念。

33/1262022/10/22符号X(t,ξ)34/1262022/10/272.常见随机信号举例(1)贝努力随机过程(随机信号)BernoulliRandomSignal特点:随机实验在t=n(n=0,1,2,…)离散时刻观察事件B出现与否,且34/1262022/10/222.常见随机信号举例(1)35/1262022/10/27现用一随机函数表示该随机实验结果:X(n)在各个不同时刻的R.V.之间是独立的,故又称为独立二进制随机数据序列0123456781101234567835/1262022/10/22现用一随机函数表示该随机实验36/1262022/10/27(2)二元传输信号表示(0,1)代码序列的电脉冲序列称为二元传输信号0T2T3T4T5T6T7T1101100110110100T时隙0T2T3T4T5T6T7T36/1262022/10/22(2)二元传输信号表示(37/1262022/10/27(3)随机相位正弦波37/1262022/10/22(3)随机相位正弦波38/1262022/10/27(4)随机振幅正弦波任一时刻

t1:38/1262022/10/22(4)随机振幅正弦波任一时刻39/1262022/10/272.2.2基本特性

1.概率分布与密度函数

一阶(维)(概率)分布函数与密度函数研究R.S.在任一时刻t的统计特性。是x的函数,也是t的函数39/1262022/10/222.2.2基本特性140/1262022/10/27随机过程一维分布的性质:40/1262022/10/22随机过程一维分布的性质:41/1262022/10/27研究R.S.在任意两个时刻的统计特性。

二阶(维)

(概率)分布函数与密度函数且41/1262022/10/22研究R.S.在任意两个时刻的42/1262022/10/27

n阶(维)

(概率)分布与密度函数,研究R.S.在任意n个时刻的统计特性。42/1262022/10/22n阶(维)(概率)分43/1262022/10/272.基本数字特征

均值函数是R.S.X(t)在任一时刻的随机变量的均值,即是一个确定的时间函数,是RS各样本围绕波动的中心。信号的直流分量43/1262022/10/222.基本数字特征均值函44/1262022/10/27

方差(函数)是R.S.X(t)在任一时刻的随机变量的方差,即

标准差函数信号的交流功率信号的总功率信号的直流功率44/1262022/10/22方差(函数)是R.S.X(45/1262022/10/27

自相关函数是随机信号在任意两个时刻的随机变量的相关矩自相关函数中含有均值和方差的成分45/1262022/10/22自相关函数是随机信号在任意46/1262022/10/27具有相同均值和方差的两个随机信号t1t2t1t2(1)自相关函数描述随机信号的R.V.间的线性关联程度,进而说明随机信号起伏的快慢。(2)自相关函数包含均值和方差对相关程度的影响说明:46/1262022/10/22具有相同均值和方差的两个随机47/1262022/10/27

自协方差函数

自相关系数(函数),一般:单纯地描述了随机信号的起伏快慢。任意两个时刻的随机变量的协方差矩47/1262022/10/22自协方差函数自相关系数48/1262022/10/27例:设随机振幅余弦波X(t)=Acos0t,其中0为常数,A

为标准正态分布的随机变量。求:信号的均值、方差和相关函数和一维概率密度。解:t的函数48/1262022/10/22例:设随机振幅余弦波X(t49/1262022/10/27t1、t2的函数或49/1262022/10/22t1、t2的函数或50/1262022/10/27一维概率密度t的函数50/1262022/10/22一维概率密度t的函数51/1262022/10/272.2.3平稳随机过程

平稳性(Stationarity):

平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻t(或观察时刻组t1,t2,…,tn)平移而变化的性质,相应的随机信号被称为平稳随机信号。1.严格平稳与广义平稳过程51/1262022/10/222.2.3平稳随机过程平52/1262022/10/27

定义3.1若对于任意的u

,随机过程{X(t),t∈T}

的任意n

维概率分布函数满足则称X(t)是严格平稳随机信号,记作SSSR.S(1)

严平稳随机过程SSSR.S.上式等同于:52/1262022/10/22定义3.1若对于任53/1262022/10/27b.时刻组平移时,时刻组间的相对位置不变,即任意n维概率分布函数与时刻组的起始位置无关,而只与其相对位置有关。注意:a.53/1262022/10/22b.时刻组平移时,时刻组间54/1262022/10/27如:一阶平稳严格平稳随机信号由同分布随机变量组成与t无关54/1262022/10/22如:一阶平稳严格平稳随机信号55/1262022/10/27均值方差为常数55/1262022/10/22均值方差为常数56/1262022/10/2756/1262022/10/2257/1262022/10/27(2)

广义平稳随机过程WSSR.S.定义3.2若R.S.

的均值和相关函数存在,并且满足:①均值为常数;即②相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关,只与相对时间差有关,即 则称X(t)是广义平稳随机信号

,记作WSSR.S.57/1262022/10/22(2)广义平稳随机过程W58/1262022/10/27(3)严格平稳性与广义平稳性之间关系:定理如果某高斯信号是广义平稳信号,则该信号也是严格平稳信号。说明:实际中,如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变,那么通常可以认为此信号是平稳的。58/1262022/10/22(3)严格平稳性与广义平稳59/1262022/10/27均值为常数例:判断随机相位正弦信号是否广义平稳?式中:解:59/1262022/10/22均值为常数例:判断随机相位正60/1262022/10/27RX(t1,t2)只与其相对位置τ有关故,R.S.X(t)

WSS60/1262022/10/22RX(t1,t2)只与其相对61/1262022/10/27例:

随机信号X(t)=Ay(t),其中A为高斯随机变量,y(t)为确定的时间函数,判断X(t)是否为SSS.R.S.解:与t有关故X(t)非WSS.R.S.与t有关,非SSS.R.S.61/1262022/10/22例:

随机信号X(t)=Ay62/1262022/10/272.平稳信号相关函数的性质(1)相关函数是实偶函数(2)相关函数在原点处非负,并达到最大(3)周期信号

,

也是周期的;(4)对于非周期信号,一般。当相关函数为周期信号或常数时上式等式成立62/1262022/10/222.平稳信号相关函数的性质63/1262022/10/27(5)相关时间一般,随τ

增大,X(t)和X(t+τ)的相关性减弱。工程上,近似认为只要ρX(τ)

小于某值,则这两个时刻的RV就近似不相关了。这时,间隔时间τ

称为相关时间τc

。同相关系数一样,是相关程度的度量。

63/1262022/10/22(5)相关时间一般,随τ增64/1262022/10/273.各态历经性过程例:热噪声电压问题:大多数的随机信号要用实测样本表达;并由实测样本数据去探测信号的统计特性。结果:测量工作量巨大64/1262022/10/223.各态历经性过程例:热65/1262022/10/27对于某固定时刻t

,统计平均(集总平均)为:样本的时间平均:65/1262022/10/22对于某固定时刻t,统计平66/1262022/10/27各态历经的含义:当观察时间足够长时,如果每个样本都经历了随机过程的各种状态,从一个样本上就可以提取随机过程的全部统计特性。若用一条样本的时间平均代替统计平均,则可大大地减少测量工作量和测量难度。理论基础是信号的各态历经性理论66/1262022/10/22各态历经的含义:当观察时间足67/1262022/10/27定义:设X(t)

是均值平稳的随机过程,若则称X(t)

具有均值各态历经性。(1)均值各态历经随机信号样本时间平均:67/1262022/10/22定义:设X(t)是均值平68/1262022/10/27可能均值各态历经例:是R.V.各个样本的时间平均大致相同且等于统计平均非均值各态历经68/1262022/10/22可能均值各态历经例:是R.V69/1262022/10/27时间相关函数-TTtτ(2)相关各态历经定义:对广义平稳随机过程X(t),若则称X(t)

具有相关各态历经性。69/1262022/10/22时间相关函数-TTtτ(2)(3)广义各态历经

定义:若随机信号同时满足均值和自相关各态历经,则称该信号为广义各态历经随机信号。各态历经时,时间平均赋予了统计平均工程意义X(t)的直流分量X(t)的总平均功率(3)广义各态历经定义:若随机信号71/1262022/10/272.2.4两个信号的联合特性1.联合概率分布、密度函数对于R.S.X(t)与Y(t):71/1262022/10/222.2.4两个信号的联合72/1262022/10/274.互相关系数:3.互协方差函数:2.互相关函数:72/1262022/10/224.互相关系数:3.互协方差73/1262022/10/27

两个R.S.X(t)、Y(t)的正交、线性无关与统计独立

若对于任意时刻t1和t2,恒有RXY(t1,t2)=0,则称X(t)和Y(t)彼此正交。若对于任意时刻t1和t2,恒有CXY(t1,t2)=0,则称X(t)和Y(t)彼此线性无关,此时有

若任取,恒有则称X(t)和Y(t)彼此独立。73/1262022/10/22两个R.S.X(t)、Y74/1262022/10/27统计独立线性无关正交X(t),Y(t)任一均值函数为0正态分布除外统计独立、正交、线性无关的关系:74/1262022/10/22统计独立线性无关正交X(t)75/1262022/10/27

2.2.5功率谱密度

功率谱密度与维纳辛钦定理(1)随机信号的样本功率及样本功率谱密度

说明:与确定信号不同的是,随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱,而非信号谱。样本截断函数75/1262022/10/222.2.5功率谱密76/1262022/10/27(2)随机信号的平均功率及平均功率谱密度76/1262022/10/22(2)随机信号的平均功率及77/1262022/10/27功率谱密度(PSD):功率谱描述了的平均功率按频率分布的情况简称功率谱功率谱密度是偶函数。维纳—辛钦定理:对于平稳随机信号

随机信号的功率:

77/1262022/10/22功率谱密度(PSD):功率谱78/1262022/10/27例2.6正弦信号,其中A是常量,,求它的功率谱。解:

它是平稳的功率谱是确知函数,明确有效地说明随机信号中各频率成份的含量。78/1262022/10/22例2.6正弦信号79/1262022/10/272.双边功率谱密度与单边功率谱密度双边功率谱密度单边功率谱密度物理功率谱密度79/1262022/10/222.双边功率谱密度与单边功80/1262022/10/272.3高斯分布与高斯信号80/1262022/10/222.3高斯分布与高斯信号81/1262022/10/272.3.1高斯R.V.的分布许多随机信号由大量相互独立的随机因素综合影响而形成,其中每一个别因素的影响是微小的,这类随机信号大都近似地服从高斯分布。一维高斯分布,81/1262022/10/222.3.1高斯R.V.的82/1262022/10/27二维高斯分布,若X、Y

互不相关,则,有:

所以对于高斯R.V.X,Y

,互不相关等价于统计独立82/1262022/10/22二维高斯分布,若X、Y互83/1262022/10/27性质1若是维高斯随机变量,则:

高斯随机变量的性质(1)经过线性变换后仍是高斯随机变量。(2)各变量相互独立的充要条件是两两互不相关,即线性无关统计独立83/1262022/10/22性质1若84/1262022/10/272.3.3高斯随机信号高斯信号X(t)

:任意n个时刻的随机变量具有联合高斯分布。若的均值为,相关函数为,则方差为于是任意时刻t,R.V.84/1262022/10/222.3.3高斯随机信号85/1262022/10/27考虑其任意2个时刻,二维R.V.对于平稳信号,85/1262022/10/22考虑其任意2个时刻86/1262022/10/27(1)高斯信号经过线性系统后仍然是高斯信号;(2)高斯信号广义平稳和严格平稳等价性质:86/1262022/10/22(1)高斯信号经过线性系统后87/1262022/10/272.4信号通过线性

时不变系统87/1262022/10/222.4信号通过线性

88/1262022/10/27传输函数功率谱:2.4.1确知信号通过系统给定冲激响应为h(t)的LTI系统,输入信号x(t),输出:频谱: 频响函数——系统功率谱传输函数88/1262022/10/22传输函数功率谱:2.4.189/1262022/10/27线性系统H(f)其中:So:2.4.2无失真传输条件线性系统无失真传输的条件

幅频响应是平坦的

相频响应是频率的线性函数

89/1262022/10/22线性系统H(f)其中:90/1262022/10/27系统群时延

无失真传输要求:(常数)x(t)的绝对带宽k090/1262022/10/22系统群时延无失真传输要求:91/1262022/10/27如果X(t)是高斯过程,则Y(t)也是高斯过程。平稳信号X(t)输入系统,系统输出X(t)与Y(t)是联合平稳的。1.输出信号的概率特性2.4.3平稳随机信号通过系统2.输出信号的均值、相关函数及功率谱系统功率谱传输函数91/1262022/10/22如果X(t)是高斯过程,则Y92/1262022/10/272.5

白噪声

92/1262022/10/222.5白噪声93/1262022/10/272.5.1白噪声平稳白噪声N(t)——或白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”:1)无限带宽的理想随机信号,2)功率(即方差)为无穷大,3)而不同时刻上彼此不相关,正交

零均值93/1262022/10/222.5.1白噪声平稳白噪94/1262022/10/272.5.2低通与带通白噪声若h(t)

是单位增益的理想低通滤波器,带宽为BHz,则白噪声通过该滤波器的输出噪声为n(t),被称为带宽为BHz的低通白噪声(低频带限白噪声)。1.低通白噪声94/1262022/10/222.5.2低通与带通白噪声95/1262022/10/27若h(t)

是单位增益的理想带通滤波器,带宽为BHz,则白噪声通过该滤波器的输出噪声为n(t),被称为带宽为BHz的带通白噪声(高频带限白噪声)

。2.带通白噪声95/1262022/10/22若h(t)是单位增益的理96/1262022/10/27热噪声——电阻等固态器件产生的噪声,具有平稳性并呈高斯分布。功率谱值(带宽1000GHz):例2.9在27oC使用带宽为1MHz的电压表测量R=1MΩ电阻器两端的开路噪声电压。解:

2.5.3高斯白噪声与热噪声高斯白噪声——服从高斯分布的白噪声。96/1262022/10/22热噪声——电阻等固态器件产生97/1262022/10/27白噪声通过系统的输出功率谱与功率:2.5.4系统的等效噪声带宽实际应用中,对输出噪声功率感兴趣,而系统功率谱传递函数形状各异,计算极不方便。为简化计算,利用功率等效原则,把白噪声经线性系统后的非均匀谱等效为在一定频带内的均匀谱。

f97/1262022/10/22白噪声通过系统98/1262022/10/27b.带通系统:a.低通系统

实际系统的等效噪声带宽低通系统:带通系统:为中心频率系统输出噪声功率:98/1262022/10/22b.带通系统:a.低通系统99/1262022/10/272.5

带通信号99/1262022/10/222.5带通信号100/1262022/10/272.5.1希尔伯特变换与解析信号

设为实信号,其希尔伯特变换记为或

Hilbert

变换器或Hilbert

滤波器:(Hilbert)1.希尔伯特变换100/1262022/10/222.5.1希尔伯特变101/1262022/10/27Hilbert变换器是一个相移-90°度的宽带移相器,幅度不变。101/1262022/10/22Hilbert变换器是一个102/1262022/10/27基本性质如下:

(1)实信号连续两次希尔伯特变换,信号反相。(2)若若(3)设低频带限信号的带宽为,则当时有:102/1262022/10/22基本性质如下:(1)实信103/1262022/10/272.解析信号定义实信号与构造的复信号:称为的解析信号(Analyticsignal)由解析信号求出原信号:

解析信号本质上是原信号的正频率部分,是实信号的一种“简练”形式。103/1262022/10/222.解析信号定义104/1262022/10/27解析信号的频谱为:功率谱为:104/1262022/10/22解析信号的频谱为:功率谱为105/1262022/10/27窄带信号:的带通信号。----通信载波频率带通信号(Bandpasssignal)——只在某个有限的区间上非零,带宽2.5.2带通信号及其复包络f105/1262022/10/22窄带信号:106/1262022/10/27对于带通信号:一般是复信号,称作复包络fff复包络表达式106/1262022/10/22对于带通信号:一般是复信号107/1262022/10/27与都是低频带限信号107/1262022/10/22与都是低频带限信号108/1262022/10/27正交表达式带通信号的三种表达式:复包络表达式实包络相位表达式的复包络的实包络的相角的低频同相分量的低频正交分量108/1262022/10/22正交表达式带通信号的三种表109/1262022/10/27带通信号本质含两个要素:复包络与载频带通信号:一个准正弦信号典型波形:带通信号主体上是正弦波,包络缓慢波动,相位缓慢“抖动”。标准正弦信号109/1262022/10/22带通信号本质含两个要素:复110/1262022/10/27定理带通信号平稳的充要条件是与满足:也是平稳及联合平稳的定理同相分量与正交分量的功率谱110/1262022/10/22定理带通信号111/1262022/10/27111/1262022/10/22112/1262022/10/27

带通高斯信号与噪声定义:若一个带通随机信号X(t),在任意时刻组ti(i=1,2,…,n)

的随机向量(X(ti),(i=1,2,…,n))

是联合高斯分布的,则该带通随机信号被称为带通高斯随机信号。具有带通信号和高斯信号的性质性质若R.S.X(t)是平稳、带通高斯随机信号,则它的两个分量随机信号xc(t)、xs(t)

也是平稳及联合平稳的高斯随机信号,且有:112/1262022/10/22带通高斯信号与噪声定义113/1262022/10/27

调制

是将源信息加载到载频为fc

的带通信号的幅度或相位上的过程。2.5.3频谱搬移幅度调制角度调制都是的函数调制器调制信号已调信号未调载波113/1262022/10/22调制是将源114/1262022/10/27

带通信号的谱其中:1.

若带通信号是能量型信号,则的频谱为:其中:---thePSDofxL(t)2.

若带通信号是一个功率型信号,则的PSD为114/1262022/10/22带通信号的谱其中:1115/1262022/10/27ffffff证明:115/1262022/10/22ffffff证明:116/1262022/10/27

功率计算带通信号x(t)

的归一化平均功率为:其中:“归一化”---指的是负载为1Ω证明:116/1262022/10/22功率计算带通信号2022/10/27117/126通信原理第2章基础知识2022/10/221/126通信原理第2章基础知识118/1262022/10/27本章节复习、梳理与扩充相关基础知识。主要内容有:掌握:信号的基本参数、频谱与功率谱、带宽、高斯白噪声、信号无失真传输条件,带通信号的基本特点、带通信号的复包络表示与带通噪声的同相与正交分量。2/1262022/10/22本章节复习、梳119/1262022/10/27

电子通信系统通过某种电子或电气物理量来传输信息,如电流、电压、电磁波等,其数学模型是时间的函数,统称为信号。2.1确知信号2.2随机信号2.3高斯信号与高斯白噪声2.4信号通过线性时不变系统2.5带通信号3/1262022/10/22120/1262022/10/272.1.1信号及其基本参数信号——某个随时间变化的电子或电气物理量,如v(t)或i(t),也常常称为波形。实际物理波形的特点:1)实的、连续的、峰值有限的2)存在于有限的时间段内3)频谱主要集中在某个频带中2.1确知信号4/1262022/10/222.1.1信号及其基本参数121/1262022/10/27时间平均运算符1.

周期信号:2.

直流分量:周期为T0的周期信号v(t),5/1262022/10/22时间平均运算符1.周期信号122/1262022/10/273.信号的功率“归一化功率”,令(欧姆),

的归一化平均功率:的归一化能量:信号有两种类型:(1)功率信号:为有限值,而为无穷大;(2)能量信号:为有限值,而6/1262022/10/223.信号的功率“归一化功率”123/1262022/10/274.

均方根值:幅度的一种度量,例如:(1)直流,,则(2)正弦波,,则基于计算功率:7/1262022/10/224.均方根值:幅度的一种度量124/1262022/10/275.分贝:采用10为底的对数度量功率的相对比值(1)功率增益:输入与负载阻值为Ri与RL,则实际增益为,8/1262022/10/225.分贝:采用10为底的对数125/1262022/10/27(2)信号与噪声的功率比(3)基于某个参考电平值来度量某绝对电平

P相对于1mw

的分贝功率电平:dBm9/1262022/10/22(2)信号与噪声的功率比(3)126/1262022/10/27

P相对于1W

的分贝功率电平:dBW

P相对于1KW

的分贝功率电平:dBK比如:10/1262022/10/22P相对于1W的分贝功率127/1262022/10/272.1.2傅里叶变换与信号的频谱密度简记为或或者,11/1262022/10/222.1.2傅里叶变换与信号128/1262022/10/27称为频谱密度。它通常是复数,

在某个频率f0

处的值不为0,表示信号含有该频率成分。反变换表示信号可以分解为许多不同频率的分量之和。常用的傅立叶变换见表2.1.212/1262022/10/22称为频谱密度。它通常是复数,129/1262022/10/27能量谱密度:能量谱密度描述了的信号能量沿频率轴的分布情况2.1.3能量谱密度与功率谱密度能量型信号13/1262022/10/22能量谱密度:能量谱密度描述了130/1262022/10/27功率谱描述了的平均功率沿频率轴的分布情况2.功率谱密度:功率型信号14/1262022/10/22功率谱描述了的平131/1262022/10/27注意:自相关函数:F15/1262022/10/22注意:自相关函数:F132/1262022/10/27基带信号或低通信号—主要能量或功率集中在零频率附近;频带信号或带通信号—主要能量或功率集中在某一非零频率附近。大量的传输信号是频带信号,比如长途与无线通信中的传输信号。信号的带宽表示信号的能量或功率的集中分布范围。系统的带宽表示系统对信号频率的选择性。2.1.4信号的频带与带宽basebandsignalbandpasssignal16/1262022/10/22基带信号或低通信号—主要能量133/1262022/10/27(1)绝对带宽(所有非零谱的分布范围)absolutebandwidth17/1262022/10/22(1)绝对带宽(所有非零谱134/1262022/10/27(2)谱零点带宽null-to-nullbandwidth18/1262022/10/22(2)谱零点带宽null-135/1262022/10/27(3)99%功率(能量)带宽

带宽内的功率占总功率的99%.PSD:Powerspectraldensityf1-f1ff2f1-f1-f2fPSDPSD带通信号基带信号energyorpowerbandwidth19/1262022/10/22(3)99%功率(能量)带136/1262022/10/27(4)等效矩形带宽当为低通信号时,便于计算信号功率,

equivalentrectangularbandwidth20/1262022/10/22(4)等效矩形带宽当137/1262022/10/27(5)3-dB带宽(半功率带宽)3dBbandwidth21/1262022/10/22(5)3-dB带宽(半功138/1262022/10/272.2

随机信号(随机过程)(RandomSignal)22/1262022/10/222.2随机信号(随机过程)139/1262022/10/27

随机变量

随机试验(RandomExperiment):对随机现象做出的观察与科学实验。E随机实验的特点:a.可重复性b.不唯一性c.不确定性

样本点(SamplePoint)

把随机实验E的每一个基本可能结果称为随机实验的样本点,记为ξ。23/1262022/10/22随机变量随机试验(Ra140/1262022/10/27

随机实验的全部样本点构成的集合,称为随机实验的样本空间,记为Ω

样本空间(SampleSpace

随机事件(Random

Event)

实验E中满足一定条件的样本点的集合称为随机事件,是Ω的子集。记为

A,B

,…每个样本点称为基本事件随机事件域

F:由样本空间的全体子集构成。

随机事件域(Random

EventField)24/1262022/10/22随机实验的全部样本点141/1262022/10/27概率事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值,称为概率(Probability)。常由相对频率(Relativefrequency)来计算,(n很大)例1.1分析掷均匀硬币问题。H---正面,T---反面。解(1)样本空间:(3)由硬币的均匀特性可得,(2)事件域:,25/1262022/10/22概率事件是随机的。赋142/1262022/10/27若定义在样本空间Ω上的单值实函数,将基本可能实验结果ξi与实数xi对应起来,有如下函数关系:

则称为随机实验E中的随机变量,简记为X。

随机变量定义X

的取值范围称为值域或状态空间

R.V.一般用大写字母X,Y,Z,

26/1262022/10/22若定义在样本空间Ω上的单值实143/1262022/10/27抛硬币的结果:抛骰子的结果:例:状态Ωξ1·ξ2·ξi·X(·)x2xix1样本空间随机变量随机变量值域…27/1262022/10/22抛硬币的结果:抛骰子的结果:144/1262022/10/27自然界中许多物理量要随时间或空间坐标变,分为确定性过程-------确知信号随机过程-------随机信号

随机信号(随机过程)28/1262022/10/22自然界中许多物理量要随时间或145/1262022/10/272.2.1概念与定义

例2.1:热噪声电压:电子器件内部微观粒子的随机骚动所引起的端电压。

由于热骚动的随机性,在相同条件下每次测量得到不同的时间函数。29/1262022/10/222.2.1概念与定义例146/1262022/10/27热噪声的变化过程不能简单地用一个(或几个)确定的时间函数来描述,但它可以用一簇无穷多个样本函数来描述。30/1262022/10/22热噪声的变化过程不能简单地用147/1262022/10/27简记为:随机过程(如热噪声电压)表示为:随机过程(如热噪声电压)定义1:是一簇无穷多个样本函数的集合。随机过程既是样本的函数,也是时间的函数31/1262022/10/22简记为:随机过程(如热噪声电148/1262022/10/27

另一方面,再来考察某一时刻ti

,噪声电压的取值:该取值是不唯一的,是一个随机变量。记为:,在不同时刻是不同的随机变量。简记为:随机过程定义2:是随机变量随时间变化的过程,或者说随机过程是一簇无穷多个随机变量的集合。记为:32/1262022/10/22另一方面,再来考察某149/1262022/10/27

符号X(t,ξ)(或X(t))的含义(1)ξ

固定时(2)t

固定时(3)ξ,t都固定时表示一个样本函数,是一个确定的时间函数,是随机实验的某次结果表示一个随机变量表示一个确定的数值(R.S.一个状态)(4)

t和ξ都变化,构成了随机过程(或信号)的完整概念。

33/1262022/10/22符号X(t,ξ)150/1262022/10/272.常见随机信号举例(1)贝努力随机过程(随机信号)BernoulliRandomSignal特点:随机实验在t=n(n=0,1,2,…)离散时刻观察事件B出现与否,且34/1262022/10/222.常见随机信号举例(1)151/1262022/10/27现用一随机函数表示该随机实验结果:X(n)在各个不同时刻的R.V.之间是独立的,故又称为独立二进制随机数据序列0123456781101234567835/1262022/10/22现用一随机函数表示该随机实验152/1262022/10/27(2)二元传输信号表示(0,1)代码序列的电脉冲序列称为二元传输信号0T2T3T4T5T6T7T1101100110110100T时隙0T2T3T4T5T6T7T36/1262022/10/22(2)二元传输信号表示(153/1262022/10/27(3)随机相位正弦波37/1262022/10/22(3)随机相位正弦波154/1262022/10/27(4)随机振幅正弦波任一时刻

t1:38/1262022/10/22(4)随机振幅正弦波任一时刻155/1262022/10/272.2.2基本特性

1.概率分布与密度函数

一阶(维)(概率)分布函数与密度函数研究R.S.在任一时刻t的统计特性。是x的函数,也是t的函数39/1262022/10/222.2.2基本特性1156/1262022/10/27随机过程一维分布的性质:40/1262022/10/22随机过程一维分布的性质:157/1262022/10/27研究R.S.在任意两个时刻的统计特性。

二阶(维)

(概率)分布函数与密度函数且41/1262022/10/22研究R.S.在任意两个时刻的158/1262022/10/27

n阶(维)

(概率)分布与密度函数,研究R.S.在任意n个时刻的统计特性。42/1262022/10/22n阶(维)(概率)分159/1262022/10/272.基本数字特征

均值函数是R.S.X(t)在任一时刻的随机变量的均值,即是一个确定的时间函数,是RS各样本围绕波动的中心。信号的直流分量43/1262022/10/222.基本数字特征均值函160/1262022/10/27

方差(函数)是R.S.X(t)在任一时刻的随机变量的方差,即

标准差函数信号的交流功率信号的总功率信号的直流功率44/1262022/10/22方差(函数)是R.S.X(161/1262022/10/27

自相关函数是随机信号在任意两个时刻的随机变量的相关矩自相关函数中含有均值和方差的成分45/1262022/10/22自相关函数是随机信号在任意162/1262022/10/27具有相同均值和方差的两个随机信号t1t2t1t2(1)自相关函数描述随机信号的R.V.间的线性关联程度,进而说明随机信号起伏的快慢。(2)自相关函数包含均值和方差对相关程度的影响说明:46/1262022/10/22具有相同均值和方差的两个随机163/1262022/10/27

自协方差函数

自相关系数(函数),一般:单纯地描述了随机信号的起伏快慢。任意两个时刻的随机变量的协方差矩47/1262022/10/22自协方差函数自相关系数164/1262022/10/27例:设随机振幅余弦波X(t)=Acos0t,其中0为常数,A

为标准正态分布的随机变量。求:信号的均值、方差和相关函数和一维概率密度。解:t的函数48/1262022/10/22例:设随机振幅余弦波X(t165/1262022/10/27t1、t2的函数或49/1262022/10/22t1、t2的函数或166/1262022/10/27一维概率密度t的函数50/1262022/10/22一维概率密度t的函数167/1262022/10/272.2.3平稳随机过程

平稳性(Stationarity):

平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻t(或观察时刻组t1,t2,…,tn)平移而变化的性质,相应的随机信号被称为平稳随机信号。1.严格平稳与广义平稳过程51/1262022/10/222.2.3平稳随机过程平168/1262022/10/27

定义3.1若对于任意的u

,随机过程{X(t),t∈T}

的任意n

维概率分布函数满足则称X(t)是严格平稳随机信号,记作SSSR.S(1)

严平稳随机过程SSSR.S.上式等同于:52/1262022/10/22定义3.1若对于任169/1262022/10/27b.时刻组平移时,时刻组间的相对位置不变,即任意n维概率分布函数与时刻组的起始位置无关,而只与其相对位置有关。注意:a.53/1262022/10/22b.时刻组平移时,时刻组间170/1262022/10/27如:一阶平稳严格平稳随机信号由同分布随机变量组成与t无关54/1262022/10/22如:一阶平稳严格平稳随机信号171/1262022/10/27均值方差为常数55/1262022/10/22均值方差为常数172/1262022/10/2756/1262022/10/22173/1262022/10/27(2)

广义平稳随机过程WSSR.S.定义3.2若R.S.

的均值和相关函数存在,并且满足:①均值为常数;即②相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关,只与相对时间差有关,即 则称X(t)是广义平稳随机信号

,记作WSSR.S.57/1262022/10/22(2)广义平稳随机过程W174/1262022/10/27(3)严格平稳性与广义平稳性之间关系:定理如果某高斯信号是广义平稳信号,则该信号也是严格平稳信号。说明:实际中,如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变,那么通常可以认为此信号是平稳的。58/1262022/10/22(3)严格平稳性与广义平稳175/1262022/10/27均值为常数例:判断随机相位正弦信号是否广义平稳?式中:解:59/1262022/10/22均值为常数例:判断随机相位正176/1262022/10/27RX(t1,t2)只与其相对位置τ有关故,R.S.X(t)

WSS60/1262022/10/22RX(t1,t2)只与其相对177/1262022/10/27例:

随机信号X(t)=Ay(t),其中A为高斯随机变量,y(t)为确定的时间函数,判断X(t)是否为SSS.R.S.解:与t有关故X(t)非WSS.R.S.与t有关,非SSS.R.S.61/1262022/10/22例:

随机信号X(t)=Ay178/1262022/10/272.平稳信号相关函数的性质(1)相关函数是实偶函数(2)相关函数在原点处非负,并达到最大(3)周期信号

,

也是周期的;(4)对于非周期信号,一般。当相关函数为周期信号或常数时上式等式成立62/1262022/10/222.平稳信号相关函数的性质179/1262022/10/27(5)相关时间一般,随τ

增大,X(t)和X(t+τ)的相关性减弱。工程上,近似认为只要ρX(τ)

小于某值,则这两个时刻的RV就近似不相关了。这时,间隔时间τ

称为相关时间τc

。同相关系数一样,是相关程度的度量。

63/1262022/10/22(5)相关时间一般,随τ增180/1262022/10/273.各态历经性过程例:热噪声电压问题:大多数的随机信号要用实测样本表达;并由实测样本数据去探测信号的统计特性。结果:测量工作量巨大64/1262022/10/223.各态历经性过程例:热181/1262022/10/27对于某固定时刻t

,统计平均(集总平均)为:样本的时间平均:65/1262022/10/22对于某固定时刻t,统计平182/1262022/10/27各态历经的含义:当观察时间足够长时,如果每个样本都经历了随机过程的各种状态,从一个样本上就可以提取随机过程的全部统计特性。若用一条样本的时间平均代替统计平均,则可大大地减少测量工作量和测量难度。理论基础是信号的各态历经性理论66/1262022/10/22各态历经的含义:当观察时间足183/1262022/10/27定义:设X(t)

是均值平稳的随机过程,若则称X(t)

具有均值各态历经性。(1)均值各态历经随机信号样本时间平均:67/1262022/10/22定义:设X(t)是均值平184/1262022/10/27可能均值各态历经例:是R.V.各个样本的时间平均大致相同且等于统计平均非均值各态历经68/1262022/10/22可能均值各态历经例:是R.V185/1262022/10/27时间相关函数-TTtτ(2)相关各态历经定义:对广义平稳随机过程X(t),若则称X(t)

具有相关各态历经性。69/1262022/10/22时间相关函数-TTtτ(2)(3)广义各态历经

定义:若随机信号同时满足均值和自相关各态历经,则称该信号为广义各态历经随机信号。各态历经时,时间平均赋予了统计平均工程意义X(t)的直流分量X(t)的总平均功率(3)广义各态历经定义:若随机信号187/1262022/10/272.2.4两个信号的联合特性1.联合概率分布、密度函数对于R.S.X(t)与Y(t):71/1262022/10/222.2.4两个信号的联合188/1262022/10/274.互相关系数:3.互协方差函数:2.互相关函数:72/1262022/10/224.互相关系数:3.互协方差189/1262022/10/27

两个R.S.X(t)、Y(t)的正交、线性无关与统计独立

若对于任意时刻t1和t2,恒有RXY(t1,t2)=0,则称X(t)和Y(t)彼此正交。若对于任意时刻t1和t2,恒有CXY(t1,t2)=0,则称X(t)和Y(t)彼此线性无关,此时有

若任取,恒有则称X(t)和Y(t)彼此独立。73/1262022/10/22两个R.S.X(t)、Y190/1262022/10/27统计独立线性无关正交X(t),Y(t)任一均值函数为0正态分布除外统计独立、正交、线性无关的关系:74/1262022/10/22统计独立线性无关正交X(t)191/1262022/10/27

2.2.5功率谱密度

功率谱密度与维纳辛钦定理(1)随机信号的样本功率及样本功率谱密度

说明:与确定信号不同的是,随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱,而非信号谱。样本截断函数75/1262022/10/222.2.5功率谱密192/1262022/10/27(2)随机信号的平均功率及平均功率谱密度76/1262022/10/

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