23 空间位置关系与证明(教师版)

第二十三讲空间位置关系与证明★★★高考在考什么【考题回放】（浙江）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（B）BC过点P有且仅有一条直线与l，m都平行BC过点P有且仅有一条直线与1，m都垂直过点p有且仅有一条直线与1，m都相交过点p有且仅有一条直线与1，m都异面（06湖南）如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（1D）A.4条B.6条1C.8条D.12条（湖北）平面a外有两条直线m和n，如果m和n在平面a内的射影分别是m'和n'，给出下列四个命题：m'丄n'nm丄n；m丄nnm'丄n；m与n'相交nm与n相交或重合;m'与n'平行nm与n平行或重合.其中不正确的命题个数是（D）A.1 B.2 C.3 D.4（湖北）关于直线m、n与平面a、0，有下列四个命题：（D）①m//a,n//0且a//0，则m//n； ②m丄a,n丄0且a丄0，则m丄n；③m丄a,n//0且a//0，则m丄n； ④m//a,n丄0且a丄0，则m//n.其中真命题的序号是：A.①、② B.③、④ C.①、④ D.②、③在正方形ABCD-A'BCD中，过对角线BD'的一个平面交AA'于E,交CC'于F,贝1」（ ）四边形BFD'E一定是平行四边形四边形BFD'E有可能是正方形四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形四边形BFD'E有可能垂直于平面BB'D以上结论正确的为①③④ 。（写出所有正确结论的编号）（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知a，0是两个相交平面,空间两条直线1，1在a上的射影是直线s，s，1，1在0上的射影是直线t，t.用s与s，t与t121212121212的位置关系，写出一个总能确定1与1是异12面直线的充分条件：—s//s，并且t与t相交（t//t，并且s与s相交） 12121212★★★高考要考什么线与线的位置关系:平行、相交、异面；线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；面与面的位置关系:平行、相交；转化思想：线线平行O线面平行O面面平行，线丄线O线丄面O面丄面；

★★★高考将考什么【范例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60°,PA二AB二BC,E是PC的中点.证明CD丄AE；证明PD丄平面ABE；求二面角A-PD-C的大小.证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA丄底面ABCD,CDu平面ABCD，故PA丄CD.•/AC丄CD,PAAAC二A,・•・CD丄平面PAC.而AEu平面PAC,・•CD丄AE.证明：由PA二AB二BC,ZABC二60°,可得AC二PA.E是PC的中点，・•・AE丄PC.由(I)知，AE丄CD，且PCACD=C，所以AE丄平面PCD.而PDu平面PCD，•:AE丄PD.•・•PA丄底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,AB丄AD,AB丄PD.又•・•ABAAE二A，综上得PD丄平面ABE.(Ill)解法一：过点A作AM丄PD，垂足为M，连结EM.贝J(H)知，AE丄平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM，则EM丄PD.因此ZAME平面PCD内的射影是EM，则EM丄PD.因此ZAME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，得ZCAD=30°.设AC=a,可得PA=a,AD=互a,PD=亘a,AE忑a.

3 3 2在Rt△ADP中,•AM丄PD,・AM・PD=PA・AD,PA・AD则AM=pd2运

a・_ a3

v''2T

a3在RtAAEM中,sinAME=AM<144解法二：由题设PA丄解法二：由题设PA丄底面ABCD,PAu平面PAD,则平面PAD丄平面ACD,交线为AD.过点C作CF丄AD垂足为F故CF丄平面PAD.过点F作FM丄PD垂足为M连结CM故CM丄PD.因此ZCMP是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得ZCAD=30°,设AC=a,可得PA=a,AD=仝辽a,PD=上21a,CF=1a,FD=上3a.3 3 2 6FMFD•・•△FMD-△PAD,A竺=匕.PAPD曰是，FMFD・PA曰是，FMFD・PAPD訂.••a=6_12Ta3141CF 2a l在Rt△CMF中，tanCMF二 =、门.FM<7a14所以二面角A-PD—C的大小是arctan「7.所以二面角A-所以二面角A-PD-C的大小是arcsin变式：如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱1EF/丄一BC._2（1） 证明FO//平面CDE；（2） 设BC_\3CD，证明EO丄平面CDF.证明：（I）取CD中点M,连结OM.在矩形ABCD中，OMH-BC，又EF//1BC，则EF//OM，22连纟结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.二FO//EM又FO乞平面CDE，EMu平面CDE， FO〃平面CDE（II）证明：连结FM,由（I）和已知条件，在等边ACDE中,CM_DM,EM丄CD且EM_上3CD_1BC_EF.22因此平行四边形EFOM为菱形，从而E0丄FM而FMGCD=M,.•.CD丄平面EOM，从而CD丄E0.而FMnCD_M，所以EO丄平面CDF.【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【范例2】如图，在六面体ABCD-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方1111形，四边形ABCD是边长为1的正方形，DD丄平面11111ABCD，DD丄平面ABCD，DD_2.111111（I） 求证：AC与AC共面，BD与BD共面.1111（II） 求证：平面AACC丄平面BBDD；1111（III） 求二面角A-BB-C的大小（用反三角函数值表示）.1证明：以D为原点，以DADC，DD所在直线分别为x轴，1则有A（2，0，0），B（1则有A（2，0，0），B（1，1，2），1B（2，2，0），C（0，2，0），A（1，0，2），1C（0，1，2），D（0，0，2）11（I）证明:

・AC=(—110)，AC=(—2，2，0)，DB=(110)，DB=(2，2，0).1111・AC=2AC，DB=2DB.ii ii > ► > ►・•・AC与AC平行，DB与DB平行,1111于是AC与AC共面，BD与BD共面.1111(II)证明：DD・AC=(0,0,2)・(—2,2,0)=0,1DB-AC=(2,2,0)・(—2,2,0)二0, ► ► ► ►・DD丄AC，DB丄AC.iDDi与DB是平面BiBDDi内的两条相交直线.・•・AC丄平面BBDD.11又平面AiACCi过Ac.・•・平面AiA®丄平面BiBDDi.(III)解：AA=(―10,2)BB=(—1,—12),CC=(0,—1,2).111设n=(x1,y1,zi)为平面AiABB1的法向量,n・AA=—x+2z=0,n・BB=—x—y+2z=0.1111111于是y=0,取z=1,则x=2,n=(2,0,1).111设m=(x2,y2,z2)为平面B1BCC1的法向量,m・BB=—x—y+2z=0,m・CC=—y+2z=0.1222122于是x=0,取z=1,则y=2,m=(02,1).222cosm,n\=cosm,n\=m*n=151••二面角1••二面角A—BB—C的大小为n—arccos—.15解法2(综合法)：(I)证明：・・・D1D丄平面AiB1C1D1,D1D丄平面abcd.・•・DD丄DA,DD丄DC，平面ABCD〃平面ABCD.111111于是CD〃CD,DA〃DA.1111设E,F分别为DA,DC的中点，连结EF,AE,CF,11有AE〃DD,CF〃DD,DE二1,DF二1.1111・•・AE〃CF,11于是AC〃EF.11由DE=DF=1，得EF〃AC,故AC〃AC,AC与AC共面.1111过点Bi作BiO丄平面ABCD于点o,则BO/AE,BO丝CF，连结OE,OF,1111于是OE才A,OF丝BC,・OE二OF.1111BA丄AD,・OE丄AD.1111•••BC丄CD,・OF丄CD.1111所以点O在BD上，故DB与DB共面.11(II)证明：TDD丄平面ABCD,・DD丄AC,11又BD丄AC(正方形的对角线互相垂直)DD与BD是平面BBDD内的两条相交直线，111・AC丄平面BBDD.11乂平面AACC过AC,•:平面AACC丄平面BBDD.111111(III)解：：•直线DB是直线BB在平面ABCD上的射影，AC丄DB,1根据三垂线定理有AC丄B1B过点A在平面ABB"内作AM丄B1B于M，连结MC,MO,则B1B丄平面AMC

于是BB丄MC,BB丄MO,11所以，ZAMC是二面角A-¥-C的一个平面角.根据勾股定理，有AA=J5 CC=45 BB=\；6.根据勾股定理，111•.・OM丄BB,1有OM=晋$=，BM=1I,AM=10•.・OM丄BB,1有OM=晋$=，BM=1I,AM=10cosZAMC=AM2+CM2一AC2=-1,ZAMC=n-arccos-,2AM・CM 5 51二面角A-BB-C的大小为n一arccos_.15变式如图，已知ABCD-AiBiCiDi是棱长为3的正方体,点E在AA上，点F在CC上，且AE=FC=1.1111)求证：E，B，F，D四点共面；(4分)1(2)若点G在BC上，BG=—，点M在BB上,31GM丄BF，垂足为H，求证：EM丄平面BCCB；(4分)11(3)用0表示截面EBFD和侧面BCCB所成的锐二面角的大小，求tan9.111证明：(1)建立如图所示的坐标系，则BE二(3,01),BF=(0,3,2), ►—►► >—>>所以BD=BE+BF，故BD,BE,BF共面.11又它们有公共点B，所以E,B,f，Di四点共面.(2)如图，设M(0,0,z)，则GM=0,--,zk3丿—> >—> 2而BF=(0,3,2)，由题设得GMDBF=一§03+z卫=0,因为M(0,01),E(3,0,1)，有ME=(3,,0),又BB=(0,03),BC二(0,3,0)，所以MEbBB^0,11ME0BC=0，从而ME丄BB,ME丄BC.故ME丄平面BCCiBi.(3)设向量BP—(x,y,3)丄截面EBFD，于是BP丄BE,BP丄BF.1而BE二(3,o,,BF二(而BE二(3,o,,BF二(0,3,2),得BPCBE—3c+3—0,BPDBF—3y+6—0,解得x——1,y——2,所以BP—(—1，—2,).又BA—(3,0,0)丄平面BCCB,11于是cos9—|BPdsa|BP所以又BA—(3,0,0)丄平面BCCB,11于是cos9—|BPdsa|BP故tan9—J13.【范例3】如图,在长方体Aq中,AD=AAi=1,AB=2，点E【范例3】如图,在长方体Aq中,AD=AAi=1,AB=2，点E在棱AB上移动.1）证明：DE丄AD； 1 1（2） 当E为AB的中点时，求点E到面ACDi的距离；-（3） AE等于何值时，二面角）一EC—D的大小为一.14解析：法1TAE丄面AADD,AD丄AD,Illi、、 ，- l设点E到面ACD的距离为乩在厶ACD中，AC=CD=p5,AD*2,3 1 1=_,而S —•AE•BC=_.2 aace 2 21 1 3 1-DD=-S -h,:.-x1—3xh,:.h=—13aAD1C 2 2 3过D作DH丄CE于H,连DH、DE,则DH丄CE,.••ZDHD]为二面角Di—EC—D的平面角【设AE=x则BE=2－x:.AD丄DE11CC1故SAADp:.VD1—AEC1-1•、；辽-2-1S3AAEC在RtADDH中八•ZDHD=-，.:DH=1.--4•在RtAADE中,DE=x1+x2,:.在RtADHE中,EH=x,CC1法2：1），D1（0，（1）（2）x,法2：1），D1（0，（1）（2）x,ADEBC1D1在RtADHC中CH—<3,在RtACBE中CE—Yx2—4x+5.x+\/3—\.‘x2—4x+5x—2—\；3.兀AE—2—、；3时,二面角D—EC—D的大小为一.1 4以D为坐标原点，直线)A、DC、DDi分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设E=x,则A(1,0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),1C(02,0).因为DA_,DE—(1,0,1),(1,x,—1)—0,所以DA丄DE.1111因为E为AB的中点，则E(1,1,0),从而DE—(1,1,—1),AC—(—1,2,0),AD—(—1,0,1),1_1设平面ACD]的法向量为n—(a,b,c),n•AC—0, 「—a+2b—0 fa—2b 也即f c，得f ，n•AD—0, [—a+c—0 [a—c1

3从而n=（2丄2）,所以点E到平面ADC的距离为h二岀』n12*1-2131 InI(3)设平面D1EC的法向量n=(a,b,c),.•・CE=(1,x—2,0),DC=(0,2,—1),DD

「 ；1n•DC=0, 「2b—c=01nsn•CE=0, 〔a+b(x—2)=0.- 兀・•・n=(2-皿).依题意cos4=(0,0,1),令b=1,In-DDI1-= 1—=nI•丨DDI丄x=2—、;3.2.•・x=2+“3（不合，舍去），1.*.