《医药数理统计方法》中药专业

测得10名接触某种病毒的工人的白细胞(10ABC+ABC+ABCABCABC+ABC+ABCABC+AbC+ABC+ABC )7.1,6.5,7.4,6.35,6.8,7.25,6.6,7.8,6.0,5.95计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。求出该组数据对应的标准化值;计算其偏度。解四X=7.1+6.5求出该组数据对应的标准化值;计算其偏度。解四X=7.1+6.5+…+5.95=67.75i=1乃=10=7.12+6.52+…+5.952=462.35i=1样x=1YX—ni—1方本67.75—6775 6.77510S2- —(^%2-nx2)n i-11=9(462.35-10X6.7752)—0.371标准误S_=兰—竺09—0.193x、：n v40变 异 系数S 0.609CV=一x100%^―—x100%=8.99%；IXI 6.775(2)对应的标准化值公式为_x-x_x-6.775Ui-二 '0.609对应的标准化值为0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355；nZ(%-X)3

(3)-1)(n-2)S3F4标准差S—尽=据急71g.609(7)(7) ___ (8)ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC或A+B+C或Q-ABC(5)ABC+ABC+ABC+ABC(6)ABC或。一(A+B+C)或A+B+CABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC或。一ABC或ABC用事件A、B、C表小下列各事件：A出现，但B、C不出现；A、B出现，但C不出现；三个都出现；三个中至少有一个出现；解：(1)ABC(2)ABC(3)ABC( 4 )三个中至少有两个出现；三个都不出现；只有一个出现；不多于一个出现；不多于两个出现。7.某大学学生中近视眼学生占22%，色盲学生占2%,其中既是近视眼又是色盲的学生占1%。现从该校学生中随机抽查一人，试求：(1)被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；(2)被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。解：设 A=｛被抽查者是近视眼｝，8=｛被抽查者是色盲｝;由题意知，尸0)=0.22,P(B)=0.02,P(AB)=0.01，贝U(1)利用加法公式，所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.22+0.02—0.01=0.23；(2)所求概率为P(AB)=P(A+B)=1—P(A+B)=1—0.23=0.77。注意：上述计算利用了德•摩根对偶律、对立事件公式和(1)的结果。12.某种动物活到12岁的概率为0.8,活到20岁的概率为0.4，问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？解：设A=｛该动物活到12岁｝，B=｛该动物活到20岁｝;由题意知P(A)=0.8，P(B)=0.4显然该动物“活到20岁”一定要先“活到12岁”，即有BcA，且AB=B，则所求概率是条件概率P(BIA)P(BIA)=P(AB)P(B) 0.4P(A)P(A) 0.8=0.5。18.在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占65%、35%，且甲、乙两厂的该药品合格率分别为90%、80%，现用A＜、入2分别表示甲、乙两厂的药品，B表示合格品，试求：P(AJ、P(A2)、P(BAJ、P(BIA2)、P(A^B)和口P(B)。解：由题中已知条件可得P(A1)=0.65，P(A2)=0.35,P(BIA1)=0.9，P(BIA2)=0.8，P(A1B)=P(A])P(BA])=0.65x0.9=0.585,P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)=0.65x0.9+0.35x0.8=0.865。5.设随机变量X的分布列为X-2Q2P040303试求：E(X),E(X2),E(3X+5),Q(X),Q(3X+5)。解：E(X)=£xp=-2x0.4+0x0.3+2x0.3=-0.2；k=1E(X2)=£X2p=(-2)2x0.4+02x0.3+22x0.3=2.8；k=1E(3X+5)=3E(X)+5=3x(-0.2)+5=4.4；D(X)=E(X2)—[E(X)]2=2.8—(-0.2)2=2.8—0.04=2.76；D(3X+5)=9D(X)=9x2.76=24.84。

7.设随机变量X的概率分布P(X=k)=a,k=1,2,…，N；试确定常数a,共计算E(X)及D(X)。

N解：因 —故a=1o封故a=1o封aaa*a4'p=+—++=N=a=1,k=1乙2pkkk=1A1 1»=L^k2 = 乙k2NN

k1 k11N(N+1)(2N+1)N6艺xpkkk1E(X)=艺xpkkk1E(X)=£k1=1£k=1N(N+1)=N+1

k1N~Nk1—~N2T~D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(N+1)(2N+1)N+1、-( )26 2N2-112E(X2)=9.设随机变量X的概率密度为ICx,0<xE(X2)=9.设随机变量X的概率密度为ICx,0<x<1E=k，其他试求：(1)常数C；(2)X落在(0.3,0.7)内的概率;3)分布函数尸(x)；(4)E(X)。解：(2)(3)(1)j*8f(x)dx=J1Cxdx=C-[—]1=—=1,故C=2。-s 0 20 2P{0.3<X<0.7}=J0-7f(x)dx=J0.72xdx=[x2]0.7=0.72-f.3 /0.3 O’xf(x)dx=Jx0dx=0；0.32=0.4当0忍x<1时，F(x)=jxf(x)dx=j00dx+jx2xdx=[x2]x=x2；『-s 『-sf0f0当x>1时，F(x)=Jxf(x)dx=J00dx+J12xdx+Jx0dx=[x2]1=1。-8 -8 0 1 0即X的分布函数为'0, x<0F(x)=<x2, 0<x<11, x>1-8xE(X)=j+8xf(x)dx=J1x-2xdx=[2-兰]1 2-8 0 3015.某地胃癌的发病率为0.01%，现普查5万人，试求(1)没有胃癌患者的概率；(2)胃癌

患者少于5人的概率。解：设X为胃癌患者人数，则X服从二项分布8(50000，0.0001)o因为n=50000很大，而p=0.0001非常小，X=np=50000x0.0001=5，故可利用泊松近似公式进行计算。(1)所求概率：P{X=0}=0.999950000上e项=e-5=0.006740!(2)所求概率为：P{X<5}=1—P{XN5}=1—Y°°Ck(0.0001)k(0.9999)50000-k50000k=5r1-Y00兰e-5=1—0.5595=0.4405。k!k=530.已知Q(X)=25,Q(Y)=36,Pxy=0.4,试求2(乂+7)和Q(X—Y)。解：因为Cov(x,Y)PXY-i-D(XD(Y)，又已知D(X)=25，D(Y)=36,pXY=0.4。、则 CovG,Y)=p§D(X"dG)=0.4J25x36=12故 D(X+Y)=D(XX+d(Y)+2Cov(X,Y)=25+36+2x12=85D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=25+36-2x12=371.总体X〜N0,。2),其中口未知，。2为已知参数，X『X2,…，Xn是从总体抽取的一组样本，则下列各式中哪些属于统计量？G)£(x-q)2； (2)]l(x-^); G)£G—x)；i=1 i=1 i=1(4)-^X2+X2++X2)(5)日2+1(X+X+X)(6)1£X2.n1 2 n 3 1 2 3 b2ii=1解：因为日是未知参数，b2为已知参数，故(1)、(3)、(4)、(6)是统计量，而(2)£n(X-r)ii=1和(5)R2+3(X1+X2+X3)均含有未知参数日，不属于统计量。2.设对总体X得到一个容量为10的样本值：4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0.3.5,4.0。试求样本均值、样本方差S2和样本标准差S。公式： 一(1)£x=4.5+2.0+(1)£x=4.5+2.0+...+4.0=36,n=10i=1£0X2=4.52+22+...+42=155.5iX〜N(r,1),i=1,2。. 1Z2 1 2 1 :E(R)=E(-X+-X)=-E(X)+-E(X)=-R+；1 3132 3 1 3 2 3 :i=1样-=1£X———Jni=1样S2=—n-11本36 =3.610本(£x2-nx2)i=1=9(155.5-10x3.62)=2.878样本标S=MS2f288=1.697。解：(1)因总体X〜N(r,1)，则人1 3 1 3 1E(R) =E(-X +-X )=-E(X )+-E(X )=- R+2 4142 4 1 4 2 411 1 1 1E(R)=E(-X+-X)=-E(X)+-E(X)=-R+

3 2-2 2 2 1 2 2 2因此，R,R,R都是r的无偏估计量。1 2 3( 2 )12 1 4 1D(R)=D(-X+-X)=-D(X)+-D(X)=-xH1 31329 19 29人1 3 1 9 1D(r)=D(-X+-X)=—D(X)+—D(X)=—2 41 42 16 1 16 2 16由于D(|!)<D(口)<D(|!),所以廿最有效。1 1 1 1 1 1 31 1 2 3D(|!)=D(—X+—X)=D(X)+D(X)=x1+x1=—3 2122 4 1 4 2 4 4 2设总体X的概率密度为~、_|(0+1)x0,0<x<1/(x)—仁10,其他其中0>—1是未知参数，X『X2,...Xn是来自该总体攵的一个样本，试分别用矩估计法和最大似然估计法求0的估计量。解：(1)求解：(1)求0的矩估计量。先求X的总体均值日=E(X)=』心xf(x)dx=j+8(0+1)x0dx=0+1一3 0由矩估计法，令0+1

目= =X,»0+2解之得0的矩估计量：_八2X-1

0= 1-X(2)求0的最大似然估计量。其似然函数L(0)=K(0+1)x6ii=1(0<x.<1,i=1,2,...,n)取对数得'lnL(0)=nln(0+1)一0lnxii=1对0求导并令其为0,得似然方程d0lnL(0)=0n1+Ulnx,=0i=1解得0的最大似然估计值0"=-1一―-—£lnxi

i=1

最大似然估计量为0"=-1-—-—

£lnXii=1正常人的脉搏平均72次/min，现医生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏(次/min)如下：54676878706667706569试问四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有无显著性差异？(a=0.05)解：根据题意，此题应为。2未知单个正态总体均值t检验，采用双侧检验。应检验假设H0:四二四0=72；H「日并0。由题中条件和计算得：n=10,四0=72,x=67.40,5=5.93则检验统计量t的值为x-R67.40-72t=——= ==-2.453S/,n 5.93/*10对于给定a=0.05和自由度n—1=9，查t分布表(附表6)，得到临界值：tO/2(n-1)=t0.025⑼=2.2622，因为ld=2.453>2.2622,尸<0.05,所以拒绝H0,接受H1，即在0.05的显著水平下，可认为四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有显著性差异。5.测定某种溶液中的水分(%)，由它的10个测定值算出如=0.452，S