《微分几何》课程大纲

微分几何课程教学大纲课程基本信息(CourseInformation)课程代码(CourseCode)MA3134/ *学时MA303 (CreditHours)64 「学分、 4(Credits)*课程名称(CourseName)(中文)微分几何(央文)ElementaryDifferentialGeometry课程性质(CourseType)专业选修A组授课对象(Audience)本科生授课语言(LanguageofInstruction)中文*开课院系(School)数学系先修课程(Prerequisite)数学分析，高等代数，解析几何，常微分方程授课教师(Instructor)杨义虎课程网址(CourseWebpage)*课程简介(Description)初等微分几何是使用微积分的方法研究3-维欧式空间中曲线与曲面的几何问题.这个课程分三个部分：第一部分是研究曲线的几何；第二部分是研究一般曲面理论;第三部分研究曲面的内在几何,即由第一基本形式决定的几何，包括平行移动，测地线，测地曲率,Gauss-Bonnet公式等.*课程简介(Description)ElementaryDifferentialGeometryisasubjectofstudyingcurvesandsurfacesin3-dimEuclideanspacebyusingthedifferentialandintegralmethods.Thiscoursehasthreeparts.Thefirstpartisoncurvestheoryin3-dimEuclideanspace;thesecondpartisongeneralsurfacestheoryin3-dimEuclideanspace;thethirdpartisonintrinsicgeometryofsurfacesin3-dimEuclideanspace,includingparalleltransport,geodesics,geodesiccurvature,Gauss-Bonnetformulae,etc..课程教学大纲(coursesyllabus)Thefirstpart(12hrs)isoncurvestheoryin3-dimEuclideanspace.Concretely,wewillteach:arclengthparameter(ofacurve),curvatureandtorsion,FrenetframeandFrenetformula,thefundamnetaltheoremofcurves.somebasicpropertiesofplanecurves.Thesecondpart(28hrs)isongeneralsurfacestheoryin3-dimEuclideanspace.Concretely,wewillteach:parametrizedrepresentationsofsurfaces,tangentplane,normalvector,thefirstfundamentalform,isometricmaps,developablesurfaces,thesecondfundamentalform,normalcurvatures,principaldirections,principalcurvatures,meancurvature,gausscurvature,fundamentalequationsofasurface,fundamentaltheorem.Thethirdpart(24hrs)isonintrinsicgeometryofsurfacesin3-dimEuclideanspac.concretely,wewillteachGuasstheorem,geodesic,exponentialmap,geodesicnormalcoordinates,paralleltranslation,connection,

Gauss-Bonnetformaulaonasimpleconnectedsurfaces.*学习目标(LearningOutcomes)基本地，纯数学有三大块，几何，分析，代数.大学本科数学系学生几何的学习始于解析几何，但解析几何的内容只提供了已十分特殊的例子。因此，该课程是大学本科数学系学生几何方面的训练的真正开始。具体地，我们希望1.培养学生如何使用微积分作为工具来研究空间曲线曲面的几何问题(A4,A5,B2,B3,B7);培养学生的几何直观空间想象能力(A4,A5);同时为将来进一步学习更高深的几何内容打下坚实的基础特别希望学生脑子里有大量曲面方面的例子(A3).*教学内容、进度安排及要求(ClassSchedule&Requirements)教学内容学时教学方式作业及要求基本要求考查方式空间曲线理论，Frenet标架，Frenet公式，曲率，挠率，曲线基本定理；习题课10+2课堂教学正则曲面,局部参数表示，第一基本形式6+2课堂教学高斯映照，第二基本形式，weigarten变换，高斯曲率，平均曲率，主曲率；习题课8+2课堂教学曲面运动方程，曲面结构(基本)方程，GAUSS定理，曲面基本定理；习题课8+2课堂教学曲面内在几何I：胁变微分，平行移动，测地线，测地曲率，LIOUVILLE式，GAUSS-BONNET公式(局部和整体)；习题课10+2课堂教学曲面内在几何II：指数映照，测地极坐标，测地土领域；习题课10+2课堂教学

*考核方式(Grading)闭卷考试*教材或参考资料(Textbooks&OtherMaterials)Textbook:JiaguiPeng&QingChen,DifferentialGeometry,PressofHigherEducation,2002.(inChinese)ReferencebooksM.P.doCarmo,DifferentialGeometryofCurvesandSurfaces,Prentice-Hall,1976.WeihuanChen,DifferentialGeometry,PressofPekingUniversity,2006.(inChinese)BuqingSu,HeshengHuet^DifferentialGeometry,PressofHigherEduca