数学归纳法-课件

2.3.1数学归纳法2.3.1数学归纳法

归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不2．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.2．数学归纳法的基本思想：那么就可以递推出对所有不小例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到这个猜想是一个与自然数相关的命题，其正确性有待证明。要证明公式（*）成立，原则上要对每一个正整数n实施证明。但是这个证明步骤是无限的，无法实施，需要另寻方法。数学归纳法可以用有限的步骤，完成这个命题的证明。其步骤如下：例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到（1）当n=1时，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*）式对n=1成立；（2）假设当n=k时，（*）式成立，即假设在此前提下，可推出而（1）当n=1时，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*由此可见在假设（*）式对n=k成立的前提下，推出（*）式对n=k+1成立。于是可以断定（*）式对一切正整数n成立.由步骤（1），可知（*）式对n=1成立；由（*）式对n=1成立及步骤（2），可知对n=1+1=2，（*）式成立；再由（*）式对n=2成立及步骤（2），可知对n=2+1=3，（*）式成立；继续上述步骤，可知（*）式对n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，…，n=(k－1)+1=k，…都成立。于是（*）式对一切正整数n成立。由此可见在假设（*）式对n=k成立的前提下，推出（*数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。（1）当n取第一个值n0时命题成立；（2）在假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，数学归纳法：那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N+都成立。证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1,等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k－1)d，那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd，这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k2.那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1]=k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.例3．用数学归纳法证明：证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即例3．用数学归纳法证明：证明：（1）当n=1时，左边=4，这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2022/10/282022/10/28Friday,October28,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202212:49:38AM11、越是没有本领的就越加自命不凡。2022/10/282022/10/282022/10/28Oct-2228-Oct-2212、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2022/10/282022/10/282022/10/28Friday,October28,202213、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。2022/10/282022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。28十月20222022/10/282022/10/282022/10/2815、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。十月222022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202216、业余生活要有意义，不要越轨。2022/10/282022/10/2828October202217、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2022/10/282022/10/282022/10/282022/10/28谢谢观赏

Youmademyday!我们，还在路上……9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2022/10/22.3.1数学归纳法2.3.1数学归纳法

归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不2．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.2．数学归纳法的基本思想：那么就可以递推出对所有不小例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到这个猜想是一个与自然数相关的命题，其正确性有待证明。要证明公式（*）成立，原则上要对每一个正整数n实施证明。但是这个证明步骤是无限的，无法实施，需要另寻方法。数学归纳法可以用有限的步骤，完成这个命题的证明。其步骤如下：例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到（1）当n=1时，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*）式对n=1成立；（2）假设当n=k时，（*）式成立，即假设在此前提下，可推出而（1）当n=1时，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*由此可见在假设（*）式对n=k成立的前提下，推出（*）式对n=k+1成立。于是可以断定（*）式对一切正整数n成立.由步骤（1），可知（*）式对n=1成立；由（*）式对n=1成立及步骤（2），可知对n=1+1=2，（*）式成立；再由（*）式对n=2成立及步骤（2），可知对n=2+1=3，（*）式成立；继续上述步骤，可知（*）式对n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，…，n=(k－1)+1=k，…都成立。于是（*）式对一切正整数n成立。由此可见在假设（*）式对n=k成立的前提下，推出（*数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。（1）当n取第一个值n0时命题成立；（2）在假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，数学归纳法：那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N+都成立。证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1,等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k－1)d，那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd，这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k2.那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1]=k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.例3．用数学归纳法证明：证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即例3．用数学归纳法证明：证明：（1）当n=1时，左边=4，这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2022/10/282022/10/28Friday,October28,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202212:49:38AM11、越是没有本领的就越加自命不凡。2022/10/282022/10/282022/10/28Oct-2228-Oct-2212、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2022/10/282022/10/282022/10/28Friday,October28,202213、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。2022/10/282022/10/282022/10/282022/10/2810/28/202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。28十月20222022/10/282022/10/282022/10