初三数学二次函数的大题

二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市)如图，抛物线yx22x3与x轴交A、B两点（A点在B点左边），直线l与抛物线交于A、C两点，此中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；A（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上能否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为极点的四边形是平行四边形？假如存在，求出全部知足条件的F点坐标；假如不存在，请说明原因．例1.解：（1）令y=0，解得x11或x23∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入yx22x3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数分析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（(x,x22x3)∵P点在E点的上方，PE=(x1)(x22x3)x2x219∴当x时，PE的最大值=24（3）存在4个这样的点F，分别是F(1,0),F(3,0),F(47，0),F(47,0)1234练习1.(河南省实验区)23．如图，对称轴为直线x7的抛物线经过点yA（6，0）和B（0，4）．27x（1）求抛物线分析式及极点坐标；2（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关B(0,4)系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF能否为F菱形？②能否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点ExOA(6,0)Ey7x2的坐标；若不存在，请说明原因．B(0,4)练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x7，可设分析式为2F7)2ya(xk．把A、B两点坐标代入上式，得2OA(6,0)xa(67)2k0,225E2解之，得a7,k.a(0)2k4.362故抛物线分析式为y2(x7)225，极点为(7,25).32626（2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标合适y2(x7)225，326∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是YOEAF的对角线，∴S2SVOAE21OAy6y4(7)225．22x的由于抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），因此，自变量取值范围是1＜x＜6．①依据题意，当S=24时，即4(x7)22524．化简，得(x7)21.2解之，得x13,x24.24故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）知足OE=AE，因此YOEAF是菱形；点E2（4，－4）不知足OE=AE，因此YOEAF不是菱形．②当OA⊥EF，且OA=EF时，YOEAF坐标只好是（3，－3）．

是正方形，此时点

E的而坐标为（

3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点

E，使YOEAF为正方形练习2（.四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A(10)，和B(5，0)的抛物线l1的极点为C(3，4)，抛物线l2与l1对于x轴对称，极点为C．（1）求抛物线l2的函数关系式；y（2）已知原点O，定点D(0，4)，PP一直对于x轴5E2上的点与1上的点4ll对称，则当点P运动到哪处时，以点D，O，P，P为极点的四边形是平行32四边形？1A（3）在l2上能否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30o1O23411的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明原因．2练习2.解：（1）由题意知点C的坐标为(3，4)．设l2的函数关系式为34C5ya(x3)24．又Q点A(10)，在抛物线ya(x3)24上，(13)2a40，解得a1．抛物线l2的函数关系式为y(x3)24（或yx26x5）．（2）QP与P一直对于x轴对称，PP与y轴平行．设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m26m5，QOD4，2m26m54，即m26m52．当m26m52时，解得m36．当m26m52时，解得m32．当点P运动到(36，2)或(36，2)或(32，2)或(32，2)时，PP∥OD，以点D，O，P，P为极点的四边形是平行四边形．（3）知足条件的点M不存在．原因以下：若存在知足条件的点M在l2上，则AMB90o，QBAM30o（或ABM30o），yBM1AB142．5CD22330o．过点M作MEAB于点E，可得BMEBAM2111EB21，EM3，OE4．OEBBM211234521A23MC

l2Bxl1l2x5l1点M的坐标为(4，3)．可是，当x4时，y426451624533．不存在这样的点M组成知足条件的直角三角形．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点挨次是A(4，0)，B(2，0)，E(0，8)．1）求抛物线C1对于原点对称的抛物线C2的分析式；2）设抛物线C1的极点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点面积为S．若点

C在点A，点

D的左边），极点为N，四边形MDNA的D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点

N

同时以每秒A与点

2个单位D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；3）当t为什么值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；4）在运动过程中，四边形MDNA可否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不可以，请说明原因．练习3.[解]（1）点A(4，0)，点B(2，0)，点E(0，8)对于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，8)．设抛物线2的分析式是C16a4bc，a，01yax2bxc(a0)，则4a2bc0，解得b6，c8．c8．因此所求抛物线的分析式是yx26x8．（2）由（1）可计算得点M(3，1)，N(31)，．过点N作NHAD，垂足为H．当运动到时刻t时，AD2OD82t，NH12t．依据中心对称的性质OAOD，OMON，因此四边形MDNA是平行四边形．因此S2．因此，四边形MDNA的面积S(82t)(12t)4t214t8．由于运动△ADNS至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t4．因此，所求关系式是S4t214t8，t的取值范围是0≤t4．（3）S4t781，（0≤t4）．44因此t7时，S有最大值81．44提示：也可用极点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，因此