金融物理学讲座之四课件

金融物理学讲座之四分形时间序列介绍（上）“命运总是会赢的。大多数神在掷骰子，而命运在下象棋……”——TerryPratchett，（InterestingTimes）分形是几何学吗?光滑与对称是西方文化追求的完美形式。为了向人们形象地描述我们的真实世界，古希腊的学者们依据单一性、对称性以及光滑的形式创造了几何学。Plato说，“真实”的世界是由这些几何形状构成的，这些形状是由称之为“真”的力或实体所创造的“真”的世界（黑格尔将这个“真”的世界称为纯粹的精神世界），而我们仅仅能够通过我们的意识而偶然感知她。从这个意义上说，Plato修正了后来由Euclid所形式化的希腊几何的缺陷，他做到了前辈们没有做到的事情：用几何学来描述我们的“尘世”世界。他所解决的问题不是在于几何学，而是在于我们自己的世界。1．分形空间分形几何是一个关于“尘世”的几何学，与Euclid几何不同，它繁荣兴旺于粗糙和非对称性。客观物体在完美和对称的形式上是不变的，可它却是无限复杂的。我们越接近地观察所谓的分形，就越能揭示更多的细节。比如我们看一棵圣诞树，它具有的网状形状在更小的范围内都是相似的，实际上圣诞树都具有相似的形状，但彼此却各不相同对这样的一棵树，欧式几何能做什么呢？首先，我们可以作出树的近似图形，并可很好描述它的对称性，但我们不能做到的是：重新给出它在细节上的自相似性。而这个自相似性实际是由随机性和不断增长的复杂性所控制的。这个所谓的“自相似性”是分形一个非常重要的特征。绝大多数自然结构，特别是生物都具有这一特征。其次，当我们使用欧式几何来描绘我们的“尘世”世界，我们所解决的是一个维数的问题。我们生活在一个三维空间，根据欧式几何基础的定义，只有固体形式是真实的三维，用数学的语言来说，一个物体必须能通过整个曲面的微分。依据这个定义，一个有洞的球，尽管它存在于一个三维空间中，就不是三维物体。有意思的是，当我们使用为了描述“真”的世界而创立的几何学时，发现现实世界如此的粗糙和不对称，这好象使得我们的“尘世”世界有些低级，但正是这样的世界产生了分形空间和分形时间，从而为我们提供了一个更加精彩美妙的奇幻世界。一般说来，我们知道松树的形状，并且能非常精确的预测或刻画松树的一般的和整体的形状。但是我们却无法准确刻画每个枝杈的细节。每一棵松树都各不相同，但它们却体现出某种整体特性。所以，这里确定性和随机性是统一在一起的。伟大的事件似乎也依赖机会。从牛顿发现微积分和重力法则到弗莱明发现盘尼西林再到达尔文提出进化理论。这些事件似乎都是偶然发生的，而这些偶然发生的事件却改变了历史。在我们的金融经济学领域，由不少于三个人——Sharpe（1964）、Lintner（1965）和Mossin（1966）独自提出和发展的资本资产定价模型，几乎在同一时间闻名于世。这暗示了这样一个事实：即这些发现终归是要发生的。历史需要资本资产定价模型，命运注定由这些人去发现。协调随机性和秩序、机遇和必然、自由意志和决定主义是一件困难的事情。事件或被当作随机的而不可预测；或被当作确定的而可预测。直到20世纪初，宇宙像钟表一样运行的观点被人们普遍接受。最终，科学家将发现主导宇宙的方程，而且能预测最终结果。在牛顿的机械论里，时间无结果。从理论上讲，时间是可以倒转的，因为牛顿的方程，无论时间往前还是往后，都运行的很好。不可逆的时间，对于这个决定论观点第一次冲击源自19世纪中叶的热动力学理论的形成。热动力学起源于由机械运动产生的热耗损的研究。最初的研究集中在能量如何转化成有用的功上面。在一个热机系统里，并非所有的能量都转化为功，一些是丢失了或者由于摩擦而耗散了。这些耗散系统的研究最终发展成包括流体力学、探究热与混合流体的流体动力学的研究，它给予我们一个时间不可逆的系统。熵的概念假设两升液体有一可移动的隔水板分开，一面是红色的液体，另一面是兰色的液体，我们使用术语“熵”作为红蓝两种液体混合程度的测度。只要隔板放在原地不动，我们就得到一个低熵；假如我们抬高隔板，红、蓝两种颜色的液体就开始混合；此时，熵的水平开始提高。只要液体继续混合，最终两种液体会充分混合，变为一种紫色的液体。第二次冲击来自于量子力学理论的形成。在这个微观分子结构仅仅能够被概率状态所描述的现实中，量子力学理论进一步削弱了决定论的观点。可是混乱依然如故，宇宙是确定的还是随机的依然是一个问题。慢慢地，大多数自然系统整体确定、局部随机的特征变得明显了。这些矛盾的状态必须共存。决定论给予我们自然法则，随机性向我们演绎了创新和多样性。一个健康的演进系统是一个不仅仅能存活于随机撞击之下，而且当必要时能吸收那些撞击以改善系统整体的系统。我们沿着这一思路假设我们从稳定结构（肺）的概念变换到像股票市场这样的动态结构，我们能够做一些有趣的推测。变换枝节到“投资起点”。股票市场由投资者组成，从小额交易者到长期投资者。每个人有按时间排列的不同投资起点。一个稳定的市场是所有参加者能相互交易，每个人面临与他人一样的风险水平，并以此来调整他们的时间范围和投资起点。假如一个日交易者在时间规模上有很大的变化，而市场依旧保持稳定，则市场稳定的前提是其余那些具有不同交易起点的交易者，认为很大变化是一个买进机会而且跟进并购买。因此，此时没有特征性的规模变化，市场仍旧保持稳定。当市场的全部投资起点缩短，每个人成为一分钟交易者（投资者对长期信息丧失信心），则市场会变得不稳定。然而，只要市场保留分形结构它就能消化掉冲击。下部被加热了的流体由下而上，然后冷却，之后再落下被加热，如此反复。单个分子组成一个群体开始粘连运行。科学家精确知道，什么时候这些对流旋涡将发生。但所不知道的是，这些旋涡，有的向左，有的向右，人们无法预测它将流向哪个方向。在尘世的世界，随机性等同于创新，而决定论解释说明系统如何开发利用创新。在市场里创新是信息，而决定论是市场如何评价信息。现在我们可以引入对牛顿决定论的第三个打击：混沌和分形，在这里，机会和必然共存。在这些系统里，由于整体的决定性，熵是很高的。混沌系统输出它的熵，或是耗散它的熵。3．混沌游戏我们开始在一个平面上选三个点，由这三个点构成了一个三角形，并标志这三个点为（1，2）、（3，4）、（5，6）。现在在这个三角形内随机选择一个点，记为P；滚动一个均匀的骰子，用投掷出来的数字确定三角形的一个顶点，然后从点P到这个顶点连线，并选择该直线的中点作为下一个点；用计算机来处理这个步骤，可重复1万次。最终结果将终止于所谓的谢平斯基三角形。假如你增加次数，你将看到更多的小三角形。这一自相似性是分形的重要性质之一。混沌游戏表明局部随机性和整体确定性能够共存，因此而创造出一个稳定的，自相似的结构，我们称其为分形。对金融市场来说，市场可能是局部的随机，但它们具有整体的统计结构，该结构是非随机的。在这方面，传统的数量理论将倾向于支持局部随机性。在“市场效率”上的检验将长期聚焦于短期预测是否能对利润有足够精确的刻画。严格地说，数量性研究表明来自于短期市场活动的利润预期是困难的，如果市场确实如此，则延长我们的时间起点似乎能改善我们的预测能力。4．什么是分形关于分形和分形维数的概念科学史上有记载的最早是由豪斯道夫于1919年提出的，随后经比斯可维奇于1935年和曼德布罗特于1975年加以改进和发展，到了80年代分形理论逐步由数学领域向自然科学领域与应用学科渗透，针对实际问题提出了许多种分维及求法。曼德布罗特是美籍法国科学家，他于1973年在法兰西学院讲学期间首次提出分形几何学思想，到1975年他在写专著过程中碰到法文动词frangere（破坏）变来的形容词fractus，联想到英文中的同源词fracture（断裂）和形容词fraction（分数），在这个法文和英文名词和动词基础上创造fractal（分形）一词。1977年曼德布罗特出版了分形学的奠基性著作《分形、形、机遇和维数》，提出了分形的三个要素：即构形、机遇和维数。什么是分形，我们暂且不用严格的数学定义描述而给出比较容易接受的定义。曼德布罗特给分形下过几次定义：（1）分形的数学定义1982年他初次下的定义是：分形是这样的一个集合，豪斯道夫维数严格大于拓扑维数的集合称为分形。（2）1986年曼德布罗特修改了上述定义，他说“其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形”。分形是一类无规则、混乱而复杂，但其局部与整体有相似性的体系，从远处观察和近处观察结构一样，通常称这种体系为自相似体系。这种体系形成的过程具有随机性，体系的维数不是整数而是分数，称为分维。（3）曼德布罗特私下跟朋友还说过“分形是非线性变换下的不变性”。分形思想的基本特点:分形研究的对象是具有自相似性的无序系统，其维数的变化是连续的，一般欧式空间维数是分立的，如1维、2维等。近来又提出若干新概念如自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形等。分形概念的实质是指被那些传统的物理学和几何学排除在外的不规则形体在标度变换下的自相似性。若F是分形集，那么它具备如下典型性质：(1)F具有精细的结构，即有任意小比例的细节；(2)F是如此的不规则以至它的整体与局部都不可能用传统的几何语言去描述；(3)F通常有某种自相似的形状，可能是严格的或统计的；(4)一般地，F的“分形维数”大于它的拓扑维数；(5)在多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生。曼德布罗特是第一个跳出传统物理学和几何学的人，他说“浮云不呈球状，山峰不是锥体，海岸线不是圆圈，树皮并不光滑，闪电并不直线传播”。分形概念的精髓在于：貌似杂乱无章的东西不见得毫无自己的特征和内在规律性，各种自然现象都有自己的特定观测尺度。比如布朗运动轨迹在不同尺度下出现整体与局部相似，海岸线在不同标度下具有无限嵌套的自相似性。分形学的中心内容可以理解为：它是指不规则几何形体在动力学演化过程中，在一定的标度尺度范围内，其相应的测度不随尺度变化而改变。分形体具有扩展对称性（也称为标度不变性）的自相似结构，具有扩展对称性的自相似结构的物体在几何性质上具有重要特征，即可以用一个连续变化的维数来表征，简称分维，它有多种定义和计算方法。我们对分形的定义可以进一步引申为：（1）分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起来的数理模型；（2）分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；（3）自相似性可以是严格的，也可以是统计性的，自然界的大多数分形都具有统计意义上的自相似性；（4）自相似性有层次结构上的差异，数学中的分形具有无限嵌套的层次结构，而自然界中的分形只有有限层次嵌套，且要进入到一定层次结构以后才有分形的规律（通常是幂率）。（5）相似性有级别上的差异，级别最高的是整体，最低的称为0级生成元。级别越接近，则越相似，级别相差越大相似性差异越大，可用无标度区间或标度不变性范围来表示。关于无标度区自然界中的分形往往具有一个最小标度和一个最大标度，在无标度区间内才有分形结构及其规律，因此只能在无标度区间内做尺度变换，一旦越过无