微积分01-第一章02-数列的极限课件

x4

x2

x1

x3

x5

xn

1、数列如果按照某一法则，对每个正整数n，对应着一个确定的实数xn，这些实数

xn按照下标n从小到大的顺序依次排列得到的一个序列

x1,x2,…,xn,…称为一个无穷数列，简称为数列。记为

{xn}。其中每一个实数称为数列的项，第n项

xn称为该数列的一般项或通项。几何意义：x分类单调增加数列：x1x2…

xn

…{2n-1}单调减少数列：x1x2…

xn

…{1/n}单调数列有界数列：存在正数M，使对一切

n均有xn

M

成立。{1/n}无界数列：{2n-1}例：1+1/2011-1/3问题：3、数列的极限从极限的数学以及物理背景可知，为了求得实际问题的精确值，需要研究当n无限增大(即n

)时，对应的

xn是否能无限接近于某个确定的数值？若能，此数值是多少？即要研究数列的发展趋势（运动规律）。1/4

0

1/2

1

1/3

x实例

状态

运动目标（n）

稳定-10-1,1,-1,…,(-1)n,…1x

不稳定

稳定x

1,2,3,…,n,…稳定

例如，给定，欲使，只要n>100，即从第101项起，都能使不等式成立。同样地，若给定，欲使，只要n>100，即从第1001项起，都能使不等式成立。对于任意给定的（误差），当n>N时（在时刻N之后），

成立。一般地，对于任意给定的误差，随着n的不断增大，在适当的时刻之后，

成立。如果用N来记这个时刻，则上述的说法可以定量描述如下：可引出如下的极限定义。数列的通项常数xnA当n

时的极限。

设有数列{xn}，若存在常数A，使对于任意给定的>0，总存在正整数N，当n>N时，恒有|xn-A|<

成立，则称当n时，数列{xn}以A为极限。记作几何意义：

x1Ax2x3xN+2xN+1xN+3()xn

A>0，某项之后，xn全落入开区间(A-,A+)之中。若数列{xn}有极限，则称数列{xn}收敛。若数列{xn}无极限，则称数列{xn}发散。(1)、是一个距离指标，用来刻画xn

与A的接近程度。

它具有两重性：一是任意性，即可任意取，只有这样，|xn-A|<

才能刻画“xn

无限接近于

A”。二是

相对固定性，一经取定就相对固定下来，依此找N。(2)、正整数

N

与有关，它是随的给定而确定的，且

不唯一。注数列极限的定义有三个要素：正数

，正整数N，

不等式|xn-A|<

。(3)、不等式

|xn-A|<

指的是下面的一串不等式：

|xN+1-A|<，|xN+2-A|<，|xN+3-A|<，…定义要求它们都成立。至于下面的N个不等式：|x1-A|<，|x2-A|<，…，|xN-A|<

并不要求它们一定成立。证：只要即可。因此，取则当

n>N

时,例1：证明数列的极限是1。证：只要即可。因此，取则当

n>N

时,例3：当

>0时，证明一般地：分子固定，分母无限增大的分数趋于0；分子有界，分母无限增大的分数趋于0。

二、子数列例：设{xn}：1,2,3,…,n,…

则{x2n}：2,4,6,…,2n,…（取kn=2n）{x2n-1}：1,3,5,…,2n-1,…（取kn=2n-1）都是{xn}的子数列。设{xn}

是数列，从

{xn}

中任意选出无穷多项，按原来的顺序，依次位置为k1,k2,…,kn,…，可得到另一个数列：

记为。它称为{xn}的一个子数列。注：子数列的项是从原数列中抽出的，可能会丢弃某些项不选，所以子数列的第n项只能从原数列的第n项或者以后的各项中选取，即：knn。定理1.1（收敛数列与其子数列的关系）

证：判断数列敛散性的两个结论：如果数列{xn}的子数列中有一个不收敛，或者有两个收敛但极限不相等，则该数列发散。例：数列,分别取kn=2n-1与kn=2n(n=1,2,…)便可得到两个子数列：0,0,0,…,0,…与1,1,1,…,1,…它们分别收敛于0和1，且01，所以原数列发散。数列{xn}收敛的充要条件是奇数项与偶数项分别构成的子数列{x2n-1}与{x2n}均收敛，且极限相等。例：数列0,1/2,0,1/4,0,1/8,…,其奇数项子数列:0,0,0,…收