32立体几何中向量方法第3课时教案

3.2立体几何中的向量方法第3课时精选教学设计3.2立体几何中的向量方法第3课时精选教学设计3.2立体几何中的向量方法第3课时精选教学设计立体几何中的向量方法【课题】：利用向量解决平行与垂直问题【授课目的】：1）知识与技术：连续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.2）过程与方法：在解决问题中，经过数形结合与问题转变的思想方法，加深对相关内容的理解。3）感神态度与价值观：领悟把立方体几何几何转变成向量问题优势，培养研究精神。【授课重点】：向量法与坐标法.【授课难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转变.【课前准备】：Powerpoint课件【授课过程设计】：授课环节授课活动一、复习引1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”入2．平行与垂直关系的向量表示。二、研究新一、用向量办理平行问题知例如图已知四边形ABCD、1:ABEF为两个正方形,MN分别在其对角线BF上,且求证：MN//平面EBCFMAN.E

设计妄图.为学习新知识做准备.例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。FM

BCNA

D解析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量MN用向量BE,BC线性表示出来。联系共线向量来理证明:在正方形ABCD与ABEF中,解。BEAB,FMAN,FBAC,存在实数,使FMFB,ANAC.MNMFFAANBFEBAC(BEBAABAD)EB(BEAD)EB(BEBC)BE(1)BEBC.、、共面.MNBEBCM平面EBC,MN//平面EBC评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.例2是关于面面平利用共面向量定理可以证明线面平行问题。行的问题，联系几本题用的就是向量法。何定理与向量平例在正方形中行。同时介绍解决2.ABCD-A1B1C1D1,问题的坐标法。求证:平面A1BD//平面CB1D1（图略）解析：面面平行线面平行线线平行。证明:如图分别以D1A1、D1C1、D1D三边所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,0,1),D(0,0,1)则A1D(1,0,1),B1C(1,0,1)A1D//B1C.即直线A1D//B1C，则A1D//平面CB1D1.同理右证：A1B//平面CB1D1.平面A1BD//平面CB1D1.评注：由于三种平行关系可以互相转变，向量法将逻辑论证转变成问题的算法化，

所以本题可用逻辑推理来证明。在应用向量法时需要合理建立空

用间直角坐标系，方能减少运算量。本题采纳了坐标法。思虑：一般应如何建立空间直角坐标系？二、用向量办理垂直问题

例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。例3:在正方体ABCDA'B'C'D'中.E,F分别是CC',BD的中点.求证：A'F平面BDE.（图略）解析：线面垂直线线垂直。证明:如图取DA,DC,DD'分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)A'F(1,1,2),A'DB(2,2,0),DE(0,2,1)A'FDB(1,1,2)(2,2,0)0,A'FDE(1,1,2)(0,2,1)0让学生领悟坐标法A'FDB,A'FDE,又DBDED.A'F平面BDE的优势。评注：本题若用一般法证明，简单证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，用向量法证明三垂或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。线定理。例4，证明：在平面内的一条直线，若是它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，AB，A为垂足，CD,CDOA求证：CDOBB证明：CDOACDOA0

DOACABCDABCDAB0OBOAABCDOBCD(OAAB)CDOACDAB0CDAB三、练习巩分别用向量法和坐标法解决以下问题：牢固知识，培养技固练习：能.在三棱柱ABCA'B'C'中，底面是正三角形，AA'底面ABC，A'CAB',求证：BC'AB'B'C'A'CBA向量法：证明：设底面边长为1,设aAA',bAB,cACab0,ac0,bc1/2.A'CA'AACcaAB'ABBB'baBC'BAACCC'cab0A'CAB'(ca)(ba)cbcaab2aa2b1c2(ca2ab)(ba)(2ab)(ba)2ab22a221102abb所以，结论建立。坐标法：证明：（图略）设底面边长为2,高为h,如图建立空间直角坐标系.A(3,0,0),B(0,1,0),C(0,1,0).A'(3,0,h),B'(0,1,h),C'(0,1,h).0AB'A'C31h2,h22.AB'BC'02h20.BC'AB'四、小结利用向量解决平行与垂直问题反思归纳1．向量法：利用向量的看法技巧运算解决问题。2．坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起来使用。五、作业A1B1C1中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝1，直三棱柱ABC2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M，求证CD平面BDM。2，课本第2题。练习与测试：（基础题）111，则（）1，直三棱柱ABC—ABC中，若A．+－B．－+C．－++D．－+－答：D2，若向量、（）A．B．C．D．以上三种情况都可能答：B3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．证明：.又，即.①.又，即.②由①+②得：即..4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．1）求证：EF∥平面PAD；2）求证：EF⊥CD；证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，＝2，＝2，则：(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2b,0)，BCbPAcABaCaD(0,2b,0)，P(0,0,2c)∵E为AB的中点，F为PC的中点∴E(a,0,0)，F(a,b,c)(1)∵＝(0,b,c)，＝(0,0,2c)，＝(0,2b,0)∴＝(＋)∴与、共面又∵E?平面PADEF∥平面PAD．(2)∵＝(-2a,0,0)∴·＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0∴⊥．CDEF（较难题）5，关于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。解析

要证明

EF、BC、AD平行于同一平面

DF（E、F分别为

AB、CD的中点），只要证明相应

AE

C向量

EF与AD、BC共面即可。

B证明：如图，利用多边形加法法规可得，

EF

=

EA

+AD

+DF

，EF

=EB

+BC

+CF

①。又E、F分别是

AB、CD的中点，故有

EA

=-

EB

，

DF

=-

CF

②将②代入①后，两式相加得1

12EF

=AD

+BC

，∴

EF

=2AD+2BC

即

EF

与

BC

、

AD

共面，∴

EF与

AD、BC平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明，有必然的难度，由此领悟向量法证明的优越性。6，如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。证明：在α内作不共线向量m,nb∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn。a两边同乘a得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·nm∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0n得x·a·a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn∴b、m、n为共面向量，又b￠α,b∥α。7，正方体ABCD-ABCD中，E是AB上的点，F是AC上的点，且AE=2EB，CF