细第11章第十一章曲线积分与曲面

第十一章曲线积分与曲推广到积分范因为平面或空间内的一个闭区域的情形①本章将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的(这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分应该根据构件各部分受假设这构件所处的位置在xOy内的一段曲线弧L它的端点是A、B,在L上任一点(x,y)处,它的线密度为μ(x,现在要计算这构件的质量m(图11-如果构件的线密度为常可以用L上的点M1,M2

取其中一小段构件Mi1Mi来分析,只要这小段很短就可以用这小段上任一点(ξiηi的线密度n从而得到这小段构件的质量的近似值为μ(ξi,ηi)Δsi1其中Δsi示Mi1Mi的长度,n于是整个曲线形构件的质量mμ(ξi,ηi①为了计算m的精确值,取上式右当λ0时的极限n从而得到mlimμ(ξiλ0定函数f(x,y)在L上有界,在L上任意插λ一点列M1,M2设第i个小段的长度为Δsi又(ξiηi为第i个小n作乘积f(ξi,ηi)Δsin并作和f(ξi,ηi

如果当各小弧段的长度的最大值λ0时这和的极限总则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作Lf(xy)ds,即f(xy)dslimf(ξη i λ0其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段,在第二目中看;到当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分Lf(xy)ds是存在的,以后总假定f(x,y)在L上是连续-的,前述曲线形构件的质量当线密度μ(x,y)在L上连续时,就等于μ(x,y对弧长的曲线积分,即mLμ(x,y)ds.上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形,即函数f(x,y,z)在曲线弧Γnrf(x,y,z)dslim(ξi,ηi,ζiλ0如果L(或Γ)是分段光滑的规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分例如L分成两段光滑曲线弧L1L2记作LL1L2L 就规定f(xy)dsf(xy)dsL 如果L是闭曲线①就是说,L(或Γ)可以分成有限段,而每一段都是光滑的,以 总假定L(或Γ①就是说,L(或Γ)可以分成有限段,而每一段都是光滑的,以 总假定L(或Γ)是光滑的或分段光滑的Lf(x,性质设α,β为常数L[αf(x,y)βg(x,y)]dsαLf(xy)dsβLg(x性质若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1L2则Lf(xy)dsLf(xy)dsLf(x性质设在L上f(xy)g(x则Lf(xy)dsLg(x特别地,有|Lf(x,y)ds|L|f(xy)|yf(x,y)在曲线弧L有定义且连续,L的参数方程为xφ(t),(ay其中φ(t),ψ(t)α,β]具有一阶连续导数,且φ2(t)ψ2(t)0,则曲线积分Lf(x,y)ds存在且f(xy)dsβf[φ(t),ψ(t)]φ2(t)ψ2(t)dt(αβ 证假定当参数t由α变至β时L上的点M(x,y)依点A至点B的方向描出曲线在L上取一列点AM0,M1,M2 ,Mn1,Mn它们对应于一列单调增加的参数值αt0tlt2 tn1tn根据对弧长的曲线积分nLf(x,y)dslimf(ξiλ0设点(ξi,ηi)对应于参数值τi即ξiφ(τiηiψ(τi这里ti1τi由于Δs

φ2(t)i应用积分中值 有Δsiφ2(τψ2 i其中Δtititi1ti1τi于是f(xy)dslimnf[φ(τi),ψ(τi)]φ2(τ λ0 i 由于函数φ2(t)ψ2(t闭区间[α,β连续,可以把上式中的τi换成τi n从而f(x,y)ds f[φ(τi),ψ(τi)]φ2(τi)ψ2(τiφ2(t)φ2(t)上式右端的和的极限就是函数f[φ(t),ψ(t)]由于这个函数在[α,β上连续,所以这个定积分是因此上式左端的曲线积分Lf(x,y)ds也存在

在区间[α,β]上的定积并且有f(x,y)dsβ φ2(t)ψ2(t)dt(αβ). 公式(1)表明计算对弧长的曲线积分Lf(x,y)ds只要把x、y、ds依次换为φ(t),ψ(t),然后从α到β作定积分就行了,这里必定积分的下限α定要小于上限β.从上述推导中可由于小弧段的长度Δsi是正的,从而Δti0,所以定积分的下限α一定小于上限

φ2(t)如果曲L由方程yψ(x)x0xX给出那么可以把这种情形看做是特殊的参数方程xt,yψ(t)(x0tX)的情形从而由公式(1)得出Lf(x,y)dsX

1ψ2(x)dx(x0X).类似地,如果曲线L由方程xφ(y)(y0yY出则有f(x,y)dsYf(φ(y),

1φ2(y)dy(y0Y). 公式(1)可推广到空间曲线弧Γ由参数方程xφ(t),yψ(t),zω(t)(αtβ)给出的情形,这时有f(x,y,z)dsβf[φ(t),ψ(t),ω(t)] φ2(t)ψ2(t)ω2(t)dt(αβ)(4) 例1

φ2(t)ψ2(t)在闭区间[α,β]上的一致连续性,这里从计算Lyds,L抛物线yx2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧11-解由于L由方程yx2(0x1给出, x21(x21x21(x2101

21

4x 55计算半径为R、中心角为2α的圆弧L于它的对称轴的转动惯量I(设线密度μ1)则I L为了便于计算L的参数方程xRcosθy=Rsinθ(αθα).于是Iy2dsαR2sin2θRsinθ)2 R3αR3 θ2 2 R3(2α2R3(α计算曲线积分(x2y2z2Γ其中Γ为螺旋线xαcost,yasintzkt相应于t0到2π的一段弧,(x21y2z2)dsΓ2π[(acost)2(asint)2(kt)2]02π(a2kZt2)a20

a2 a2 ka

t3 2πa2k2(3a24π2k2).第二节对坐标的曲线从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,其中函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续要计算在上述移动过程中变力F(x,y)所作的功(图11-知道,如果力F是恒力,那么恒力F作的功W于向量F与向量AB数量积,即WFAB功W不能直接按以上公式计第,先用曲线弧L上的点M1(x1,y1),M2(x2,y2), ,Mn1(xn1,yn1)把L分成n个小弧段,取其中一个有向小弧段Mi1Mi来分析:由于Mi1Mi光滑而且很短可以用有向线段Mi1Mi(Δxii(Δyij来近似代替它,其中Δxixixi1Δyiyiyi1.又由于函数P(x,y)、Q(x,y)在,L上连续可以用Mi1Mi上任意取定的一点(ξiηi的力'·F(ξiηlP(ξi,ηiiQ(ξiηij来近似代替这小孤段上各点处的力,这'样,变力F(x,y)沿有向小弧段Mi1Mi所作的功ΔWi可以近似地等于恒力F(ξi,ηi)沿Mi1Mi所作的功ΔWiF(ξi,ηi)即ΔWiP(ξiηi)ΔxiQ(ξi,ηi 于是WΔWi[P(ξi,ηi)ΔxiQ(ξiηiΔyi 用λ表示n个小弧段的最大长度,令λ0取上述和的极限,所得到的极限自然地被认作变力F沿有向曲线弧所作n即Wlim[P(ξiηi)ΔxiQ(ξi,ηi)Δyλ0定函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有界,在L上沿L的方向任意插λ一点列M1(x1,y1),M2(x2,y2 ,Mn1(xn1,yn1)把L分成n个有向小弧段(i=1,2,…,n;M0A,MnB设Δxixixi1Δyiyiyi1(ξiηiMi1Mi上任意取定的点,如果当各小弧段长度的最大值λ0时,nP(ξi,ηi)Δxi的极限总存在n则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,记作LP(xn类似地,如果limQ(ξi,ηi)Δyi总存在λ0则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧Ly标的曲线积分,记作LQ(x,y)dy.即nLP(x,y)dx=limP(ξi,ηiλ0nLQ(x,y)dy=limQ(ξi,ηiλ0L叫做积分弧段,当P(x,y)、Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续时对坐标的曲线积分LP(xy)dx及LQ(xy)dy都存在,以后总假定P(x,y)、Q(x,y)在L上连续,上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧 的情形nP(x,y,z)dxlimP(ξi,ηi,ζi λ0nΓQ(x,y,z)dylimQ(ξi,ηi,ζiλ0nR(x,y,z)dzlimR(ξi,ηi,ζi λ0应用上经常出现的是LP(x,y)dxLQ(x,y)dy这种合并起来的形式为简便起把上式写成LP(xy)dxQ(x也可写成向量形式LF(x,y)例如本目开始 过的变力F所作的功可以表达成WLP(x,y)dxQ(x,或WLF(xy)类似地ΓP(xy,z)dx+ΓQ(xy,z)dyΓR(xy,简写成ΓP或Γ如果L(或Γ)是分段光滑的规定函数在有向曲线弧L(或Γ)上对坐标的曲线积分根据上述曲线积分的用向量形式表并假定其中的向量值函数在曲线L上连续向量值函数F(x,y)在曲线L连续是指L任意点M0(x0y0L的动点L趋于M0时,有|F(x,y)F(x0y0|0.F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)jF(x,yL连续等价于P(x,y),Q(x,y)均在L上连续性质设α,β常数L[αF1(x,y)βF2(x,y)]αLF1(x,y)drβLF2(x,y)性质若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1L2则LF(x,y)drLF(xydrLF(xy性质设L是有向光滑曲线LL反向曲线弧则LF(xy)drLF(xy证Ln相应的L也分成n当曲线弧的方向改变因此性质3成立,当积分弧段的方向改须注意积分弧段的方而对弧长的曲线积分所具有的性质对坐标的曲线积分也不具有类似的yL的参数方程为y当参数t单调地由α变到β时M(x,y)从L的起点AL运动到终点φ(t),ψ(t))在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连且φ2(t)ψ2(t)则曲线积分L P(x,y)dx+Q(x,y)dy存在,且LP(x,y)dx+Q(x,y)dy证在L上取一列点AM0M1,M2Mn1,Mn它们对应于一列单调变化的参数值αt0t1t2根据对坐标的曲线积分的定义nLP(xy)dxlimP(ξi,ηi)Δxλ0设点(ξi,ηi)对应于参数值τi即ξiφ(τiηiψ(τi这里τi在ti1与ti之间由于Δxixixi1φ(tiφ(ti1

,tn1,tn有Δxiφ(τi)Δti其中Δtititi1τi在ti1ti间n于是P(xy)dxlimλ0

因为函数φ(t)在闭区间[α,β](或[β,α])上连续可以把上式中的τ换τΦn从而上 P(x,y)dxin

P[φ(τψ(τφ(τ)Δt右端的和的极限就是定积分β 因此上式左端的曲线积分LP(x,y)dx也存在并且有P(xy)dx=β 同理可证Q(xy)dyβ 把以上两式相加LP(x,y)dxQ(x,αβP[φ(t),ψ(t)]φ(t)Q[φ(t),ψ(t)]ψ(tα这里下限α对应于L起点,上限β对应于L的终点,公式(1)表明计第对坐标的曲线积分 P(x,y)dx+Q(x,y)dy时①①它的证明要用到函数φ(t)只要把x、y、dx、dy依次换为φ(t),ψ(t),然后从L起点所对应的参数值α到L终点所对应的参数值β定积分就行了,下限αL起点,上限β应于L终点,α不一定小于β.如果L由方程yψ(xxφ(y)出L由yψ(x出时公式(1)成为 aa上限b对应L的终点,公式(1)可推广到空间曲线Γ由参数方程xφ(tyψ(tzω(t)给出的情形,Γαα这里下限α对应Γ的起点,上限p对应Γ的终点,计L解法

xydx,其中L抛物线y2x上从点A(1,-1)到点B(1,1)的一段弧(图11-将所给积分化为对X的定积分来计算由y＝x不是单值函数AO上yx,x从1变到0;在OByx,x0变到1.因此LxydxAOxydxOB0x(x)dx1x 120x45解法将所给积分化为对y的定积分来计第,现在因此xy2y从-1变到1 xydx1y2y(y2 52 5 45计算y2dxL图11-L(1)半径 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段解(1)L是参数方程xacosθyπ当参数θ0变到π曲线弧π因此y2dxa2sin2 a3π(10 cos3a3cosθ 43

所以y2dxa0dx0. 例3计算2xydxx2dy,其中L图11-L抛物线yx2上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧抛物线xy2上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧有向折线OAB,这里O,A,B依次是点解化为对x的定积分L:yx2x01.所以2xydxx2dy0(2xx2x2.2x)dx41x3dx 化为对y的定积分L:xy2y01.所以2xydxx2dy1(2y2y2yy4)dy51y4dy 2xydxxZdy2xydax2dy2xydx 所以

2xydxx2dy1(2x0x2.0)dx0所以2xydxx2dy1(2y01)dy 从而2xydxxZdyL例4计算x3dx3zy2dyΓ其中Γ是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段解直线段AB方程是xyz 化为参数方程得x=3t,y=2t,.z=t,t从1变到所以x3dx3zy2dyΓ0[(3t)333t(2t)22(3t)218701874设一个质点在点M(x,y)处受到力F的作用F的大小与点M到原点0的距离成正比F的方向向原点此质点由点A(a,0)沿椭圆x2y2 按逆时针方向移动到点B(0,b),求力F所作的功解OMxiyj|OM|x2y2WABFkABxdxybsin利用椭圆的参数方程ybsin起点A、终点B分别对应参数t0,π2πWk2(a2costsintb2sintcos0πk(a2b2)2sintcos0k(a2bZ).三、两类曲线积分之间设有向曲线弧L的起点为A,终点为y曲线弧L参数方程xy起点A、络点B分别对应参数不妨设αβ(若αβ,可令s=-t,A、B对应sα,sβ,就有(α)(β),),把下面的对参数S进行即可）并设函数φ(t),f(t)在闭区间[α,β]上具有一阶连续导数,且φ2(t)ψ2(t)又函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续,有LP(x,y)dx+Q(x,y)dyαβP[φ(t),ψ(t)]φ(t)Q[φ(t),ψ(t)]ψ(tα知道向量τφ(t)iψ(t)j是曲线弧L在点Mφ(t),ψ(t)处的一个切向量它的指向与参数t的增长方向一致当αβ时,这个指向就是有向曲线孤L方向, φ2(t) φ2(t) φ2(t) φ2(t)它的方向余弦为cosα ,cosβ由对弧长的曲线积分的计箅可得L[P(x,y)cosαQ(xβ Q[φ(t),ψ(t)] φ2(t)φ2(t)22αβP[φ(t),ψ(t)]φ(t)Q[φ(t),ψ(t)]ψ(tα由此可见平面曲线L上的两类曲线积分之间有如LPdxQdyL(PcosαQcosβ)ds,

φ2(t)ψ2(t)

φ(t)ψ其中α(xy),β(x,y)有向曲线弧L点(x,y)处的切向量的方向角,空间曲线Γ上的两类曲线积分之间有如下联ΓPdx+Qdy+Rdz=Γ(PcosαQcosβRcosr)ds,其中α(xyz),β(xyz),γ(xyz)为有向曲线弧Γ在点(x,y,z)处的切向量的方向角,例如空间曲线Γ上的两类曲线积分之间的联系可写成如下形式:ΓAdrΓAτds或ΓAdrΓAτds其中A=(P,Q,R),τ(cosα,sβ,cosγ)为有向曲线弧Γ在点(x,y,z)处的单位切向量drτds(dx,dy,dz称为有向曲线元一,格林公在一元函数积分学牛顿-莱布尼茨公式bF(x)dxF(b)-F(a表示dF(x)在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函 F(x)在这个区间端点上的值来表达下面要介绍的格林公式告诉在平面闭区域D的二重积设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于通俗地说例如平面上的圆形区域{(xy|x2y21}、上半平面{(xy|y0}都是单连通区域圆环形区域{(x,y)|1x2y24{(x,y|0x2y22}都是复连通区域,对平面区域D的边界曲线L,规定L的正向如当观察者沿L的这个方向行D内在他近处的那一部分他的左边例如,D是边界曲线L及l所围成的复连通区域(图11-作为D的正L的正向是逆时针方向,定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有QP)dxdyÑPdxQdy,(1)D 证先假设穿过区域D且平行坐标轴的直线与D的边界曲线L的交点恰好为两点,即区域D既是X型又是Y型的情形,事实上D又是Y型的,若设有向曲线弧E为LI:xψ1(yF为L2:xψ2(yD可表达成D{(xy)|ψ1(y)xψ2(y),cy于是D{(xy|ψ1(xyψ2(x),ax因为P连续,所以由二重积分的计算dxdy bdxdy bφ)P(x,) aφ Db DbαP[x,φ2(x)]另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法LPdxLbP[x,φ(x)]dxaP[x,φ b{P[x,φl(x)]0因此,

D 又由于D{(xy)|ψ1(y)xψ2(y),cyd}QD ψ( dc{Q[ψ2(y),y]Q[ψ1(y),LQdyL由于对区域(2)、(3)同时成立,合并对于如图11-10所示的区域如果闭区域D不满足以上条件例如就图11-11所示的闭区域D来说它的边界曲线L为M引进一条辅助线D分成D1D2D3三部分

)dxdy PdxD(QP)dxdy Pdx

D(QP)dxdy Pdx 把这三个等式

y 注意到相加时沿辅助曲线来回的曲线积分相互抵,便得 QP y D 其中L的方D来说为正方向,注意对于复连通区域且边界的方区域D来说都是正向,在公式(1)中取P=-y,Q=x,D上式左端是闭区域D的面积A的两佶,因此有A1Ñxdyydx(4)2求椭圆xacosθybsinθ围成图形的面积解根据公式(422212π(abcos2θ21ab2π 设L是任意一条分段光滑的闭曲线证证 2xydxxdy2L证令P=2xy,QQP2x2x 因此,由公式(1) 2xydxxdy士0dxdy2LD例3计 D其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域(图11-解令 因此,由公式(1eydxdy xeydyxeydy1xexdx1(1e1 Lx2其中L为一条无重点①、分段光滑且不经过原点的连续闭曲L的方向为逆时针方向解令p Q x2 x2则当x2y20时Q

y2x2(x2y2)2

记L所围成的闭区域为当(0,0)D时由公式(1)便当(0,0)∈D

xdyydxLx2选取适当小的r>0,作位于D的圆周l:x2y2r2记Ll所围成的闭区域为D1(图11-对复连通区域D1应用格 xdyydxxdyydx

x2

lx2y其中l的方向取逆时针方向于xdy

x2 xdy

x22πr2cos2θr2sin2 这个问题在数学上就是要研ψ(t1)与(φ(t2,ψ(t2总是相异的,则称L是无重点的曲线①对于连续曲线L:xφ(t)yψ(t),αtψ(t1)与(φ(t2,ψ(t2总是相异的,则称L是无重点的曲线先要明确什么叫做曲线积分LPdxQdy与路径无关G一个区域如果对于G内任意指定的两个点A、B,以及G'内从点A到点B的任意两条曲线等式LLL2图11- 等式PdxQdyPdxQdy恒成 就说曲线积分LPdxQdyG与路径无关,在以上叙述中注意如果曲线积分与路径 那么PdxQdyPdxQdy 由于LPdxQdyLPdx所以LPdxQdyLPdxQdy2这里L1L是一条有向闭曲线2因此,在区域G内由曲线积分与路径无关可推得在G内沿闭曲线的曲线积分反过来,如果在区域G内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可推得在G内曲线积分与路径无关,由此得出结论:曲线积L Pdx+Qdy在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分定理2设区域G是一个单连通域,

Pdx+Qdy等于零函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分L Pdx+Qdy在G内与路径无关(或沿G任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是PQ(5)G植成 证先证条件(5)是充分的在G内任取一条闭曲线要证当条件(5)成立时因为G是单

所以闭曲线C所围成的闭区域D全部在G于是(5)式在D恒

P应用格林

dxdy=ÑcD c上式左端的二重积分等于零(因为被积函数QP在D上恒为零 从而右端的曲线积分等于零再证条件(5现在要证的是那么(5)式在G内恒成立，用反证法来证 那么G至少有一点M使0

Q yQ y

ηy∴可在G取得一个以M为圆心,半径足够小的圆形闭区域K,使得在K恒有Q

0由格林公式及二重积分

r就有PdxQdyQP)dxdyησ,这里γK正向边界曲线σK面积rσ∵η0,σ0,σ

2>0∴从 K K

rPdxQdy这结果与沿G内任意闭曲线的曲线积分为零的假定相可见G使(5)式不成立的点不可能存在,即(5)式在G内处处成立,证毕在第二节第二目例3中看到起点与终点相同的三个曲线积分2xydxx2dy相等L由定理2来看,这不是因为这里QP=2xxOy内恒成立,而整个xOy是单连通域 因此曲线积分2xydxx2dy与路径无关L 要求区域G是单连通区域在例4中已经看到当L所围成的区域含有原点时,虽然除去原点外,恒有QP, 但沿闭曲线的积分LPdxQdy其原因在于区域内含有破坏函数P,Q及QP连续性条件的点 这种点通常称为奇三、二元函数的全微分现在要:函 P(x,y)、Q(x,y)满足什么条件时表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy才是某个二元函数u(x,y)的全微分定理3设区域G是一个单连通域函数P(x,y)、Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是PQ(5)在G内恒成立 证先证必要性假设存在着某一函数使得则必有uP(xy)uQ(x 从而

由于P、Q具有一阶连续偏所以2u,

连续因此u2uPQ 则由定理2可知,起点为M0(x0y0,终点为M(x,y)的曲线积分在区域G内与路径无关于是可把这个曲线积分写当起点M0(x0y0)固定时

P(x,y)dxQ(x,(x0,y0这个积分的值取决于终点把这函数记作u(x,y),u(x,y)=(x,y)P(xy)dxQ(xy)dy①(x0,y0下面来证明这函 u(x,y)的全微分就是,P(x,y)dx+Q(x,y)dy.因为区别函数的自变量与积分变u(x,y)(x,y)P(s,t)dsQ(s,(x0,y0P(x,y)、Q(x,y)都是连续的因此只要证明up(x,y)uQ(x 按偏导数的定义ulimu(xΔxy)u(x( (由(6)式,得u(xΔxy)x,y)P(xy)dxQ(x可以取先从M0到M,然后沿平行于x轴的直线段从M到N作为上式右端曲线积分的路径(图11-(这样就有u(xΔxy)u(xyx,y)P(xy)dxQ(x(从而u(xΔxy)u(xy)x,y)P(xy)dxQ(x因为直线段MN的方程为y=常数按对坐标的曲线积分的上式成为u(xΔxy)u(xy)xΔxP(xx应用定积分中值定得u(xΔxy)u(xy)P(xθΔxy)Δx(0θ上式两边除以Δx,并令Δx0取极限,由于P(x,y)的偏导数在G内连续,于是得uP(x同理可证uQ(x由定理23,设区域G是一个单连通域函数P(x,y)、Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导则曲线积分LPdxQdyG与路径无关的充分必要条件是:在G内存在函数u(x,y),根据上述定理可以选择平行于坐标轴的直线段连成的折线M0RM或M0SM作为积分路线( 11-当然要假定这些折线完全位于G在公式(6)中

得u(x,y

P(x,y)dx

Q(x,0Su(验证

xdyydx在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分,x2y2在例4中已经知道令p ,Q x2 x2就有P

y2x3(x2y2)2

在右半平面内恒成因此在右半平面内,xdyydx是某个函数的全微分,x2y2u(x,y)(

xdyx2xdyydx

xdyABx2

BCx20y0x2arctany x arctanx验证:在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分,解现在Pxy2Qx2yP2xyQ在整个xOy内恒成立 因此在整个xOy面xy2dxx2ydy是某个函数的全微分,取积分路线如图11-18所示,利用公式(6)得所求函u(x,y)(x,y)xy2dx

xy2dx0y0x2y0x2y22第四节对面积的曲面如果把曲线改为曲面①,并相应地把线密μ(x,y)改为面密度μ(xy,z)小段曲线的弧长Δsi改为小块曲面的ΔSi而第i小段曲线上的一点(ξiηi改为第i小块曲面上的一点(ξiηiζi那么,在面密度μ(xy,z)续的前提下,所求的质量m就是下列和的极限:nmlimμ(ξi,ηi,ζiλ0其中λn块曲面的直径的最大值,抽去它们的具体意定义设曲面是光滑的③,函数f(x,y,z)在上有界把任意分成n块ΔSiΔSi同肘也代表第i块曲面的面积),设(ξi,ηi,ζi是ΔSi上任意取定的一点,n作乘积f(ξiηiζiΔSin并作和f(ξi,ηi,ζi)ΔSi如果当各小块曲面的直径的最大值λ0时,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积 λ0

ii 以后都假定曲面的边界曲线是分段光滑的闭曲线,且曲面有 曲面的直径是指曲面上任意两点间距离的最大其中f(x,y,z)叫做被积函数,叫做积分曲面,,f(x,y,z)在光滑曲面上连续时,今后总假定f(x,y,z)在上连续,面密度为连续函数μ(x,y,z)的光滑曲面的质量可表示为μ(xy,z)上对面积的曲面积分m(xy,如果是分片光滑的①规定函数在上对面积的曲面积设可分成两片光滑曲面1及2(记作=12就规定f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,1 由对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的计设积分曲面由方程z=z(x,y)给出xOy面上的投影区域为Dxy(图11-19),函数z=z(x,y)在(y,z)在Dxy上具有连续偏导数,被积函数f(x,y,z)在上连续,按对面积的曲面积分的 λ0

ii 设上第i小块曲面ΔSi(它的面积也记作ΔSi)在xOy面上的投影区域为(Δσixy(它的面积也记作(Δσixy 则(1)式中的ΔSi可表示为二重积分ΔSi利用二重积分的中值

(Δσi

1z2(x,y)z2(x,上式又可写成1z2(ξ,η)z2上式又可写成xi yi i其中(ξi,ηi(Δσixy上的一点又因(ξi,ηjζi是上的一点 分片光滑的曲面是指由有限个光滑曲面所组成的曲面,以后我门总假定曲面是光滑的或分片ζiz(ξi,ηi,这里(ξiηi,0)也是小闭区域(Δσixy上的点 于是f(ξi,ηi,ζi)ΔSif[ξi,ηi,z(ξi,ηi)]1z2(ξi,ηiz2(ξi,ηi)(Δσi 11z2(x,y)z2(x,xy

由于函数f[x,y,z(x,y)]以及函当λ0时,

都在闭区域

上连续上式右端的极限

nf[ξ,η,z(ξ,η)]1z2(ξ,η)z2(ξ,η)(Δσ

的极限相等 ii ii

xi

yi

i这个极限在本目开始所给的条件下是Xy因此左端的极限即曲面积分f(x,y,z)dS也存在且有

f(x,y,z)dSf[x,y,z(x, dxdy.Xy因为曲面的方程是1z2(x,y)z1z2(x,y)z2(x,Xy在计算时,只要把变量z换为z(x,y),dS换为dxdy,再确定在xOy面上的投影区域为Dxy这样就把对面积的曲面积分化为二重如果积分曲面由方程x=x(y,z)或y=y(z,x)给出

也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重计算曲面积分

dS中是球面x2y2z2a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部11-a2x2a2x2xOy上的投影区域为Dxy为圆形闭区域{(xy)|x2y2a21z21z2 根据公式(2), a2x2利用极坐

dS

D a2 a2π

a2h2 a2a21ln(a2a2计算ÒxyzdS

2πalnah

其中是由平面x=0,y=0,z=0及x+y十z=1所围成的四面体的整个边界曲面(图11-解整个边界曲面在平面x=0、y=0、z=0x+y+z=1的部分依z次记为123及4于是ÒxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS 由于在123上被积函数f(x,y,z)=xyz均为所以xyzdSxyzdSxyzdS 在4上,z=1-x-1z1z2

1(1)2

从而ÒxyzdSxyzdS3xy(1x 记号

表示在闭曲面上积分其中Dxy是4在xOy面上的投影区域 即由直线x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域,因此ÒxyzdS31xdx1xy(1x 1 y330x(1x)23 31x(1x)3 3 1(x3x23x3x463第五节对坐标的曲面这里假定曲面是光滑例如由方程z=z(x,y)表示的曲面,有上侧与下侧之分①;需要指定曲面对于曲面又如是有向曲面在上取一把ΔS投影到xOy上得一投影区域,这投影区域的面积记为(Δσ)xy假定ΔS上各点处的法向量与z轴的夹角γ的余弦cosγ有相同的符(即cosγ都是正的或都是负规定ΔS在xOy面上的投影(ΔS)xy(ΔS)=

(Δσ)xy,cosγ

(Δσ),cosγ cosγ其中cosγ0也就是(Δσ)xy0的情形ΔS在xOy面上的投影实际就ΔS在xOy面上的投影区域的面积附以一定的正类似地可以定义ΔS在yOz面及zOx面上的投影(ΔS)yz及(ΔS)zx然后引进对坐标的曲面积分设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k给出,是速度场中的一片有函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在上连续求在单位时间内流向 指定侧的流体的质量,即流量如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域,又设n为该平面的单位法向量(图11-22(a)),那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为lv|的斜柱体(图11-2这斜柱体的体积为A|v|cosθAv这也就是通过闭区域A流向n所指一侧的流量2显然流体通过闭区域An所指一侧的流量Φ为零,而Avn=0,故ΦAvn=0当v·,nθπ时,Avn2这时仍把Avn称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量,它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧,且流向-n所指一侧的流量为-Avn流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量Φ均为Avn且流速V也不是常向量,①①所谓稳定流动,就是说,流速与时间t中一再使用过的方也可用来解决目前的把曲面分成n小块ΔSiΔSi同时也代表第i块曲面的面积).在光滑的和v是连续的前提下,只要ΔSi的直径很小就可以用ΔSi上任一(ξiηiζi的流viv(ξi,ηi,ζiP(ξiηiζiiQ(ξiηiζijR(ξiηiζlk代替ΔSi上其他各点处的流速,以该点(ξi,ηi,ζi)处曲面的单位法向量nicosαiicosβijcosγik代替ΔSi其他各点处的单位法向量(图11-23).从而得到通过ΔSi流向指定侧的流量的近n通过流向指定侧的流nΦvin[P(ξi,ηi,ζi)oosaiQ(ξi,ηi,ζi)cosβiR(ξi,ηi,ζi)cosγi]ΔSinn但cosαiΔSi(ΔSiyzcosβiΔSi(ΔSi)zxcosγiΔSi(ΔSi)xyn因此上式可以写成Φ[P(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)yzQ(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)zxR(ξi,ηi,ζi)cosγi(ΔSi)xy令λ0取上述和的极限,就得到流量Φ的精确值,设为光滑的有向曲面,函数R(x,y,z)在上有界把任意分成n块小曲面ΔSi(ΔSi同时又表示第i块小曲面的面积),ΔSixOy面上投影的(ΔSixy(ξiηiζi是ΔSi上任意取定如果当各小块曲面的直径的最大值λ0nlimR(ξi,ηi,ζi)(ΔSixy总存在λ0则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分,记作R(x,y, λ0其中R(x,y,z)叫做被积函数叫做积分曲面

ii

i类似地可以定义函数P(x,y,z)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分P(xy,及函数Q(x,y,z)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分Q(xy,分别nP(x,y,z)dydzlimP(ξi,ηi,ζi)(ΔSi λ0nQ(x,y,z)dzdxlimQ(ξi,ηi,ζi)(ΔSi λ0以上三个曲面积分也称为第二类曲,以后总假定P、Q、R在z上连续 在应用上出现较多的是P(x,y,z)dydzQ(xy,z)dzdxR(xy,z)dxdy这种合并起来 为简便起见把它写成P(xy,z)dydzQ(xy,z)dzdxR(xy,例如,上述流向指定侧的流量可表示为ΦP(xy,z)dydzQ(xy,z)dzdxR(xy,如果是分片光滑的有向曲面规定函数在上对坐标的曲面积等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分例如:(1)如果把分成1和PdydzQdzdx R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy. 类似地,如果由x=x(y,z)给出则有P(xy,z)dydz＝士P[x(y,zy,z]dydz, 等式右端的符号这样如果积分曲面是由方程x=x(y,z)所给出的曲面前即如果cosa0,取正号;反之,则有如果取后侧,即cosα0,应取负号,如果由y=y(z,x)给出,则有Q(xy,z)dzdx＝士Q[xy(z,xz]dzdx 等式右端的符号这样如果积分曲面是由方程y=y(z,x)所给出的曲面右即cosβ0,应取正号反之,如果取左侧cosβ0,应取负1计算曲面积分x2dydzy2dzdx其中是长方体Ω的整个表面的外Ω{(x,y,z)|0xa,0yb,0z解把有向曲面分成以下1zc(0xa,0yb的上侧2z0(0xa,0yb的下侧3xa(0yb,0zc)的前侧4x0(0yb,0zc)的后侧5yb(0xa,0zc)的左侧6y0(0xa,0zc)的右侧除3,4外,其余曲面在yOz面上的投影为零,因此x2dydzx2dydzx2dydz. 应用公式(4)就有x2dydza2dydz02dydz类似地可

y2dzdxz2dxdy例2计算曲面积分其中是球面x2y2z2=1外侧在x0,y0的部分,把分为1和2两部分(图11-1方程为z12方程为z2

1x2y21x2y2xyzdxdyxyzdxdy 上式右端的第一个积分的积分曲面2上侧,第二个积分的积分曲面1取下侧,因此分别应用公式(3)及(3)就有xyzdxdyxy1x2y2dxdyxy(1x2y2 2xy1x2

其中Dxy是1及2xOy面上的投影区域就是位于第一象限内的扇形xZy21(x0,y利用极坐标计算这个二重积2

1x22ρ2sinθcosθ11πsin2θdθP1 12从而xyzdxdy2 三、两类曲面积分之间设有向曲面由方程z=z(x,y)给出在xOy面上的投影区域为Dxy函数z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数R(x,y,z)在上连续,如果取上侧,则由对坐标的曲面积分计算公式(3)R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,另一方面

1z2 111z2 11z2 1z2 cosα

,cosβ ,cosγ 故由对面积的曲面积分计算公式有R(xyz)cosγdsR[xy,z(x 由此可见有R(xy,z)dxdyR(xy,z)cosγdS( 如果取下侧,则由(3)R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x, 1z2 1z2 因此(6)式仍成立类似地可推得P(xy,z)dydzP(xy,z)cosαdS Q(x,y,z)dzdx=Q(x,y,z)cosβdS 合并(6)、(7)、(8)三式得两类曲面积分之间的如下(PcosαQcosβRcos其中cosa,cosβ,cosγ是有向曲面在点(x,y,z)处的法向的方向余弦,AdSAndS 或AdSAndS, 其中A=(P,Q,R),n(cosα,cosβ,cosγ)为有向曲面在点(x,y,z)处的单位法向量,An为向量A在向量n上的例3计算曲面积分(z2x)dydz其中是旋转抛物面z=1(x2y2于平面z=0及z=2之间的部分2解由两类曲面积分之间的联系可得(z2x)dydz(z2x)cosadS(z2xcosα 1x2 1x2

1x2,1x2

cos(z2x)dydzzdxdy[(z2x)(x 再按对坐标的曲面积分的计便 (z2x)dydzzdxdy

(x2y2)2

(x)

1(x22

y注意1x(x2y2)2dxdy

Dxy D(z2x)dydz

1

y2 D 2πdθ(2ρ2cos2θ1ρ2)ρdρ 第六节高斯公式通量与散一高斯公格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,这个关系可陈述如下:定理设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面所围成函数P(x,y,z),Q(x,y.z),R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数则有PQR)dvÒPdydzQdzdxRdxdy,Ω PQR)dvÒ(PcosαQcossβRcossγ)dS.Ω 这里是Ω的整个边界曲面的外cosα,cosβ,cosγ是在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦公式(1)或(1)叫做高斯公式,由第五节公式(9)可知公式(1)及证明公式(1)的右踹是相等的,设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为假定穿过Ω且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面的交点恰好是两个,这样,可设由123部分组成(图11-25),其中12别由方程zz1(x,y)和zz2(xy)定这里z1(xy)z2(x,y),1下侧3是以Dxy的边界曲线为

2取上侧而母线平行于z轴的柱面上的一部分,取外侧zR积分的计z

Ω D R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]dxdy.根据曲面积分的计算R(xy,z)dxdyR[xy,z1(xR(x,y,z)dxdyR[x,y,z2(x,因为上任意一块曲面在xOy上的投影为零,可知R(xy,z)dxdy把以上三式相加R(xy,z)dxdyR[xy,z2(xyR[xy,z1(xy)]dxdy.( Ω 如果穿过Ω且平行于x铀的直线以及平行于y轴的直线与Ω的边界曲面的交点也都恰好是两个,那么类似地可得PdvÒP(xy,z)dydz,

Ω QdvÒQ(x,y,Ω 在上述证明中对闭区域Ω作了即穿过Ω且平行于坐标铀的直线与Ω的边界曲面的交点恰好是两点,如果Ω不满足这样的条件,可以引进几张辅助曲面把Ω分为有限个闭区域,例1利用高斯公式计算曲面Ò(xy)dxdy(y其中为柱面x2y21及平面所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧( 11-P=(y-z)x,Q=0,R=x-Pyz,Q0,R Ò(xy)dxdy(y(yΩ(ρsinθΩ 0dθ0ρdρ0(ρsinθ9π2解因曲面 不是封闭曲面,故不能直接利用高斯公式其中Dxy(xy)|x2y2h注意到dxdyxy(xy)dz其中Dxy(xy)|x2y2h注意到dxdyxy(xy)dzh便得Ò(x2cosαy2cosβz2cosγ)dSxx

(xy即得Ò(x2cosαy2cosβz2cosγ)dS(h2x2y2)dxdy1πh4

(x2cosαy2cosβz2cosγ)dSz2dSh2dxdy因此(x2cosαy2cosβz2cosγ)dS1πh