新课标高三第一轮复习单元讲座第讲空间几何体的表面积和体积

一般高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教学设计（讲座9）—空间几何体的表面积和体积一．课标要求：认识球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二．命题走向近些年来在高考取不单有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的地点关系问题。即便观察空间线面的地点关系问题，也常以几何体为依靠.因此要娴熟掌握多面体与旋转体的观点、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转变思想，会把组合体求积问题转变为基本几何体的求积问题，会等体积转变求解问题，会把立体问题转变为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。因为本讲公式多反应在考题上，展望008年高考有以下特点：1）用选择、填空题观察本章的基天性质和求积公式；2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积相关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素相关的计算问题；三．重点精讲1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)直截面周长×S底·h=S直截面·h棱棱柱lS侧+2S底柱S底·h直棱柱ch棱棱锥各侧面积之和S侧+S底1S·h底13锥正棱锥ch′2各侧面面积之棱台1h(S上底+S下底棱和31S侧+S上底+S下底台+S下底S下底)2正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式名圆柱圆锥圆台称S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)πr2h(即π11πV2h323πrh(r22)rl)1+r1r2+r2

表斜高，h′表示斜高，球4πR2πR33表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。四．典例分析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，全部棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm2(xyyzzx)20(1)依题意得：4(xyz)24(2)由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。评论：波及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被观察。我们平时的学习中要多成立一些重要的几何因素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。31）求证：极点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的均分线上；2）求这个平行六面体的体积。图1图2分析：（1）如图2，连结AO，则AO⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON11⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，从而OM=ON。∴点O在∠BAD的均分线上。（2）∵AM=AA1cos=3×1=3322∴AO=AM=32。cos242–AO2=9－9=9，又在Rt△AOA1中，A1O2=AA122∴AO=32，平行六面体的体积为V5432122题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．（2000全国，3）一个长方体共一极点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体对角线的长是（）A．23B．32C．6D．6分析：设长方体共一极点的三边长分别为=1，＝2，＝3，则对角线labc的长为l=a2b2c26；答案D。评论：解题思路是将三个面的面积转变为解棱柱面积、体积的几何因素—棱长。例4．如图，三棱柱

ABC—A1B1C1中，若

E、F

分别为

AB、AC的中点，平面

EB1C1将三棱柱分红体积为

V1、V2的两部分，那么

V1∶V2=____

_

。解：设三棱柱的高为

h，上下底的面积

为S，体积为

V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，S△AEF=1S,4V=1h(S+1S+S1)=7Sh134412V2=Sh-V1=5Sh，12V1∶V2=7∶5。评论：解题的重点是棱柱、棱台间的转变关系，成立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用一致的量成立比值获得结论即可。题型3：锥体的体积和表面积例5．（2006上海，19）在四棱锥P－PABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD订交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面EDABCD所成AOCB的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。∴四棱锥P－ABCD的体积V=1×23×3=2。3评论：本小题重点观察线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要观察空间想象能力。例6．（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55。（如下图）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。

图分析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，SA⊥平面ABC。因为∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在Rt△SCB中，BC=5，SB=55，得SC=SB2BC2=10。在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=AC51，SC102∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，∵SASC2AC21025275，=S=1·AC·BC=1×5×5=25，△ABC222∴V1·S△·SA=1251253。SABC3ACB326评论：本题比较全面地观察了空间点、线、面的地点关系。要求对图形一定具备必定的洞察力，并进行必定的逻辑推理。题型4：锥体体积、表面积综合问题例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O，连结GB、GO、CD、FB结构三棱锥B－EFG。设点B到平面EFG的距离为h，BD＝42，EF22，CO＝3×4232。4GOCO2GC2(32)22218422。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由VBEFGVGEFB，得1EF·GO·h1S△EFB·63评论：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转变为体积问题来求解。构造以点B为极点，△EFG为底面的三棱锥的重点，利用同一个三棱锥的体积的唯程是解这种题的方法，从而简化了运算。

AODF

是解本题一性列方例8．（2006江西理，12）如图，在四周BE体ABCDC中，截面AEF经过四周体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，假如截面将四周体分红体积相等的两部分，设四棱锥

A－BEFD与三棱锥

A－EFC的表面积分别是

S1，S2，则必有（

）A．S1

S2

B．S1

S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不可以确立解：连OA、OB、OC、OD，则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每个三棱锥的高都是原四周体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAECSEFC又面AEF公共，应选C评论：该题经过复合平面图形的切割过程，增添了题目办理的难度，求解棱锥的体积、表面积第一要转变好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9．（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延伸后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为

h。（Ⅰ）求侧面

ABB1A1与底面

ABCD所成二面角的大小；（Ⅱ）证明：

EF∥面

ABCD；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，常常运用近似公式

V估=S中截面

·h

来计算

.已知它的体积公式是V=h（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以6证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）（Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G。如下图：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，

图AB⊥PQ，AB⊥B1P.∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.因为相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。PG=1（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=2h（b＞d），2bd∴∠B1PG=arctan2h，即所求二面角的大小为arctan2h.bdbd（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF。∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB∥EF。∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD。（Ⅲ）V估＜V。证明：∵a＞c，b＞d，∴V－V估=h(cdab4acbd)acbdh62222h［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］12h（a－c）（b－d）＞0。12V估＜V。评论：该题背景较新奇，把求二面角的大小与证明线、面平行这一惯例运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能观察考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精准计算体积的辛普生公式之间计算偏差的问题，是极具实质意义的问题。观察了考生持续学习的潜能。例10．（1）（1998

全国，

9）假如棱台的两底面积分别是

S、S′，中截面的面积是

S0，那么（

）A．2S0

SS

B．S0

SSC．2S0＝S＋S′

D．S02＝2S′S（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和则其体积为（）A．323B．283C．243D．203分析：（1）分析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；

4，高为

2，（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6·3·22＝63，S下＝6·3·4244＝243，V台＝1(上上下下)283，答案。3hSSSSB评论：本题观察棱台的中截面问题。依据选择题的特点本题采用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很广泛，如采用特别值、特别点、特别曲线、特别图形等等。题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例11．（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积睁开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．12B．14C．12D．14242分析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=h2=4π2r2，S全12。答案为A。S侧2评论：本题观察圆柱的侧面睁开图、侧面积和全面积等知识。例12．（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适当的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰巧高升r，则R=。r分析：水面高度高升r，则圆柱体积增添πR2·r。恰巧是半径为r的实心铁球的体积，所以有4πr3=πR2r。故R23。答案为23。3r33评论：本题主要观察旋转体的基础知识以及计算能力和剖析、解决问题的能力。题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题例13．（1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如下图），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）图A．97．5．32222（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．3πB．33πC．6πD．9π分析：（1）如下图，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。∴VVCADEVBADE1351313，答案D。3232（2）∵S＝1absinθ，∴1a2sin60°＝3，22a2＝4，a＝2，a=2r，r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。评论：经过识图、想图、绘图的角度观察了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深入的标记，是高考从深层上观察空间想象能力的主要方向。例14．（2000全国文，12）如下图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分红相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）A．1B．1C．1D．1322242分析：如下图，由题意知，1πr2h＝1πR2h，36r＝R．又△ABO∽△CAO，2∴rOA2＝·＝R2R，OAR，∴OArR,OA422图∴cosθ＝OA1，答案为D。R42评论：本题重点观察柱体、锥体的体积公式及灵巧的运算能力。题型8：球的体积、表面积例15．已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且ABBCCA2，求球的表面积。解：设截面圆心为O，连结OA，设球半径为R，则OA23223，323在RtOOA中，OA2OA2OO2，∴R2(23)21R2，4R4，3264∴S4R。评论：正确应用球的表面积公式，成立平面圆与球的半径之间的关系。例16．如下图，球面上有四个点P、A、B、C，假如PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。分析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=2a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。2a由正弦定理，得sin60

=2r,∴r=6a。3又依据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=r2d2。又PO′=PA2r2=a22a2=3a，33∴OO′=R－3a=d=R2r2,(R－3a)=R–(6a)，解得R=3a,2223332S球=4πR2=3πa2。评论：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=3a,下略。2题型9：球的面积、体积综合问题例17．（2006四川文，10）如图，正四棱锥PABCD底面的四个极点A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，假如VPABCD16，则球O的表面积是（）3A．4B．8C．12D．16（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积。分析：（1）如图，正四棱锥PABCD底面的四个极点在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面A,B,C,DABCD，PO=R，SABCD2R2，VPABCD16，所以312R162R，R=2，球O的表面积是16，选D。33（2）作轴截面如下图，CC6，AC2623，设球半径为R，则R2OC2CC2R3，∴S球4R236，V球4R336。3评论：本题重点观察球截面的性质以及球面积公式，解题的重点是将多面体的几何因素转变成球的几何因素。例18．（1）表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。（2）正四周体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四周体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O的体积。1解：（1）设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA14，AC2a，又∵4R2324，∴R9，∴ACAC2CC282，∴a8，∴S表6423214576（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H由题设R6aR6a∵△AOF∽△AEG∴3，得R3a3a12626a2Rrr6∵△AOH∽△AOF∴3，得ra16aRR243V球O14r346a36a3∴33241728评论：正四周体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型10：球的经纬度、球面距离问题例19．（1）我国国都凑近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大概为6370km）（2）在半径为13cm的球面上有A,B,C三点，ABBCAC12cm，求球心到经过这三点的截面的距离。解：（1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半径，∴OKAK，设C是北纬40的纬线长，∵AOBOAK40，∴C2AK2OAcosOAK2OAcos40答：北纬40纬线长约等于3.066104km．（2）解：设经过A,B,C三点的截面为⊙O，设球心为O，连结OO，则OO平面ABC，∵AO312243，23∴OOOA2OA211，所以，球心到截面距离为11cm．例20．在北纬45圈上有A,B两点，设该纬度圈上A,B两点的劣弧长为2R（R为地球半径），求A,B两点间的球4面距离。解：设北纬45圈的半径为r，则r2R，设O为北4纬45圈的圆心，AO'B，∴r2R，∴2R2R，424∴，∴AB2rR，2∴ABC中，AOB3，所以，A,B两点的球面距离等于3R．评论：要求两点的球面距离，一定先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，从而求出这两点的球面距离。五．思想总结1．正四周体的性质设正四周体的棱长为a，则这个正四周体的全面积：S全=3a2；体积：V=2a3；12对棱中点连线段的长：d