偏微分方程的三类边界条件-Read

偏微分方程的三类边界条件：第一类边界条件(Drichlet条件)：在边界上指定场函数的分布形式，即S第二类边界条件（Neumann条件：在边界上指定场函数沿边界外法线方向的偏导数，即：nq 或(nxS

n

nz

)qS其中n、n、n 为边界外法向的方向余弦，q为定义在边界上的已知函数。x y z第三类边界条件（Robbin条件混合边界条件：在边界上指定场函数本身以及场函数沿边界外法线方向的偏导数的线性组合，即(hk ) fnn其中h2kn

S0，当h=0fqkn

，为第二类边界条件；当kn

0时，fh,为第一类边界条件。（算式来表示的解，因而通常使用其得数值解（某些离散节点上的解）代替（详见《有限元方法概论》第三章）将给定求解域（在我们的应用中可以将其认为是个空间区域）限个单元（二维的单元通常为矩形或三角形，三维为立方体或四面体）的集合：用有限元在给定域中划分有限元网格（网格由单元的顶点和边构成；将结点（顶点与单元编号；形成解此问题所需的几何性质。推导网格中所有典型单元的单元方程式：对典型单元建立给定微分方程的变分方程式假定因变量u具有以下形式una ，i ii1并将其代入前面的变分方程式，获得如下单元方程式：ke ue

Fe

；推导单元插值函数，并计算单元矩阵。其中单元近似函数的推导是先假u(x) c(e)(x)，然后i ii将此式代入单元边界条件中（场函数梯度值，求出ci用边界结点的场函数/场函数的梯度表示的表达式，再将ci

的表达式代回u(x)的表达式，对节点上场函数的系数进行归并，获得以节点上场函数u(e)/梯度值p(e)为未知系数，i iu(e)的系数为(e)(e)

u(e)(e)i i

i ii1为单元内场函数的近似表达式。将单元方程式集合起来，获得整个问题的方程式：法1：通过建立单元节点与整体节点之间的关系，将单元方程中的单元节点全部用整体节点表示，并通过补0的方式，将单位方程扩充为整体形式（扩充到系统方程的维数最后将经过扩充的单位方程的整体形式相加，最终获得整体方程。法2：N

(u(e))(e)＝0， 1e1T

T 其中I

(u(e))

u(e

K(e

u(e) u(e

F(e

（2）e i 2 i i i将（2）式代入（1）式得：nM

M ku(e)

F(e)

u(e)0e1i1

j

ij

i i利用单元节点与整体节点的关系将单元节点写为整体节点以及Ui为变分可是任意值）即可推出系统方程。引入问题的边界条件：

的系数应全为0（因系统方程中的未知数一般有两种：一种是节点处的场函数值（Ui

，另一类是节点处场函数的梯度值（pe。如不通过某种方法消去一些未知数，则系统方程不可解。第i点处一般可由物理意义推出，如此系统方程可解。解系统方程。后，我们可通过单元内场函数的近似函数推出单元内任意一点的场函数表达式。梯度定理grad(F)dxdydz

Fdxdydz

(

F)dxdydz

Fds

(n

jn

)Fds 散度定理

x y

x y zdiv(G)dxdydz

Gdxdydz

(GGy

)dxdydz

Gds(n

n

n

)dsxz x y zxz

x

y y z z其中表示区域的外表面上的外法向单位矢量，n＝cos(z,)z推论

＝cos(x,)，x

＝cos(y,)，yGdxdydzG)FdxdydzFGds (2F)GdxdydzFGdxdydzFGds n其中n

nnx

nx

n y zz关于二次二维偏微分方程的解研究对象：－(a

u

u)

u

u)

uf0x 11x

12y y

21x

22y 00变分公式推导：利用梯度定理以及等效积分法则可将上式化为： v

)

)a vu

ds0x

11x

12

21x

21

vf dxdyn(e)

(e)

(3)其中qn

n(a uax 11x

u)n(a y y 21

uxya21yn、nxy

为边界上的法向量在x、y轴上的分量。设u u

其中

满足： (x ,

)

(x,

)1j j j

i j

ij i j ji将u的表达式代入（3）式并将（3）式中的v用代替，得：in

j j

ij i

i(a

x

y)

x

y)a fdxdyuj1

(e)

11

y 21 21 00 i j i

j(e)

fdxdyi (e

qds0n i或

K(e)u(e)F(e) （4）j1其中K(e)

ij j i i(a j

ij) (a ja j)a f dxdyi ij (e)

11

12

y 21

21

00 i

i （5）F(e)

fdxdy

qds （6）i (e) i (e) n i插值函数：插值函数与单元的性质有关，二维有限元分析中主要使用三角形单元或矩形单元。三节点三角形单元的差值函数：设u(x,y)c1

cxc2

yu的表达式必须满足ui

u(x,yi

)c1

cx

cy

（5）其中u

代表三角形的三个顶点，节点逆时针编号。则可解出：ic 1 (x y1 2A 1 2 e

x y3

)u (x y2 3

xy1

)u (xy3 1

x y)2 1c 1 (y2 2A 1 e

y)u (y3 2

y)u(y1 3

y)2c 1 (x1 2A 1 e

x )u (x2 2

x )u (x3 3

x)1其中Ae

为三角形的面积2Ae

(xy2

xy3

)(xy31

xy1

)(xy1

xy)2 1将c的表达式代入式，可得三节点三角形得插值函数为：i1(e)i

2A e

xi

y) i=1,2,3 （6） xyi j k

xyk

y yi j

x xi k

ijk可将（5）式写成四个基本矩阵S

与矩阵

之和：K(e)

S

S

S12Ta

S22

S11 12 21 22 00s11

i

dxdy s12

i

dxdy s22

i

dxdyij x

ij x

ij y ys

dxdyij i j令f(e)

fdxdy Q(e)

qdsi (e)

i (e) n i利用（6）式可计算出：1 1 1s11

s12

s22 ij 4A i

ij 4A i

ij 4A i js 1

)x

)yij 4A i

i j j

i j j i1AA12

(3 xii1

9x2)i j

A(3 xy12 i i1

9xy)(i j

)j i

A(12i1

y2y2i i

j2A fA因为i

xyi i 3

则f(e)i

从而由三角形三顶点坐标可获得单元方程3边界积分的计算：Q(e)

q(e)(e)(s)ds 当(e)的一部分不与域的边界重合时，此积分为。当(e)的一i (e) n i部分与域的边界重合时，在这部分(e)上一般q(e)和(e)(s为已知，此积分能够计算。n i单位矩阵的组装：系统系数矩阵K

的元素k

k(e)

（当i，j、ij nmem为系统节点、j在单元e；kij

0（当i、j不在一个单元内时）系统方程的iFi

F(e)ne

(i为第i为第i个系统节点在单元e内所对应的单元节点号。)漫射方程有限元求解的过程稳态漫射方程： y,zD2y,z

2y,z

2y,

Sx,y,za

2

2 Da

1's

' s s

1g边界条件：y,z2y,z,n,y,zx,y,z0 y,z RAx,y,z,n,nR R1.4399n20.7099n10.66810.0636n测量方程： Q(x,y,z)Dv(x,y,z)x,y,z y,z y,z 2Ax,y,z,n,nB(a

D2)G2AD(V))y,y,

,y,z2,y,z

2y,z

2y,dxdydz a

x2

2

2 y,y,对上式分步积分得：x,y,zx,y,zDx,y,zx,y,z,

x,y,zx,y,z,

x,y,zx,y,z, a

x x y y z zDx,y,zx,y,z,n x

x,y,z,y n

x,y,z, z nz ds x,y,zSx,y,zdxdydz将边界条件带入上式得：y,y,Dx,y,zx,y,z,

y,zx,y,z,

y,zx,y,z,dxdydz a x x y y z z x,y,z

x,y,zds 2y,z,n,ny,y,将上式写为x,y,zx,y,z

y,zx,y,x,y,z

y,z2Ax,y,z,n,ndsx,y,y,zx,x,y,在一个单元中令

y,zk kk1

y,z

其中k

为在单元的第k个节点上的值， 为单元的第k个插值函数。k在一个单元中令Sx,y,zNp1

sryz 其中元素定义同上ppx,y,z x,y,zl将上面三式代入得：x,y,zTx,y,z

D

dxdydz

x,y,z

y,zk

dse l

k a

k k

e l

2Ax,y,z,n,nkkke l

x,y,zNsrx,y,zdxdydzppp1将上式写为：MeeFeSe其中 其中Meij e

x,y,zj

x,y,

Da

j

dxdydz e

x,y,zds bx,y,z

y,z

x,y,zj

e空集ei

iSesi

2Ax,y,z,n,n0否则Fe ij e

y,i

x,y,zdxdydz二维下三角形单元差值函数

x,y的推导：i设xyzc1

cxcy2 3节点逆时针编号则 c1

cx2

cy2 1 c2 c

cx2 cx

cy2 2cy3 1 2 3 2 3从上面三个方程可解得：c 1 (xy x

)(xyxy

)(xy xy)1 2A 1 2 3 3 e

2 3 1 1

3 1 2 2 1c 1 (

y)(y

y)(

y)2 2A 1 2 3e

2 3

3 1 2c 1 (

x )(

x)(x

x)1 2A 1 3 2e

2 1

3 2 1其中Ae

为三角形的面积2Ae

(xy2

xy3

)(xy31

xy1

)(xy1

xy)2 1将c的表达式代入，可得三节点三角形的插值函数为：i(ei

1 2A e

xy)i i

i= 1,2,3j= 2,3,1k= 3,1,2 xyi j k

xyk

y yi j

x xi k

ijk三角形面积积分的计算：(e))a(e))b(e))cdxdy2i j k

a!b!c!(abc

其中为三角形面积二维三角形单元矩阵的构造： 对内部单元，变分式中的边界积分项为 xy)( x y) D i i i j j j a i j i jijeMeije

dxdy

bx,ydse

4A2

4Ae

e a i j

Di j

i

a i

j

x a i

j

ya i

x2j a i

y2j

i j j

xydxdyee

ds

4A2ea i j

Di j

i

a i

j

x a i

yj i4Ae 3

4Ae 3

4Ae 3 exa i j i i

9x2 a i

yj ii1

9y2 a i

xy 9xyj i i ii148A

48A

48Ae

e e edsFe i

xi

y)( xy)j j j dxdyij e

A2 ea x yei j i j j i i j j i 4A 4Ae e3

4Ae3

3 x2iji i1iji

9x2 i

yj ii1

9y2 i

xy9xyi i ii148Ae

48Ae

48Ae三维四面体单元插值函数的推导：设xyzc1

cxc2

ycz4节点的编号顺序为从节点k看由i、j、m节点组成的三角形，节点i、j、m的排列为逆时针 c1 1

cx2

cy2

cz41 c2 1 c

cx2 cx

cy2 cy

cz4 2cz3 1 c4

2 3cx2

2 3cy2

4 3cz4 4