数学系高等代数考点讲义

—、高等代数在数学课程体系中的地位和作１．数学分析、高等代数、解析几何是数学类专业的三大基础课，而高等代数还是代数数论、代数几何、抽象代数、实变函数、泛函分析、拓扑学及计算数学类课程的重要基础．２．高等代数是数学相关类专业的入学考试的必考课程，初步统计近三年数百所高校的８８９个专业都将高等代数作为考研必考的专业基础课．３．高等代数重点研究一般对象的结构，将诸多数学结构进行抽象，表达为线性空间、线性变换、欧氏空间等抽象结构，从而使它成为数学中的语言．４．高等代数的一般性、抽象性的特点，对培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力有重要作用二、研究内１．基本对象：线性空间２．主要：线性变换 矩阵；３．基本方法：初等变换；４．局限性（１）线性空间（线性变换）在域上定义，限制了它的应用范围．如果将域一般化为环，即研究环上的线性空间理论，即为模论．（２）线性空间缺乏度量性质，若考虑几何度量，即产生欧氏空间理论，考虑距离度量，即产生距离空间，考虑几何度量，即产生拓扑空间等．三、选主要参考：《高等代数》（第三版），高等教育，２００３，数学系几何与代数教研室代数小组编．１．该的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点．２．采用该的学校所占比例非常大．３．该荣获高等学校优秀材．４．该习题编排较好，有梯度四、考题综述及变化趋纵观近几年名校高研，有以下特点１．从题型看，以证明题和计算题为主，个别学校设有填空题．从分值看，每道题满分在１０至２０分之间．这些特点表明，各校的考研题注重综合性和灵活性．２．从内容看，的热点有（１）矩阵理论中山大学２０１２年考题中，１２道题中有８道题分别了矩阵的行列式、矩阵的特征值和特征１量、矩阵的若当、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概念，分值占到１５０分中的１０５分．厦门大学２０１２年考题中，１６道题中有１０道题了矩阵的相关概念和理论．院２０１２年考题中，８道题中有５道题了矩阵的相关内容．（２）线性空间和线性变换理论２０１２年试题中，９道题中有４道题了线性空间及线性变换的内容，占到１５０分中的７０分（３）多项式理论多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到１５０分的１５分至２５分，但这部分内容是各校考试题中的必考内容．３．从方法看，的热点有（１）矩阵的初等变换方法（２）特征值和特征向量方法（３）标准正交化方法（４）子空间直和的判定方法．４．发展趋势（１）题型仍会以证明题和计算题为主，因为考试重点学生分析问题的能力及综合利用知识解决问题的能力．但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的有上升的趋势（２）内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容（３）注意新的概念和新的理论的出现中山大学２００１年了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念（４）反问题的（航天航空大学２０１１）（２０分）设二次型ｆ（ｘ，ｘ，ｘ）＝ａ（ｘ２＋ｘ２＋ｘ２）＋２ｂ（ｘｘ＋ｘｘ １ １ｘｘ）经过正交变换Ｘ＝ＣＹ化为二次型３ｙ２＋３ｙ２，求参数ａ，ｂ的值及正交矩阵２ 五、辅导内容和形高等代数考研辅导第一阶段分为三部分《考点精讲及复习思路》、《名校过关精讲精练》、《冲刺串讲及模拟卷》１．《考点精讲及复习思路》（约４０讲《考点精讲及复习思路》以章为单位，围绕考研知识要点，精选各校考研，强化基本概念，注重提炼数学思想和方法，利型例题来阐述如何运用基本理论和知识去分析问题、解决问题的方法．每个章节具体辅导内容（１）本章考情分析：常考题型，分值分布，本章重点，本章难点（２）本章考点之间联系，复习思路（３）本章要点精讲２（４）本章技巧点，方法点的总结，包括难题选讲２．《名校过关精讲精练》（约３０讲《名校过关精讲精练》按辅导内容分为五部分：多项式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性空间理论（包括线性变换和欧氏空间）．（１）精选习题ａ）选取名校近年的考研；ｂ）选取有一定难度的考研；ｃ）选取综合性强的；ｄ）选取的要达到足够的量，以保证对重要知识点的覆盖面；（２）注重总结方法（３）注意总结分类３．《冲刺串讲及模拟卷》（约１０讲通过前两轮的复习，在考试前期，对之前的考点进行系统的串讲．从而使考生查漏补缺，整体把握．通过模拟试卷的练习，进行最后冲刺．３上研途进 大第一 多项—、本章考情分本章是以多项式为重点展开的，多项式是高等代数的重要组成部分，它相对独立、自成体系，但为高等代数的后续内容提供了理论依据．同时也是编码、等重要应用领域的数学工具．常考题型：基本以证明题出现分值分布：分值不等，有１０分，１５分，甚至有２０分的综合题本章重点：本章对多项式理论进行了深入、系统、全面的论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，考研以一元多项式为主．一元多项式理论可归纳为四个方面：一般理论、整除理论、因式分解理论、根理论．本章的重点是多项式的整除与因式分解理论．整除是本章的基础．在多项式理论中，最基本的结论有：带余除法、最大公因式表示定理、两个多项式互素的充要条件、因式分解唯一性定理．而贯穿本章的是将多项式分别在复数域，实数域及有理数域上分解成不可约多项式的乘积．至今没有解决的问题是将整系数多项式能否分解成两个次数都比它低的整系数多项式的乘积．在复习的过中，要重点把握这两个重点和四个结论．本章难点１．关于两个多项式的最大公因式证明的习题有一定难度，可以利用习题中的第８题作为定理，它在证明最大公因式的问题中会有很好的效果．２．关于两个多项式互素的证明，也有较大的难度，可以充分利用定理３．关于整除性的证明，既是重点，也是难点．要注意应用根理论、因式分解和相关性质来解决这一问题二、本章考点之间联系及复习思１．考点之间的联定数域定一元多项 定 性多项

多项式的整除性性多项式的最大公因

最大公因式定义，定理互素定义，定理互素的性因式分解定

不可约多项式的概念性因式分解唯一定重因

多项式的导数及性多项式的重因式（重因式的判别定理多项式定多项式函

余式定理，综合除本原多项式的概念和艾森斯坦因判别有理系数多项

有理系数多项式的有理４２．复习思

数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大１）本章的解题思路可以概括为“概念＋性质＋技巧”，即：深刻理解概念，熟练掌握性质，灵活运用技巧．２）本章的特点之一是与中学教系比较密切，例如多项式的运算及运算律，多项式的求根，多项式的因式分解．因而要熟悉中学教学中有关多项式的运算、技巧和结论．３）特点之二习题难度较大，证明题较多，为突破这一难点，一方面多作些例题，另外一些抽象的问题时，先考虑具体的简单的情况．三、本章要点精要点３． 数域的概念及性【３－１】证明：有理数的全体构成数域，而且是最小的数域（或任何数域包含有理数域）【３－２】设Ｑ（槡２）＝｛ａ＋ｂ槡２ａ，ｂ∈Ｑ｝，则Ｑ（槡２）构成数域【３－３】设Ｐ是素数，Ｑ（Ｐ）＝｛ａ＋ｂ槡Ｐａ，ｂ∈Ｑ｝构成数域，当Ｐ１≠Ｐ２时，Ｑ（）≠Ｑ（）．【３－４】Ｈ 【３－４】Ｈ ｂ０＋ｂ１π＋…＋则Ｈ构成数域【３－５】不构成数域的例子

ａｉ，ｂｊ∈Ｚ．ｍｎ非整例如Ｚ，Ｈ＝｛ａ＋ｂｉａ，ｂ∈ｚ．ｉ２＝－要点３． 多项式的一般理论：概念、运算、性【３－６】（大学入学试题）设ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，若ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）·ｆ（ｙ），则ｆ（ｘ）＝０或ｆ（ｘ）＝１．思路提示：多项式的定义、运算、次数等概念【３设ｆ（ｘ）是一个多项式，证明ｆ（ｘ）＝ｋｘ（ｋ为常数）的充分必要条件是ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）．【３－８】设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）是实数域上多项式．１）如果ｆ（ｘ）＝ｘｇ２（ｘ）＋ｘｈ２（ｘ）明ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＝ｈ（ｘ）＝０；２）在复数域上，上述命题是否成立要点３． 整除理论：带余除法、整除、最大公因式、互【３－９】（大连理工大学，２００４）设Ｒ，Ｑ分别表示实数域和有理数域，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）属于Ｑ［ｘ］．证明：（１）若在Ｒ［ｘ］中有ｇ（ｘ）｜ｆ（ｘ），则在Ｑ［ｘ］中也有ｇ（ｘ）｜ｆ（ｘ）（２）ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｑ［ｘ］中互素，当且仅当ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｒ（ｘ）中互素；思路提示：（１）假定在Ｑ［ｘ］中ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）５上研途进组上研途进组那么ｆ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｇ（ｇ）＋ｒ（ｘ），ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，且（ｒ（ｘ））＜（ｇ（ｘ））．以上等式在Ｒ［ｘ］中也成立所以在Ｒ［ｘ］中ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）．因此，结论成立（２）如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｑ［ｘ］中互素那么存在ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，使ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ）＝１．以上等式在Ｒ［ｘ］中也成立，所以，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｒ［ｘ］中互素．如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在Ｑ［ｘ］中不互素，那么存在ｄ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，（ｄ（ｘ））≥１，ｆ（ｘ）＝ｄ（ｘ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｄ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，以上两个等式在Ｒ［ｘ］中成立，因此，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在Ｒ［ｘ］中不互素【３－１０】（大学， 设ｘｎ－１｜（ｘ－１）［ｆ（ｘｎ）＋ｘｆ（ｘｎ）＋ｘ２ｆ（ｘｎ）＋…＋ｘｎ－２ （ｘｎ）］（ｎ≥２），证明：ｘ－１｜ｆ ＝１，２，…，ｎ－１）思路提示：整除、范德蒙行列式、ｎ次根、根与一次因式的关系 ｘｎ－１＋ｘｎ－２＋…＋ｘ＋１｜ｆ（ｘｎ）＋ｘｆ（ｘｎ）＋ｘｆ（ｘｎ）＋…＋ｘｎ （ｘｎ）令ε是ｎ次本原单 那ｆ（１）＋ε（１）＋εｆ（１）＋…ｎ （１）＝

ｆ（１）＋εｆ（１）＋（ε２）２ｆ（１）＋…＋（ε２）ｎ－ （１）＝ …………

ｆ（１）＋

ｆ（１）＋

ε

）２ｆ（１）＋…＋

ε

）ｎ－

（１）＝ 以上关于ｆ１（１），ｆ２（１），…，ｆｎ－１（１）的齐次线性方程组的系数行列式为 εｎ－２ （ε２） （ε２）ｎ－ ε－ （ε－１） （ε－１）ｎ－齐次线性方程组只有零解，于是ｆ１（１）＝ｆ２（１）＝ ＝ｆｎ－１（１）＝０，所以ｘ－…，ｎ－【３－１１】（云南大学入学试题

ｆｉ（ｘ），ｉ＝１，证明：设ｆ（ｘ），ｈ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，且（ｘ２＋１）ｈ（ｘ）＋（ｘ＋１）ｆ（ｘ）＋（ｘ－２）ｇ（ｘ）＝０，（ｘ２＋１）ｈ（ｘ）＋（ｘ－１）ｆ（ｘ）＋（ｘ＋２）ｇ（ｘ）＝０，则ｘ２＋１ｆ（ｘ），ｘ２＋１ｇ（ｘ）思路提示：整除、根与因式的关系、互素的性质【３－１２】（大学期末试题）若（ｘ－１）ｆ（ｘｎ），问是否必有（ｘｎ－１）ｆ（ｘｎ）６思路提示：整除、根与因式的关系、变量代换

数学系《高等代数》考点精讲及复习思上研途进 大【３－１３】（大连理工大学，２００２）设ｐ［ｘ］为数域ｐ上的多项式环，ｆ（ｘ）ｆ２（ｘ）∈ｐ［ｘ］ｆ１（ｘ）ｆ（ｘ）互素证明：对于任意ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ）∈ｐ［ｘ］，存在ｇ（ｘ）∈ｐ［ｘ］，使得ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ），ｉ＝１，２思路提示：由ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）互素，那么存在ｕ（ｘ），ｕ（ｘ）∈ｐ［ｘ］，使ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）１，于ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）ｇ１（ｘ）＋ｆ２（ｘ）ｕ２（ｘ）ｇ１（ｘ）＝ｇ１（ｘ）ｆ１（ｘ）ｕ１（ｘ）ｇ２（ｘ）＋ｆ２（Ｘ）ｕ２（ｘ）ｇ２（ｘ）＝ｇ２（令ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）ｇ（ｘ）于是ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）ｇ（—ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）（ｕ（ｘ）ｇ２（ｘ）－ｕ１（ｘ）ｇ（ｘ））所以ｆ（ｘ）｜ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ），同理ｆ（ｘ）｜ｇ－ｇ（ｘ）．要点３．４ 因式分解理论：不可约多项式、因式分解、重因式、实数域和复数域上的多项式的因式分解、有理系数多项式的不可约判别．【３－１４】（大学，２００１）ａ１，ａ２，…，ａｎ是不同的整数，证明ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ＋１在有理数域上不可约或是某一有理系数多项式的平方思路提示：如果ｆ（ｘ）在有理数域上不可约，则结论成立．如果ｆ（ｘ）在有理数域上可约，则ｆ（ｘ）可以写成两个次数比它低的整系数多项式的乘积．令ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｘ），．（ｆ（ｘ））＜ｎ．，（ｆ（ｘ））＜ｎ，由ｆ（ａｉ）＝１，ｉ＝１，…，ｎ，则ｆ（ａｉ）ｆ（ａｉ）＝１，又ｆ（ａｉ），ｆ（ａｉ）∈Ｚ，于是ｆ（ａｉ）＝ｆ（ａｉ），ｉ＝１，…，ｎ，那么（ｘ）＝ｆ（ｘ），所以．．思路拓展：设ａａ…，ａｎ是不同的整数证明ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ａ）…（ｘ－ａｎ）－１在有理数域上不可约【３】（大连理工大学，２００４）设ｆ（ｘ）是Ｑ［ｘ］中不可约多项式，则ｆ（ｘ）的根都是单根．思路提示：ｆ（ｘ）是Ｑ［ｘ］中的不可约多项式，则（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝１，否则（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝ｄ（ｘ）≠１，则ｆ（ｘ）有重因式，与ｆ（ｘ）不可约．于是ｆ（ｘ）没有重因式，所以ｆ（ｘ）的根都是单根．【３－１６】（首都师大入学试题 设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ＋２！＋３！＋…＋ｐ！是有理系数多项式，其中ｐ是素数．证明（１）ｆ（ｘ）在复数域上没有重根（２）ｆ（ｘ）在有理数域中不可约．思路提示：（１）容易验证（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝１，所以ｆ（ｘ）在复数域上没有重根７上研途进组上研途进组（２）ｐ！ｆ（ｘ）＝ｐ！＋ｐ！ｘ＋３…（ｐ－１）ｐｘ２＋４…（ｐ－１）ｐｘ３＋…＋ｐｘｐ－１＋ｘｐ存在素数ｐ（ｉ）ｐ不能整除１（ｉｉ）ｐ｜ｐ，…，３，…（ｐ－１）ｐ，ｐ！，ｐ！（ｉｉｉ）ｐ２不能整除ｐ！由Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法，ｐ！ｆ（ｘ）在有理数域上不可约，于是ｆ（ｘ）在有理数域上不可约【３－１７】（大学，１９９７）Ｆ是任意一数域，ｆ（ｘ）是Ｆ上的一元多项式，首项系数为ａ，次数为ｎ，证明ｆ′（ｘ）｜ｆ（ｘ）当且仅当存在ｂ∈Ｆ，使ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）ｎ．思路提示：如果ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）ｎ，ｆ′（ｘ）｜ｆ（ｘ）反之，令ｆ（ｘ）＝ａｐｋ１（ｘ）ｐｋ２…ｐｋｔ（ｘ），ｋ＋ｋ＋…＋ｋ＝ 那么ｆ′（ｘ）＝ｃｐｋ１－１（ｘ）ｐｋ２－１（ｘ）…ｐｋｔ－１（ｘ）ｇ（ｘ） ｐｉ（ｘ）不能整除ｇ（ｘ），ｉ＝１，…，ｔ，（ｆ′（ｘ））＝ｎ－由ｆ′（ｘ）｜ｆ（ｘ），于是（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝ｄｆ′（ｘ），其中ｄ是ｆ′（ｘ）首项系数的倒数而ｈ（ｘ） ｆ（ ＝ａｐ（ｘ）ｐ（ｘ）…ｐ（ｘ）＝ｆ（ 是一次多项式，令ｈ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ） ｄｆ′（１于是ｔ＝１，ｐ（ｘ）＝ｘ－ｂ所以ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｂ）１要点３．５ 多项式的分析理论：多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数关系．【３－１８】（西学入学试题）设ｆ（ｘ）为满足下列条件的次数最大的整系数多项式 ①ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋ａｘｎ－１＋…＋ ｘ＋ｐ，ｐ为质数 ②ｆ（ｘ）恰有ｎ个不同的有理根；试求ｆ（ｘ）的次数ｎ及所有根．思路提示：由有理系数多项式有理根的求法知，可能的有理根只能是１，±ｐ，由ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－ｐ）（ｘ＋ｐ）．从而ｆ（ｘ）的次数为４，有理根是±１，±ｐ．【３（华东师大，１９９７）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根的充分必要件是存在有理系数多项式．．， α

＝ｆ（α 思路提示：先证必要性，设ｇ（α＝０，ｇ（ｘ）＝ａｘｎ＋ ｘｎ－１＋…＋ａｘ ｇ（α＝ａαｎ＋ αｎ－１＋…＋ａα＋ａ 那么ａαｎ＋ αｎ－１＋…＋ａα＝ 若ａ０≠０，

－ａｎαｎ－１－…－ａ２α－ａ１α＝１， 令ｆ（ｘ）＝－ａｎｘｎ－１－…－ａ２ｘ－ａ１，则 １＝ｆ（α． 若ａ０＝０，依次查看ｇ（ｘ）的系数ａａ…，ａｎ 令第一个不为零的是ａ，则ｇ（ｘ）＝ａｘｎ＋ａｘｎ－１＋…＋ａｘｋ，ｇ（α＝ａαｎ＋ ｋ＋１＋ａｋ＝０ ｋ 于８数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大 ｋ ｋ αｋ（ａαｎ－ｋ＋ａ αｎ－ｋ－１＋…＋ａ 从而ａαｎ－ｋ＋ａ αｎ－ｋ－１ ｋ ｋ 利用上述方法同样可以找出ｆ（ｘ）， α

＝ｆ（α再证充分性，ｆ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］． α

＝ｆ（α那么有ｆ（α－１＝０，令ｇ（ｘ）＝ｘｆ（ｘ）－显然ｇ（ｘ）是非零的有理系数多项式，使ｇ（α＝ｆα－１＝０【３】求ｆ（ｘ）＝ｘ５－ｘ４－５ｘ３＋２ｘ２－１ｘ－３的有理根．±３± 思路提示：作φ（ｘ）＝２ｆ（ｘ）＝２ｘ５－２ｘ４－５ｘ３＋４ｘ２－ｘ－６，φ（ｘ）与ｆ（ｘ）有相同的根，φｘ）能的有理根是，±２，，．±６．，±２

，±２

，检验可知－１，２是ｆ（ｘ）的单根四、本章小结【主要总结本章的技巧点，方法点４． 关于最大公因式的证明，一般有以下几种方法（１）利用定义（２）证明等式两边能互相整除（３）如果ｆ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ），ｇ（ｘ）≠０，那么（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝（ｇ（ｘ），ｒ（ｘ））（４）如果ｄ（ｘ）ｆ（ｘ），ｄ（ｘ）ｇ（ｘ），且有ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｐ［ｘ］，使ｄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ），则ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式【４－１】（交通大学，２００４）假设ｆ１（ｘ）与ｆ２（ｘ）为次数不超过３的首项系数为１的互异多项式，假设ｘ４＋ｘ２＋１整除ｆ（ｘ３）＋ｘ４ｆ（ｘ３）试求ｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）的最大公因式． 思路提示：ｘ４＋ｘ２＋１＝（ｘ２＋１）２－ｘ２＝（ｘ２＋ｘ＋１）（ｘ２－ｘ＋１），它的４个根ω１，ω２，ε１，ε２，其中

＝－１＋）３ｉ，２

＝－１－槡３ｉ，２２２

＝１＋）３ｉ，１２１

＝１－）３ｉ，２ｆ（ｘ３）＋ｘ４ｆ（ｘ３）＝（ｘ４＋ｘ２＋１）ｇ（ｘ）．于是有方程组２ｆ１（１）＋ω１ｆ２（１）＝０ｆ１（１）＋ω２ｆ２（１）＝ｆ１（－１）－εｆ２（－１）＝０ｆ１（－１）－ε２ｆ２（－１）＝解方程组，ｆ（１）＝ｆ（１）＝０，ｆ（－１）＝ｆ（－１）＝０，于是（ｘ＋１）（ｘ－１）ｆ１（ｘ），（ｘ＋１）（ｘ－１）ｆ２（ｘ）而ｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）是互异的次数不超过３的多项式９ 所以（ｆ（ｘ），ｆ（ｘ））＝ｘ２－１

上研途进 大【４（兰州大学，２００４）设ｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）是数域Ｆ上的两个不完全为零的多项式，令Ｉ＝｛ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ）｜ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｆ［ｘ］｝，试证ｈ（ｘ）ｋ（ｘ）∈Ｉ；（２）Ｉ中存在次数最小的首项系数为１的多项式ｄ（ｘ），并且ｄ（ｘ）＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））．思路提示：（１）容易证明，略；（２）考虑Ｉ０＝｛（ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ））｜ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｆ［ｘ］，且ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ）≠，则Ｉ０是非负整数的一个子集，由最小数原理，Ｉ０中存在最小数，也就是说，Ｉ中存在次数最小的首项系数为１的多项式ｄ（ｘ）＝ｕ１（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ１（ｘ）ｇ（ｘ），令ｈ（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ）是Ｉ中任意多项式，令ｈ（ｘ）＝ｄ（ｘ）ｑ（ｘ）＋ｒ（ｘ），ｒ（ｘ）＝０，或者（ｒ（ｘ））＜（ｄ（ｘ））（ｒ（ｘ））＜（ｄ（ｘ）），则ｒ（ｘ）＝ｈ（ｘ）－ｄ（ｘ）ｑ（ｘ）由（１）ｒ（ｘ）∈Ｉ，．于是ｒ（ｘ）＝０，所以ｄ（ｘ）｜ｈ（ｘ），显然ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｉ，那么ｄ（ｘ）｜ｆ（ｘ），ｄ（ｘ）｜ｇ（ｘ）如果ｐ（ｘ）｜ｆ（ｘ），ｐ（ｘ）｜ｇ（ｘ），则ｐ（ｘ）｜ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｖ（ｘ）ｇ（ｘ），即ｐ（ｘ）｜ｄ（ｘ），所以ｄ（＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））４． 证明互素的方法有（１）利用定义（２）反证法（３）存在ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｐ［ｘ］，使ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ）＝１是ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）互素的充要条件【４－３】（，２００２）设ｆｎ（ｘ）＝ｘｎ＋２－（ｘ＋１）２ｎ＋１，证明：对任意的非负整数ｎ，（ｘ２＋ｘ＋１，ｆｎ（ｘ））＝１．思路提示：反证法、不可约多项式的性质．因为ｘ２＋ｘ＋１是有理数域上的不可约多项式于是ｘ２＋ｘ＋１｜ｆｎ（ｘ）或者（ｘ２＋ｘ＋１，ｆｎ（ｘ））＝１．假定ｘ２＋ｘ＋１｜ｆｎ（ｘ），令ε是三次本原单位根，则ε＝１，ε＋ε＋１＝０，且ｆｎ（ε＝０而ｆｎ（ε＝ε＋２－（ε＋１）２ｎ＋１＝ε＋２－（－ε）２ｎ＋１＝ε＋２＋ε４ｎ＋２＝ε＋２（１＋３）＝２ｎ≠０．于是（ｘ２＋ｘ＋１，ｆ（ｘ））＝１．【４－４】（首都师大入学试题）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］（１）证明：如果（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，则（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１（２）一般情况下，（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））是否成立思路提示：互素的充要条件

数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大（１）设（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，则存在ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）∈Ｐ［ｘ］，使ｆ（ｘ）ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｖ（ｘ）＝１．则（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））ｕ（ｘ）＋ｇ（ｘ）（ｖ（ｘ）－ｕ（ｘ））＝１（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））ｕ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｕ（ｘ）－ｖ（ｘ））＝１即（ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１，（ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１再由（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，有（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝１（２）不成立．令ｆ（ｘ）＝ｘ，ｇ（ｘ）＝－ｘ，（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））＝－ｘ２，（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝ｘ，故（ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））≠（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））．４． 证明整除性的方法有（１）利用定义（２）反证法（３）根方法（４）因式分解法【４（华东师大，１９９６）已知ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是数域Ｐ上的两个一元多项式，ｋ是给定的正整数，求证：ｆｋ（ｘ）｜ｇｋ（ｘ）则ｆ（ｘ）｜ｇ（ｘ）．思路提示：整除、多项式的因式分解．令ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的标准分解式为ｆ（ｘ）＝ａｐｒ１（ｘ）ｐｒ２（ｘ）…ｐｒｔ（ｘ） ｇ（ｘ）＝ｂｐｓ１（ｘ）ｐｓ２（ｘ）…ｐｓｔ（ｘ） 其中ｐｉ（ｘ）是首项系数为１的互不相同的不可约多项式，ｒｉｓｉ是非负整数，ｉ＝１，…，ｔ．ｆｋ（ｘ）＝ａｋｐｋｒ１（ｘ）ｐｋｒ２（ｘ）…ｐｋｒｔ（ｘ） ｇｋ（ｘ）＝ｂｋｐｋｓ１（ｘ）ｐｋｓ２（ｘ）…ｐｋｓｔ（ｘ） 由ｆｋ（ｘ）｜ｇｋ（ｘ），那么ｋｒ≤ｋｓ，ｉ＝１，…，ｔ．于是ｒｉ≤ｓｉ，ｉ＝１，…，ｔ，所以ｆ（ｘ）｜ｇ（ｘ） 思路拓展：（首都师大入学试题）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，ｍ是给定的正整数．证明：ｆ（ｘ）ｍｇ（ｘ）ｍ当且仅当ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）．４． 有理系数多项式不可约的判定与证明的方法有（１）利用定义（２）艾森斯坦判别法（３）反证法（４）有理根方法上研途进 大【４－６】证明下列多项式在Ｑ上不可约：１）ｘ６＋ｘ３＋１；２）ｘ４－１０ｘ２＋１１）令ｘ＝ｙ＋１；则ｆ（ｙ＋１）＝（ｙ＋１）６＋（ｙ＋１）３＋＝ｙ６＋ｃ５ｙ５＋ｃ４ｙ４＋ｃ３ｙ３＋ｃ２ｙ２＋ｃ１ｙ＋ ＋ｙ３＋ｃ２ｙ２＋ｃ１ｙ１＋ 取ｐ＝３，应用艾森斯坦判别法即可 ２）反证法．设ｆ（ｘ）＝ｘ４－１０ｘ２＋１＝ｆ（ｘ）ｆ（ｘ），其 ｆｉ（ｘ）∈Ｑ［ｘ］，（ｆ１（ｘ））＜（ｆ（ｘ）），（ｆ２（ｘ））＜（ｆ（ｘ））．若ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）中有一次多项式，则ｆ（ｘ）有有理根，． 故ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ａｘ＋ｂ）（ｘ２＋ａｘ＋ｂ）＝ｘ４－１０ｘ２ 比较系数ａ１＋ａ２＝ｂ１＋ｂ２＋ａ１ａ２＝－ｂｂ＝１ 解之，得ａ２＝１２或８，即ａ Ｑ， 数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大第二 行列—、本章考情分本章主要行列式的概念、计算和应用．行列式是高等代数的基本概念，也是线性方程组、矩阵、二次型和线性空间理论的重要工具．行列式是考试的必考内容之一．常考题型：主要以证明题或计算题的形式独立出现，也常常出现在其他部分的考查内容中．分值分布：分值不等，有１０分，１５分，或２０分．本章重点１．利用行列式性质计算行列式（行列式的初等变换）２．利用行列式按行（列）展开定理计算行列式（降阶法）．本章难点：本章的重点是行列式的计算，难点是观察、分析行列式的特点，探索、寻找最佳的解题思路二、本章基本内容及复习思１．基本内１）逆序、逆序在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．２）ｎ级行列

ｊ１ｊ２…

３）行列式与其转置列式相等即Ｄ＝ＤＴ４）用一个数乘行列式等于用这个数乘行列式某一行（列）的所有元素，或行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．５）如果行列式中有两行相同，那么行列式零．６）如果行列式中两行成比例，那么行列式为零．７）对换行列式中两行的位置，行列式反号．８）把一行的倍数加到另一行，行列式不变． ………………ｂ１＋ｂ２＋…ｂｎ＋＝…＋…………………

１０）ａｋ１Ａｉ１＋ａｋ２Ａｉ２＋…＋ａｋｎＡｉｎ＝

Ａ，ｉ＝

上研途进 大

＋

＋…＋

０，ｉ≠０，ｊ≠ｋ其中Ａｉｊ是元素ａｉｊ的代数式一切ｋ级子式与它们的代数式的乘积的和等于行列式Ｄ．２．考点之间的联系３．复习思路方法１）熟练掌握初等变换和降阶法２）分析特点，总结方法；３）掌握技巧，灵活应用．三、本章要点精讲要点３．１逆序数与行列式定【３－１】（Ｐ９６习题５）设．｛ｘｘ２，ｘｎ｝＝｛１，２，…，ｎ｝．，且τｘｘ２，ｘｎ）＝ｋ，求τｘｎ，…，ｘ１）思路提示：τｘｘ２…，ｘｎ）＋τｘｎ，ｘｎ…，ｘ１）＝【３－２】（Ｐ９７习题８，３）用定义计算ｎ阶行列００…０１０００…２００Ｄｎ０ｎ－…０００ｎ－０…０００００…００ｎ【３－（补充２）明ａ１１（ ａ１２（ ａ１ｎ（ａ１１（

ａ１２（

ａ１ｎ（

ａ ２１（ａ

（

（ ＝

ａｉ１（

ａｉ２（

ａｉｎ（

ｉ１ ａｎ１（ ａｎ２（ ａｎｎ（

ａｎ１（ｔ） ａｎ２（ｔ） 【３－４】求极ｘ １２ ｓｉｎｘｘ １＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ— 要点３． 利用行列式性质计算行列１１１２１１３１１………ｎ－１１－ｎ１－１………………１１１２１１３１１………ｎ－１１－ｎ１－１………………１１１－…１１１１－１…１１Ｄｎ

数学系《高等代数》考点精讲及复习思上研途进 大【３－６】（华东师大，１９９４）计算ｎ阶行列ａ１＋ — Ｄｎ － －

ｎ中Πｘｉ０ｉｆ１（ａ１ｆ１（ａ２ｆ２（ａ１ｆ２（ａ２……ｆｎ（ａ１ｆｎ（ａ２…………ｆ１（ａｎｆ２（ａｎ…ｆｎ（ａｎ【３－７】（大学，１９９８）设ｎ≥２，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）ｆ１（ａ１ｆ１（ａ２ｆ２（ａ１ｆ２（ａ２……ｆｎ（ａ１ｆｎ（ａ２…………ｆ１（ａｎｆ２（ａｎ…ｆｎ（ａｎ＝并举例说明条件“次数不超过ｎ－２”是不可缺少的（ａ－１）…（ａ－ｎ）（ａ－１）…（ａ－ｎ）（ａ－１）…（ａ－ｎ）（ａ－１）…（ａ－ｎ）Δ＝…

ａ－

要点３． 行列式按行（列）展【３－９】（华东师大，１９９５）计算ｎ阶行列０１１１Ｄｎ００１１０【３－１０】计２ｎ阶行列

上研途进 大Ｄ２ｎ

要点３． 乘则及应【３－１１】（厦门大学） ｆ（ｘ）＝ａｘｎ＋ａｘｎ－１＋…＋ａ 的ｎ个根为α，α，…，α．又记

（α－α）２……证明：ｆ（ｘ）有重根的充要条件是Δ

＝０其中ｓｋ＝α＋α＋…＋α（ｋ＝０，１，…） 要点３． 克拉默法【３设ｂ，ｃ，ｄ是不全为零的实数，证明线性方程ｂｘ２＋ｃｘ３＋ｄｘ４＝－ －ｄｘ＋ｃｘ＝ －ｃｘ１＋ －ｂｘ４＝－ｄｘ－ｃｘ＋ ＝ 仅有零解数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大四、本章小结【主要总结本章的技巧点，方法点几种常见的行列式计算方法１．化三角形法：利用行列式的性质，将行列式化成上（下）三角行列式ｘ１４ｘ４２４２……４２１２ｘ２…２１２２ｘ…２……………… ｘ１４ｘ４２４２……４２１２ｘ２…２１２２ｘ…２……………… 法：将行列式Ｄ按某一行展开或将Ｄ按某ｋ行展开，将较高阶的行列式化成较低阶的Ｄｎ２．降 ２—０１２１０—２………００００００………………０００…２—２—０１２１０—２………００００００………………０００…２—０００…—２Ｄｎ３．升阶法：将ｎ阶行列式Ｄ增加一行一列变成ｎ＋１阶行列式，使它更容易计算【４－３】（师大，１９９５）计算ｎ阶行列式ｘ＋１ ｘ＋２ Ｄｎ ｘ＋ ｘ＋４．拆项法：将行列式Ｄ的某一行都写成两个元素和的形式，将Ｄ表成两个行列式的和【４－４】（中南大学，２００１）求证 ｂ…Ｄ ｂ…

ａ＝ａｆ（ｂ）－ｂｆ（ａ－ 其中ｆ（ｘ）＝（ｘ１－ｘ）…（ｘｎ－ｘ），ａ≠ｂ５．递推法：利用行列式的性质将ｎ阶行列式Ｄｎ用较低阶的形状与Ｄｎ完全一样的行列

Ｄｎ－２１６．数学归纳法：先观察Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３，…，得出猜想，然后用数学归纳法证明１＋ｘ０ｙ１＋ｚ１＋………００…………１＋ｘ０ｙ１＋ｚ１＋………００………………０００…１＋ｙ０００…ｚ１＋

上研途进 大Ｄｎ

，其中ｘ＝ｙｚ７．范德蒙型行列式的计算【４－６】（大学，２００１）计算行列１１１……１……………ｘＤ＝ ｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘｘ

ｘｎ－ｎｎ ｘｎ－ｎｎｎ ｎ数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大第三 线性方程—、本章考情分线性方程组理论是数学各分支的重要基础，在许多领域有广泛的应用．本章主要线性方程组有解的判别条件、解的个数、求解方法以及解的结构等内容．线性方程组理论是考试的主要内容之一．常考题型：主要以计算题形式出现，也有部分证明．分值分布：分值不等，有１０分，１５分，或２０分．本章重点：三个中心问题，如何求解？如何判定有解？解的结构如何？三种解决方法１．求解线性方程组的基本方法 消元法（矩阵的初等变换法），即对线性方程组的增广矩阵施行初等变换化为阶梯形矩阵求解．２．线性方程组有解的判定方法：通过引入向量的线性相关、秩与极大线性无关组、矩阵的秩等概念，给出了线性方程组有解的充要条件．３．利用向量空间的概念研究了线性方程组解的结构．本章难点：２．本章

难点之一是线性相关性的概念，它相对抽象，对逻辑推理要求较高难点之二是含参数的线性方程组的求解，因为它综合考查矩阵的秩的确定，线性方程解的情况的判定，求解方法及解的结构二、本章基本内容及复习思１．基本内大线性无关

线性关 ｎ维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，，向量组等价，向量组的秩 矩阵的秩＝矩阵行（列）向量组的秩，即矩阵的行（列）秩＝不为零的子式的大级数，初等变换不改变矩阵的秩，用初等变换计算矩阵的秩．３）线性方程组的解的情形线性

程组有解的判定：有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等②线性方程组解的个数：当秩（Ａ）＝秩（Ａ）＝ｎ，方程组有唯一解当秩（齐次零解４）线性

＝秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ，方程组有无穷多解性方程组解的情形：当秩（Ａ）＝ｎ，方程组只有零解；当秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ，方程组有程组解的结①齐次线性方程组的基础解系②当秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ，齐次线性方程组全部解可表示为ｋ１η１＋ｋ２η２＋…＋ｋｎｒηｎｒ，其中η１…，ηｎｒ是基础解系

上研途进 大③当秩（Ａ）＝秩（Ａ）＝ｒ＜ｎ时，非齐次线性方程组的任一个解γ都可以表γ＝γ０＋ｋ１η１＋ｋ２η２＋…＋ｋｎ－ｒηｎ－ｒ２．考点之间的联３．复习思１）总体思路：以线性方程组的消元法（矩阵的初等变换法）为基本方法，围绕如何求解、如何判定有解和如何把握解的结构等中心问题，以向量、向量空间、秩与极大线性无关等概念为工具，解决线性方程组相关问题．２）向量组线性无关判定思路向量组ａｊ＝（ａ１ｊ，ａ２ｊ，…，ａｎｊ）′，ｊ＝１，２，…，ｓ．那么α１，α２，α线性无关齐次性方程组ｘ１α１＋…＋ｘｓα＝０只有零Ａ的秩＝ｓ３）将线性方程组用矩阵表成ＡＸ＝ｂ，或用向量表成ｘ１α１＋ｘα２＋…＋ｘｎαｎ＝β，将线性方程组有解与向量的线性表示互相转化，会给解题带来一些方便．三、本章要点精要点３． 消元【３－１】求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解ｘ１－ｘ２＋５ｘ３－ｘ４＝ｘ１＋ｘ２－２ｘ３＋３ｘ４＝３ｘ１－ｘ２＋８ｘ３＋ｘ４＝ｘ＋３ｘ－９ｘ＋７ｘ＝ 要点３． 矩阵的【３－２】设Ａ是ｎ（ｎ≥２）阶方阵，证明Ｒ（Ａ）

ｎ，Ｒ（Ａ）＝１，Ｒ（Ａ）＝ｎ１．０，Ｒ（Ａ）＜—

数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大【３－３】设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，证明：秩Ａｎ＝秩Ａｎ＋１＝秩Ａｎ＋２＝……．【３设Ａ为ｍ×ｎ阶矩阵，Ｂ为ｎ×ｓ阶矩阵．证明Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式：Ｒ（ＡＢ）≥Ｒ（Ａ）＋Ｒ（Ｂ）－ｎ【３－５】（首都师范大学）设Ａ为ｎ阶矩阵，证明思路提示：等号成立的一个充分条件为：Ａ满秩．要点３． 向量组的线性相关、向量的线性表【３－６】（西学，２００７）设Ａ为ｓ×ｎ矩阵，秩为ｒ，线性方程组ＡＸ＝ｂ（ｂ≠０）有特解ξ０，其导出组ＡＸ＝０的一个基础解系为η１η２ｎ．证明（１）ξ，η１，η，…，ｎ－线性无关（２）ξ０ξ０＋η１ξ０＋η２ξ０＋ｎ为ＡＸ＝ｂ的ｎ－ｒ＋１个线性无关的解向量（３）方程组ＡＸ＝ｂ的任一个解γ，都可表γ＝ｋ０ξ０＋ｋ１（ξ０＋η１）＋ｋ２（ξ０＋η２）＋…＋ｋｎ－ｒ（ξ０＋ｎ），其中ｋ０＋ｋ１＋…＋ｋｎ－ｒ＝１．【３－７】（大学２０１２）设向量组α１，α２，…，αｍ（ｍ＞２）线性无关（１）向量组α１＋α２，α２＋α３，…，αｍ－１＋αｍ，αｍ＋α１的线性相关性（２）若向量组αα，αｍ＋１线性相关，证明α１不能α２α３αｍ＋１线性表示【３－８】（中山大学，２００３）设向量组α１α２，αｍ线性无关，向量β１可由它线性表示，而向量β２不能由它线性表示，证明：向量组α１，α２，…，ｍβ１＋β２线性无关．要点３． 向量组的秩与极大线性无关【３－９】（大学，１９９６）求向量α１＝（４，－５，２，６），α２＝（２，－２，１，３），α３＝（４，－１，５，６），α４＝（６，－３，３，９）的一个极大无关组，并用极大无关组中的向量表示其余向量．要点３． 线性方程组求解（齐次、非齐次、含参数线性方程组【３－１０】（２０００，大学）线性方程λ＋９ｙ＋３ｚ＝—ｘ＋（λ－１）ｙ＝３ｘ－ｙ＋ｚ＝－当λ为何值时方程组有（１）唯一解，并求其解上研途进组上研途进组（２）无穷多解，此时请用对应的齐次线性方程组的基础解系表示所得到的一般解；（３）无解【３－１１】（东南大学，２０００）ａ，ｂ为何值时，如下方程组有唯一解；无解；无穷多解．当有无穷多解时，求出结构式通解．ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝－ｘ２＋（ａ－３）ｘ３－２ｘ４＝３ｘ＋２ｘ＋ｘ＋ａｘ＝－ 要点３． 线性方程组有解的判【３（华中师范大学）设Ａ为ｓ×ｎ阶实矩阵，证明：线性方程组ＡＸ＝０与Ａ′ＡＸ＝０同解【３】（厦门大学）设．．为ｓ×ｎ阶实矩阵，ｂ为ｓ元实向量．证明：Ａ′ＡＸ＝Ａ′ｂ一定有解．【３－１４】（东南大学，１９９８）对非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ，下面的结 是正确的（１）若ＡＸ＝０只有零解，则ＡＸ＝ｂ有唯一解（２）若ＡＸ＝０有非零解，则ＡＸ＝ｂ有无穷多解（３）若ＡＸ＝ｂ有无穷多解，则ＡＸ＝０只有零解（４）若ＡＸ＝ｂ有无穷多解，则ＡＸ＝０有非零解【３－１５】（大学，２０００）设Ａ是一个ｎ阶方阵，Ａ是Ａ的伴随矩阵，如果存在ｎ维非零列向α，满足：Ａα＝０证明：非齐次线性方程组ＡＸ＝α有 ｒａｎｋＡ＝ｎ－１四、本章小结【主要总结本章的技巧点，方法点本章主要方法１．用消元法解线性方程组，利用方程组的增广矩阵的初等变换解方程组的方法【４－１】（大学，２００２）线性方程２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＝１ｘ１－ｘ２＋ｘ３＝２４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３＝－１同解，求通解及ａ，ｂ．

ａｘ１＋ｂｘ２－ｘ３＝与２ｘ１－ｘ２＋ａｘ３＝２．向量组线性相关性的判定法ａｊ＝（ａ１ｊ，ａ２ｊ，…，ａｎｊ）′，ｊ＝１，２，…，ｓ．那么α１，α２，…，α线性相 齐次性方程组ｘ１α１＋ｘ２α２…＋ｘｓα＝０有非零 Ａ的秩＜ｓ【４－２】问下列向量组是否线性相关（１）（３，１，４），（２，５，－１），（４，－３，７）（２）（２，０，１），（３，１，－２），（１，－１，１）３．向量组极大线性无关组的求法

数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大（一般用消元法：将向量按行构成矩阵，对矩阵用初等列变换化为阶梯形矩阵４．向量组秩的求法（将向量按列构成矩阵，对矩阵用初等变换化为阶梯形矩阵【４－３】求向量α１＝（１，－１，２，４），α２＝（０，３，１，２），α３＝（３，０，７，１４），α４＝（１，－１，２，０），α５＝（２，１，５，６）的秩和一个极大无关组．５．矩阵秩的若干求法：①子式法：找出矩阵Ａ中不为零的子式．②初等变换法：用初等变【４－４】ｎ阶方阵Ａ的秩 ａ ｂ … ｂ Ａ＝

ｂ６．齐次线性方程组（导出组）基础解系的求法（先求系数矩阵秩判断基础解系含解的个数，再解同解方程组，求出基础解系【４－５】（大学，１９９３）求ａ与ｂ，使齐次线性方程组ａｘ＋ｙ＋ｚ＝０ｘ＋２ｂｙ＋ｚ＝ｘ＋３ｂｙ＋ｚ＝有非零解，并求相应的基础解系７．非齐次线性方程组解的公式求法（先求特解，再求导出组的一般解【４－６】求下列方程组的通ｘ１－ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４－ｘ５＝－１２ｘ１＋ｘ２＋２ｘ３－ｘ４＋ｘ５＝２４ｘ１－ｘ２＋４ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０８．线性方程组有解（即相容）的判别法（利用系数矩阵与增广矩阵的秩进行判别【４－７】判别下列方程组是否有２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋ｘ４＝３ｘ１－２ｘ２＋２ｘ３－３ｘ４＝５ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋２ｘ４＝－２ｘ－ｘ＋ｘ－３ｘ＝ 上研途进组上研途进组９．用线性方程组理论计算行列式【４－８】（Ｐ１６０补充题１０）ａ１１ａ１２ ａ１ｎ ａＡ＝

２ｎ为一实数域上的矩阵 …ａ ａａ ａ 证明１）如 ＞２）如果ａｉｉ＞

，ｉ＝１，２，…，ｎ，那么 Ａ≠０； ，ｉ＝１，２，…，ｎ，那么 Ａ＞０．数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大第四 矩—、本章考情分矩阵理论是高等代数的主要内容之一，也是数学及许多其它科学领域的重要工具，它有着广泛的应用．矩阵理论是考试的主要内容之一．常考题型：主要以证明和计算题的形式出现分值分布：分值在整套题中比例较重，如：２０１２年试题中，和矩阵相关的题９题中有４题，占到６５分，直接考查本章内容的题有２道，占２５分．２００６年，占到三分之一．本章重点１．本章的重点是掌握矩阵的运算以及它们的运算规律．由于矩阵的运算和熟知的数的运算规律有些是相同的，但也有许多不同之处，这些不同之处正是易犯错误的地方．２．伴随矩阵是为计算逆矩阵而引入的，但在具体求逆矩阵时，伴随矩阵法只对２阶矩阵较方便，对２阶以上的矩阵利用初等变换法求逆矩阵更方便．在涉及伴随矩阵的有关计算和证明时，往往利用伴随矩阵的基本公式ＡＡ＝ＡＡ＝ＡＥ来推证及化简．３．利用初等矩阵及分块初等矩阵可以将对矩阵和分块矩阵的初等变换转换为矩阵的乘法运算，这对于解决一些涉及矩阵的理论和计算题很有用，但推理过程有一定的技巧．本章难点本章的难点之一是有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，它常常和向量组的秩、线性方程组的解和矩阵的运算等相联系，推证有一定的难度．熟记关于矩阵的秩的一些结论，对有关问题的论证会有很大的帮助．二、本章考点之间的联上研途进组上研途进组三、本章要点精要点３． 矩阵及其运【３－１】设α为３维列向量， －αα＝－ １ －１ 则α′α＝？【３－２】设Ａ，Ｂ为ｎ阶方阵，且ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，证明：ＡＢ＝ＢＡ要点３．２求抽象矩阵的行列ＡＢ＝ Ａ· Ｂ；ｋＢ＝ｋｎＡ；ＡＴ＝ Ａ－１＝Ａ－１；Ａ＝λλ…λｎ 【３－３】设Ａ是ｎ阶矩阵，满足ＡＡＴ＝Ｅ， Ａ＜０． Ａ＋Ｅ要点３． 求方阵的求ｎ阶方阵Ａ的ｋ次幂常采用如下一些方法：１．数学归纳法；２．利用二项展开公式Ａ＝Ｆ＋Ｇ３．用矩阵乘法结合律：若矩阵Ａ可分解为αβＴ，其中αβ是列向量，则有Ａｋ＝（αβ）ｋ＝（βＴαｋ－１βＴ＝（βＴαｋ－１Ａ注：当Ａ可分解为Ａ＝αβＴ时，可知ｒ（Ａ）１．４．分块对角矩阵求方幂５．利用相似对角化：若＝ｄｉａｇ（λ１，λ２，…，λｎ），则Ａｋ＝Ｐｄｉａｇ（λ，λ，…，λ）Ｐ－１． １０【３－４】已知矩阵Ａ＝ １，求Ａｋ ００１０【３－５】已知Ａ＝ ２０，求Ａｎ １０ ２４００１２０ 【３－６】已知Ａ＝ ，求Ａｎ００２ ００４要点３． 矩阵可逆性的判别及逆矩阵的求可逆矩阵的性质（设Ａ，Ｂ是ｎ阶可逆矩阵１．（Ａ－１）－１＝Ａ２．（ｋＡ）－１＝１Ａ－１ｋ３．（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１；４．（ＡＴ）－１＝（Ａ－１）Ｔ；５．（Ａｋ）－１＝（Ａ－１）ｋ；６．Ａ－１＝Ａ－１；

数学系《高等代数》考点精讲及复习思路上研途进 大７．如果Ａ是ｍ×ｎ矩阵，Ｐ是ｍ阶可逆矩阵，Ｑ是ｎ阶可逆矩阵，则ｒ（Ａ）＝ｒ（ＰＡ）＝ｒ（ＡＱ）＝ｒ（ＰＡＱ）．矩阵可逆的条件Ａ可逆Ａ非ｎＡＢ＝＝Ａ－１＝ＡＡ满秩表示成若干个可逆阵的乘积Ａ可表示成若干个初等阵的积存在若干个初等阵Ｐｎ，Ｐｎ使得ＰｎＰｎ＝（ＡＥ）→（ＥＡ－１Ａ的列向量组线性无关（列满秩任何ｎ维列向量ｂ均可由Ａ的列向量线性表出（且表出法唯一）对任意的列向量ｂ，方程组ＡＸ＝ｂ有唯一解，且唯一解为Ａ－１ｂＡ没有零特求逆矩阵的方方法１伴随矩阵法：Ａ－１＝１Ａ方法２初等变换法：（ＡＥ）→…→ＥＡ－１）（初等行变换Ａ初等

Ｅ 方法３分块对角矩阵求

１ １

Ａ ＝ ＝ Ａ Ａｎ

ｎＡ－１ｎ【３－７】设Ａ为主对角线元素为零的４阶实对称可逆矩阵，Ｅ为４阶单位阵 ０００００００ Ｂ＝００ｋ ０００ｌ

ｋ＞０，ｌ＞０

上研途进 大（１）试计算Ｅ＋ＡＢ，并Ａ中元素满足什么条件时 Ｅ＋ＡＢ为可逆矩阵（２）当Ｅ＋ＡＢ可逆时，试证明（Ｅ＋ＡＢ）对称矩阵 ０－１ ０【３－８】已知Ａ＝

，试求Ａ－１和Ａ － ０－ ３【３－９】设方阵Ａ满足Ａ３－Ａ２＋２Ａ－Ｅ＝Ｏ，证明Ａ及Ｅ－Ａ均可逆，并求