垂径定理上示范课用市公开课金奖市赛课一等奖课件

九年级数学(下)第三章

圆2.圆对称性(1)垂径定理第1页3.2圆对称性圆是轴对称图形吗？假如是,它对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法处理上述问题?第2页圆是轴对称图形.圆对称轴是任意一条经过圆心直线,它有没有数条对称轴.●O可利用折叠方法即可处理上述问题.第3页圆相关概念圆上任意两点间部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).连接圆上任意两点间线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒AmB大于半圆弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABC⌒mD第4页③AM=BM,垂径定理AB是⊙O一条弦.你能发觉图中有哪些等量关系?与同伴说说你想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O下列图是轴对称图形吗?假如是,其对称轴是什么?ABCDM└⌒AmB由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.题设结论第5页垂径定理如图,小明理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.第6页垂径定理三种语言定理:

垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所正确两条弧.老师提醒:垂径定理是圆中一个主要结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能利用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.第7页②CD⊥AB,垂径定理逆定理AB是⊙O一条弦,且AM=BM.你能发觉图中有哪些等量关系?与同伴说说你想法和理由.过点M作直径CD.●O右图是轴对称图形吗?假如是,其对称轴是什么?CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直径）直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧.不是直径．第8页

如图，已知在⊙O中，弦AB长为8厘米，圆心O到AB距离为3厘米，求⊙O半径。E.ABO练一练：试金石解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，依据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O半径为5厘米。第9页你能够写出对应命题吗?垂径定理逆定理如图,在以下五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.第10页垂径定理及逆定理●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所两条弧.平分弦(不是直径)直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧.平分弦所正确一条弧直径,垂直平分弦,而且平分弦所正确另一条弧.弦垂直平分线经过圆心,而且平分这条弦所正确两条弧.垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,而且平分弦和所正确另一条弧.平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,垂直于弦,而且平分弦所正确另一条弧.平分弦所正确两条弧直线经过圆心,而且垂直平分弦.①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.第11页依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。假如具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对劣弧上述五个条件中任何两个条件都能够推出其它三个结论注意第12页试一试P9311驶向胜利彼岸挑战自我画一画如图,M为⊙O内一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.而且AM=BM.●O●M第13页2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。E第14页3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆弦CD与大圆弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD大小有什么关系？为何？G第15页∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d线段加减圆弧加减第16页挑战自我垂径定理推论

假如圆两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗?老师提醒:这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习P9210驶向胜利彼岸●OABCD1.两条弦在圆心同侧●OABCD2.两条弦在圆心两侧垂径定理推论圆两条平行弦所夹弧相等.第17页垂径定理推论

假如圆两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗?老师提醒:

这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心同侧●OABCD2.两条弦在圆心两侧垂径定理推论

圆两条平行弦所夹弧相等.MM第18页

已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证实：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦直径平分弦所正确弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解假如圆两条弦相互平行，那么这两条弦所夹弧相等吗？圆两条平行弦所夹弧相等第19页怎样找圆心？当未知一个圆或一条弧圆心时，怎样把它找出来？第20页试一试P9312挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦直线平分这条弦,而且平分弦所对两条弧.（）⑵平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所正确另一条弧.（）⑶经过弦中点直径一定垂直于弦.（）⑷圆两条弦所夹弧相等，则这两条弦平行.⑸弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧.（）第21页2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等线段有:

.图中相等劣弧有:

.第22页3、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O半径OA.第23页4、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB长。

第24页1300多年前，我国隋代建造赵州石拱桥桥拱是圆弧形，它跨度(弧所正确弦长)为37.4米，拱高(弧中点到弦距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱半径(准确到0.1米)．第25页4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE长.·ABCD0EFGHMN第26页已知：AB和CD是⊙O内两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm，⊙O半径为5cm，思索题：（1）请依据题意画出符合条件图形（2）求出AB