多元函数积分学复习课

多元函数积分学复习课一、内容提要上页下页铃结束返回首页二、典型例题内容提要二重积分的定义

以闭区域D为底曲面zf(x

y)为顶的曲顶柱体的体积为

占有闭区域D

面密度为(x

y)的平面薄片的质量为定理连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在

内容提要二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则性质3内容提要二重积分的性质性质5

设M、m分别是f(x

y)在闭区域D上的最大值和最小值

为D的面积则有性质6(二重积分的中值定理)

设函数f(x

y)在闭区域D上连续

为D的面积则在D上至少存在一点(

)使得性质4

如果在D上

f(x

y)g(x

y)

则有不等式内容提要

如果D是X型区域:D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb},则化二重积分为二次积分

如果D是Y型区域:D={(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd},则

内容提要对称性问题设D关于y轴对称.

(1)若

f(-x,y)=-f(x,y),则

(2)若

f(-x,y)=f(x,y),则

其中D1

为D

在y轴右半部分.

提示:

内容提要利用极坐标计算二重积分坐标变换公式:面积元素:

如果积分区域可表示为D:j1(q)j2(q),aqb,则内容提要设曲面S:zf(x

y)

(x

y)D,则S

的面积为曲面的面积内容提要三重积分的物理意义三重积分的定义设物体占有空间区域,体密度为r=f(x,y,z),则物体的质量为三重积分的几何意义

的体积为注：当计算二重积分时用极坐标,则得柱面坐标的计算法.内容提要设积分区域:则求围定顶>>>

三重积分计算之投影法内容提要设积分区域为{(x

y

z)|(x

y)Dz

c1zc2}

则宜用截面法的题型

三重积分计算之截面法内容提要特殊区域的球面坐标表示>>>直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos

yrsinsin

zrcos

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd

提示:

r

|OP|rsin.

利用球面坐标计算三重积分内容提要对弧长的曲线积分设光滑曲线弧L的参数方程为xx(t)

yy(t)(t)

则有对坐标的曲线积分设L:xx(t)

yy(t),起点和终点对应的参数分别为和则有

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x

y)及Q(x

y)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线——格林公式格林公式内容提要

设P(x

y),Q(x

y)在单连通区域D内具有连续偏导数则在D

内下列条件等价:格林公式的应用内容提要(2)曲线积分(3)存在函数u(x,y),使

(1)与路径无关;函数u(x,y)的计算公式例1比较积分与的大小,解在内有故于是因此典型例题知识点其中D

是闭圆域:积分区域D

在直线x+y=3的右上方,

解

积分区域如图示,

例1

计算

提示:

的计算较繁,考虑改换积分次序.表示为Y型区域:知识点典型例题例2改换下列二次积分的积分次序.

解

积分区域如图示,表示为Y型区域:提示:

知识点例2改换下列二次积分的积分次序.

解

积分区域如图示,分为D1和D2两部分,知识点

解

积分区域如图示,表示为q型区域:提示:

例3化为极坐标形式的二次积分,其中知识点例3

化为极坐标形式的二次积分.提示:抛物线

y=x2+x

在点(0,0)处的切线方程为解

积分区域如图知识点例4设区域计算

解

积分区域如图示,记D1为D的右半部分,则有D1知识点解1

积分区域如图

例4

设计算知识点记区域

例4

设计算解2

积分区域如图知识点在xOy

面的投影区域D的边界曲线为

解

D

的底面

的顶面

例5

化为三次积分,其中W由以下曲面所围:求围定顶>>>

知识点作图>>>

在zOx

面的投影区域为

解

Dzx

例5

化为三次积分,其中W由以下曲面所围:

讨论:

化为先y再x后z的三次积分.知识点

思考:

化为先x再y后z的三次积分.

解1

提示:

的后底

前顶

或在yOz面的投影区域如图示.例5

化为三次积分,其中W由以下曲面所围:知识点例5

化为三次积分,其中W由以下曲面所围:

思考:

化为先x再y后z的三次积分.水平截面法

解2

知识点提示

的上边界曲面为z=4下边界曲面为zx2y2

用极坐标可表示为z2所以

2z4

提示

在xOy面上的投影区域为x2y24,用极坐标表示为:

02,0q2.

解1

2z40202计算三重积分

例6设W是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域,闭区域可表示为

知识点闭区域可表示为

解2

知识点

例6设W是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域,计算三重积分在xOy

面的投影区域D

解

例7

求由以下曲面所围立体W的体积:知识点作图>>>

在xOy

面的投影区域D

解

例7

求由以下曲面所围立体W的体积:知识点

例8

已知曲面S1与曲面S2,它们的方程为

(1)求两曲面所围成的立体W的体积V;

(2)求立体W的S1部分的表面积A.在xOy

面的投影区域为

解

知识点

例8已知曲面S1与曲面S2,它们的方程为

(1)求两曲面所围成的立体W的体积V;

(2)求立体W的S1部分的表面积A.

解

知识点利用球面坐标计算体积

例8

已知曲面S1与曲面S2,它们的方程为

(1)求两曲面所围成的立体W的体积V;

(2)求立体W的S1部分的表面积A.

解2

知识点例9

已知L

为圆周x2+y2=2ax(a>0),计算解1

利用圆的标准参数方程来计算.

知识点例9

已知L

为圆周x2+y2=2ax(a>0),计算解2

利用圆的极坐标方程来计算.

知识点记D

为圆域x2+y22x,

解

由格林公式有

例10

设L是正向圆周x2+y2=2x计算知识点例11

已知L

为圆周x2+y2=2y

上从原点O

按逆时针方向到点A(0,2)的圆弧,计算解

知识点例11

已知L

为上半圆周x2+y2=2x

上从原点O

到点A(1,1)的圆弧,计算解

记所以曲线积分与路径无关.知识点

例12

验证在整个xOy面内

记

解

所以存在u(x,y),使是某个函数的全微分并求出一个这样的函数

知识点的侧面方程,

在xOy

面的投影区域D的边界曲线.

围:

求围定顶

的顶面和底面,

顶:

所给曲面方程中含z

的方程表示.的顶面与底面的交线关于xOy

面的投影柱面方程.所给曲面方程中不含z

的方程;特殊区域的球面坐标表示球体:

上半球体:

球体在第一卦限部分:

球顶锥体:

球面方程

特殊区域的球面坐标表示球顶锥体:

球面方程

球体