课件理论力学第十章

2由

运动学方程：xz,

0

,

sin0

sin

sin0

cosy,

cos

动力学方程：y

'

y

'

x

'

z

'

x

'

z

'z

'

z

'y

'x

'

x

'

y

'J

(J

J

)

MJ

(J

J

)

M

y

'

z

'

Jx

'

J

y

'

Jey

'

y

'

e z

'

x

'

z

'z

'

z

'

(Jz

'Jx

'x

'

J

y

'

)y

'z

'

Mx

'

Jx

'x

'

(Jz

'

Je

)y

'z

'

Mx

'

J

(J

J

)

MJ

M

y

'

z

'

Mz

'

0z

'ex

'

cos

cosM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

z

'ey

'

cos

sinM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

constz

'ex

'

cos

cosM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

z

'

ey

'

M

sin

J

(J

J

)

cos

sin0

z

'0

，方向沿节线的矢量在x’,y’上的投影.z

'

cos

(J

z

'

Je

)可视为大小为

sin

J0

0

Mx

'

,

My

'xyzx'z'y'Nk

sin

sini'

sin

cos

j'

cosk

'n

cosi'

sin

j'Mz

'

0

0

sin

ω

ω而:且:

ω

ω沿节线方向.cos0

ω

ω

3z

'

e

Mo

Jz

'

(J

J

)4oz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω即:

const

,

方向沿节线.Mo陀螺规则进动的基本公式:

已知运动

→

力二、

(Henri

Resal)定理在定系中:odtdLo

M于该刚体的所有外力对同一点的主矩.定理:

刚体对固定点

o的动量矩

Lo

的端点的速度，等于作用精确结果5三、陀螺近似理论oz

'

z

'

e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω如果:

则:oz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω

Jz

'ω

ω四、陀螺近似理论的

解释如果：

0

90oz

'

z

'

e

J

(J

J

)0

则也有：Mcos

ω

ω

Jz

'ω

ω6四、陀螺近似理论的解释相对于定系:ωa

ω

ωyzx'y'z'x

oωω

ωa

x

'i

'

y

'

j

'

(

z

'

)k

'o

x

'

x

'

y

'

y

'

z

'

z

'L

J

i

'

J

j

'

J

k

'

Je

x

'i

'

Je

y

'

j

'

Jz

'

(

z

'

)k

'

Jz

'

k

'如果

的大小为常量o

z

'

L

J

k

'则当刚体作规则进动时，Lo

的矢端划出一圆。7当刚体作规则进动时，Lo

的矢端划出一圆。xyzz'oωoLdtdLo

ω

Lodtoo

dLoM

ω

L由定理:o

z

'

L

J

k

'Lo

Jz

'ωo

z

'

M

J

ω

ωoz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω与精确解比较:陀螺力矩：陀螺转子作用在施力体上的反作用力矩FAFB陀螺的特性：定向性、进动性、陀螺效应

8(FA

,FB

)

:附加动压力Mg

Mo

Jz

'

9陀螺的特性：Mo

0情况(称为平衡陀螺):1.

定向性：对于动力学对称的Lo

常矢如果初始时仅让陀螺绕对称轴作定轴转动，则陀螺将一直绕对称轴作定轴转动。2.

进动性：和对称轴将向力矩(而不是力)只要高速旋转物体的自转轴被迫在空间改变方向(即发生强迫进动)，就会产生陀螺力矩，出现陀螺效应。如果有外力对o点有矩，则Lo的方向偏转。3.

陀螺效应：10例：已知

1

2

大小均为常量，圆盘质量为m，半径为R，求转轴作用在支座C、D的附加动压力。Mg

Jz'

Mo

Jz'FCDF1

2CD1

mR2

FD

FC

2§10-4

刚体一般运动的运动学与动力学一、刚体一般运动的运动方程x1y1111zx'z'o'ry'oxyz

:

定参考系o’x’y’z’:

随体参考系:平动参考系xyzo

'

x1

y1z1o

'：基点12y1z1o'r'xzryro'x1刚体一般运动

=

平动

+

定点运动利用点的复合运动理论导出刚体上各点的速度和加速度关系13二、一般运动刚体各点的速度和加速度x11yz1o'r'xyzro'raM

ae

ar

ao

'

α

r

'

ω(ω

r

')M基点法vM

ve

vr

vo

'

ω

r

'速度投影定理成立14命题：刚体的角速度和角加速度与基点的选取无关证明：

设

M,A,B

是刚体上任意不重合的三点vM

vA

ωA

rAM

vB

ωB

rBM两边点乘

rAB

：

rAB

vArAM

rAB

ωA

rAM

rAB

vB

rAB

ωB

rBM

rAB

rBMrAB

ωA

rAB

rBM

rAB

ωB

rBM

ABω

ωωA

rBM

rAB

ωB

rBM

rAB

由M

的任意性15vM

vo'

ω

r

'速度分析对于平面运动，在刚体或其延展体上存在速度为零的轴。对于定点转动，在刚体或其延展体上也存在速度为零的轴。问题：对于刚体的一般运动，是否一定在刚体或其延展体上存在速度为零的轴(或点)？设在刚体或其延展体上存在速度为零的点A

.vA

vo'

ω

ro'

A

0式子两边同时点乘

：vo

'

ω

0由于基点选取的任意性，上式一般不满足。结论：对于刚体的一般运动，一般不存在瞬时速度中心。必要条件16vM

vo'

ω

r

'基点法结论：对于刚体的一般运动，一般不存在瞬时速度中心(瞬轴)。vo

'

ω

0但对于平面运动，其上所有点的速度方向都与角速度矢量垂直。对任意的基点都能满足。vB

vA

ω

rAB对基点法公式：两边点乘：ABrABrBAABABv

rAB

v

rABrr速度投影定理：刚体运动的任意瞬时，其上任意两点的速度在它们的连线上投影相等。三、刚体一般运动的进一步简化对基点法公式：两边点乘：vB

vA

ω

rABvB

ω

vA

ω命题：刚体运动的任意瞬时，其任意点的速度在角速度方向上投影相等。刚体一般运动按速度分解：沿角速度方向的平移

+

垂直于角速度方向的平面运动平面运动存在瞬时速度中心沿某轴的平移

+

绕该轴的定轴转动

称为速度螺旋17取速度等于

的平移动系18刚体在任意时刻的无限小位移(瞬时位移)的三种情况：平行移动；定轴转动；速度螺旋。该结论可推广至刚体的有限位移。刚

移定理：刚体从一个位置到另一位置的空间一般有限位移，总可以通过刚体绕(其延展体上的)某根轴的一次定轴转动，再加上沿该轴的一次平行移动实现(该种位移称为位移螺旋)。19四、刚体一般运动的运动微分方程eicFma

e

Mc

(Fi

cdtdLr)20xyz例：薄圆盘(半径为R)在粗糙水平面上的纯滚动方程.CDvD

021例：薄圆盘在粗糙水平面上的纯滚动，设其半径为R.xyzOxyz

:

定参考系C’x’

y’z’:

随体参考系x

'y

'z

'DRCCRRC

xc

i

yc

j

zc

kvC

xci

yc

j

zc

kvD

vC

ω

R

0xyzx

'z

'y

'N选取

角(,,)作为转动参数

k

n

k'向定系投影：k

'

sin

sin

i

sin

cos

j

cos

kn

cos

i

sin

j定系上的运动学方程：zx

cos

sin

siny

sin

sin

cos

cosyx

'y

'z

'D

RCRCR

R

cos

sin

i

R

cos

cos

j

Rsin

kR

与节线垂直，且与

z,z’

轴在同一平面内zvD

vC

ω

R

0vC

xci

yc

j

zc

kx向定系投影：xc

(

sin

sin

cos

)R

sin

(

cos

)R

cos

cos

0

yc

(

cos

)R

cos

sin

(

cos

sin

sin

)R

sin

0zc

(

cos

sin

sin

)R

cos

cos

(

sin

sin

cos

)R

cos

si2n2

0xyzxyz23x

'y

'z

'DRCRCc

yc

(

cos

)R

cos

sin

(

cos

sin

sin

)R

sin

0z

(

cos

sin

sin

)R

cos

cos

(

sin

sin

cos

)R

cos

sin

0运动约束方程:xc

(

sin

sin

cos

)R

sin

(

cos

)R

cos

cos

0

yc

R

cos

sin

R

cos

R

sin

R

sin

0z化简后得:xc

R

sin

sin

R

cos

cos

R

cos

0c

c

R

cos

0

z

R

sin当限制盘沿y

轴作直线垂直滚动时：xc

0,

zc

R,

90节线与Cy

轴重合。24第10章要求定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现。定点运动刚体有限位移的顺序不可交换.定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移可以用矢量表示。定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。了解

运动学方程.了解 动力学方程.自转\进动\章动概念.定性理论25定点运动刚体上点的速度和加速度公式应用;能计算定点运动刚体的动量矩;能计算定点运动刚体的动能;能计算陀螺力矩;能求解与例10-1和例10-2相同题型的问题。对高速自转的陀螺，其对定点的动量矩近似